試卷共4頁，卷面滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號碼填寫在答題卡上.
2.作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上.寫在本試卷及草稿紙上無效.
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知命題，則命題的否定為（ ）
A. B.
C. D.
3.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
4.函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
5.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時，的最大值為（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則的值為（ ）
A. B.3 C. D.
7.已知三倍角公式，則的值所在的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)，若對于任意的實(shí)數(shù)與至少有一個為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列說法正確的是（ ）
A.若函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>B.若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域?yàn)?br>C.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱
D.成立的一個必要條件是
10.若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（ ）
A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B.是以8為周期的周期函數(shù)
C.
D.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知函數(shù)，則__________.
13.已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
14.若，則的最大值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
設(shè)函數(shù)
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍.
16.（本小題滿分15分）
記的角的對邊分別為，已知.
（1）求；
（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，求的值.
17.（本小題滿分15分）
如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，已知為棱的中點(diǎn)，在底面的投影為線段的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn).
（1）若，求證：平面；
（2）若，確定點(diǎn)的位置，并求二面角的余弦值.
18.（本小題滿分17分）
已知函數(shù).
（1）函數(shù)與的圖像關(guān)于對稱，求的解析式；
（2）在定義域內(nèi)恒成立，求a的值；
（3）求證：，.
19.（本小題滿分17分）
設(shè)集合，其中.若集合的任意兩個不同的非空子集，都滿足集合的所有元素之和與集合的元素之和不相等，則稱集合具有性質(zhì).
（1）試分別判斷在集合與是否具有性質(zhì)P，不必說明理由；
（2）已知集合具有性質(zhì)P.
①記，求證：對于任意正整數(shù)，都有；
②令，，求證：；
（3）在（2）的條件下，求的最大值.
深圳外國語學(xué)校2025屆高三第二次月考數(shù)學(xué)答案
一?選擇題：
二?填空題
12. 13. 14.
三?解答題
15.解：（1）由，得.
因?yàn)椋?br>所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）當(dāng)時，，所以.
令，得，解得或.
與在區(qū)間上的情況如下：
所以，當(dāng)且時，
存在，，，使得.
由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有三個不同零點(diǎn).
16.（1）由及正弦定理得，
整理得，
所以由余弦定理得：
因?yàn)椋?
（2），
記，則.
在中，.①
在中，由正弦定理得.②
由①②及得，即，解得.
由，解得，故.
17.（1）設(shè)，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，
所以，對角線BD平分，又為棱的中點(diǎn)，所以，
在中，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得，
又，所以，所以，，
平面，且平面平面.
（2）平面，且平面，，因?yàn)?，所以?br>在中，，，所以是等邊三角形，
又為棱的中點(diǎn)，所以，
平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面ABCD，平面，
又平面，，
又，平面，
平面，且平面，.
因?yàn)镻在底面的投影H為線段的中點(diǎn)，所以，又
所以為等邊三角形，故為中點(diǎn)，
所以在底面上的投影為的中點(diǎn).
在中，，
，以為原點(diǎn)，分別以為軸，
以過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，
，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
令，則，即，
平面，是平面的一個法向量，
，
因?yàn)槎娼鞘且粋€銳角，所以二面角的余弦值為.
18.（1）依題意，設(shè)圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，
則其關(guān)于對稱的點(diǎn)在圖像上，
則，則，
故，；
（2）令，，則在在恒成立，
又，且在上是連續(xù)函數(shù)，則為的一個極大值點(diǎn)，
，，
下證當(dāng)時，在恒成立，
令，，
當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，
故，在上恒成立，又，
則時，恒成立，
綜上，.
（3）由（2）可知：，則，即，
則，又由（2）可知：在上恒成立，
則在上恒成立且當(dāng)且僅當(dāng)時取等，令，，則，
即，
則
，
綜上，，即證
19.（1）對于集合，因?yàn)椋始系脑睾拖嗟龋?br>故不具有性質(zhì).對于，其共有15個非空子集：，
，各集合的和分別為：，，它們彼此相異，
故具有性質(zhì).
（2）①因?yàn)榫哂行再|(zhì)，故對于任意的，也具有性質(zhì)，
否則有兩個非空子集，它們的元素和相等，而也是的子集，故不具有性質(zhì)，矛盾.注意到共有個非空子集，每個子集的元素和相異，且子集的和最大為，最小為，故.
②因?yàn)?，故?br>由①可得，故.
（3）不妨設(shè)，
設(shè)，則，由（2）可得，且.
而
，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
即此時任意的正整數(shù)，即
故此時時等號成立，故的最大值為.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
A
D
D
C
B
AC
BD
ABC

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