考生須知：
1.本卷側(cè)重：高考評(píng)價(jià)體系之基礎(chǔ)性.
2.本卷怎么考：①考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)（題1、2）；②考查數(shù)學(xué)基本技能（題4、5）；③考查數(shù)學(xué)基本思想（題8）.
3.本卷典型情境題：題6、17.
4.本卷測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若，則（ ）
A.B.3C.D.
2.已知命題，；命題，，則（ ）
A.和都是真命題B.和都是真命題
C.和都是真命題D.和都是真命題
3.在等差數(shù)列中，，則其前10項(xiàng)和（ ）
A.72B.80C.36D.40
4.已知向量，滿足，，若在上的投影向量為，則（ ）
A.B.C.D.
5.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，能確定的一組條件是（ ）
A.，，B.，，
C.，，D.，，
6.某人工智能研發(fā)公司從5名程序員與3名數(shù)據(jù)科學(xué)家中選擇3人組建一個(gè)項(xiàng)目小組，該小組負(fù)責(zé)開(kāi)發(fā)一個(gè)用于圖象識(shí)別的深度學(xué)習(xí)算法.已知選取的3人中至少有1名負(fù)責(zé)算法的實(shí)現(xiàn)與優(yōu)化的程序員和1名負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備與分析的數(shù)據(jù)科學(xué)家，且選定后3名成員還需有序安排，則不同的安排方法的種數(shù)為（ ）
A.240B.270C.300D.330
7.已知，則（ ）
A.B.C.D.
8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知一組數(shù)據(jù)，，，是公差為2的等差數(shù)列，若去掉首末兩項(xiàng)，則（ ）
A.平均數(shù)變大B.中位數(shù)沒(méi)變C.方差變小D.極差變小
10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B.在區(qū)間上單調(diào)遞減
C.在區(qū)間上有3個(gè)極值點(diǎn)
D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
11.已知定義在上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A.B.
C.在上單調(diào)遞增D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知橢圓的離心率為，則______.
13.已知圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則圓臺(tái)的體積為_(kāi)_____，若該圓臺(tái)的上、下底面圓周均在球的球面上，則球的表面積為_(kāi)_____.
14.記為，，中最小的數(shù).設(shè)，，則中的最大值為_(kāi)_____.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）
記銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.
（1）求.
（2）若，求的面積.
16.（15分）
已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
（1）求，的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值.
17.（15分）
激光的單光子通信過(guò)程可用如下模型表述：發(fā)送方將信息加密后選擇某種特定偏振狀態(tài)的單光子進(jìn)行發(fā)送，在信息傳輸過(guò)程中，若存在竊聽(tīng)者，由于密碼本的缺失，竊聽(tīng)者不一定能正確解密并獲取準(zhǔn)確信息.某次實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)原始信息的單光子的偏振狀態(tài)，，等可能地出現(xiàn)，原始信息的單光子的偏振狀態(tài)與竊聽(tīng)者的解密信息的單光子的偏振狀態(tài)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系.
已知原始信息的任意一種單光子的偏振狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)等可能地出現(xiàn).
（1）已知發(fā)送者連續(xù)兩次發(fā)送信息，竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1.求原始信息的單光子有兩種偏振狀態(tài)的概率.
（2）若發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1，設(shè)竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)為1的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
18.（17分）
如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn).
（1）證明：.
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
（3）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，求的值.
19.（17分）
在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為。
（1）求的方程.
（2）設(shè)，，是上不同的兩點(diǎn)，且，記為曲線上分別以，為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn).
（i）證明：存在定點(diǎn)，使得.
（ii）取，記，，求.
高考模擬金典卷·數(shù)學(xué)
參考答案
1.答案C
解題分析 因?yàn)?，所?
2.答案B
解題分析 當(dāng)時(shí)，，是假命題；顯然，，為真命題.
3.答案D
解題分析 由題意，。
4.答案A
解題分析 由題意知，得，
則，，.
5.答案D
解題分析 對(duì)于A，若，，，則，可能相交、平行或異面，A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，，，則，B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，，則，可能相交、平行或異面，C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，，，則，D項(xiàng)正確.
6.答案B
解題分析 由題意，不同的安排方法種數(shù)為.
7.答案D
解題分析 ，即，
得，解得或（舍去），.
8.答案A
解題分析 如圖，由題意知，
由雙曲線的定義知，
又，則在中，，
在中，，
即，可得.
9.答案BCD
解題分析 對(duì)于A，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)，去掉首末兩項(xiàng)后的平均數(shù)，
即平均數(shù)不變，A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，去掉首末兩項(xiàng)后的中位數(shù)為，
即中位數(shù)不變，B項(xiàng)正確；
對(duì)于C，原數(shù)據(jù)的方差，去掉首末兩項(xiàng)后的方差，
即方差變小，C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，原數(shù)據(jù)的極差，去掉首末兩項(xiàng)后的極差，
即極差變小，D項(xiàng)正確.
10.答案ACD
解題分析 由圖象得，，解得，，
由，得，，解得，，
而，故，，，A項(xiàng)正確；，，函數(shù)在上不單調(diào)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；，，結(jié)合圖象知C項(xiàng)正確；
，是奇函數(shù)，D項(xiàng)正確.
11.答案ABC
解題分析 令，，則，又，則，A項(xiàng)正確；令，，則，得，
令，則，B項(xiàng)正確；
令，，，當(dāng)時(shí)，，
則，即當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，C項(xiàng)正確；
令，，則，
，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，
，D項(xiàng)錯(cuò)誤.
12.答案4
解題分析 由題意，，，則，解得.
13.答案
解題分析 設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，
由題意知，解得，則易得，圓臺(tái)的體積.
設(shè)球的半徑為，
由，
易知球心不在圓臺(tái)的上、下底面之間，
設(shè)球心到圓臺(tái)下底面的距離為，則，得，則，球的表面積為
14.答案
解題分析 設(shè)，由題意知，則，，則，
由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
（或設(shè)，，，
令，得，
對(duì)，，進(jìn)行分情況討論，可知）.
15.解題分析 （1）由，得，即，
由正弦定理，得，又，所以.
（2）由余弦定理，得，而，
得，即，的面積為.
16.解題分析 （1）由題意，易知，得.
，
由，解得。
（2）由（1）知，易知，
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表所示.
因此，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為；
當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為.
17.解題分析 （1）若原始信息的單光子有兩種偏振狀態(tài)，則從三種偏振狀態(tài)中選擇兩種偏振狀態(tài)，且按順序發(fā)送，竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)為1的概率均為，故所求概率.
（2）易知發(fā)送者發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1，竊聽(tīng)者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)為1的概率為，且的所有可能取值為，，，.
，，
，，
所以的分布列如下.
.
18.解題分析 （1）連接，（圖略），由于，則，
由題意知平面平面，平面平面，
則平面，.
在矩形中，易知，
則，即，又，
則平面，平面，所以.
（2）取的中點(diǎn)，連接，
由（1）及題意易知，，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
由，，則，，，，.
設(shè)平面的法向量為，又，，
則即令，則.
設(shè)直線與平面所成的角為，又，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
（3）由（2）知平面的一個(gè)法向量為，，
，點(diǎn)到平面的距離為，
，直線的一個(gè)單位方向向量為，
則，，點(diǎn)到直線的距離為，
則.
19.解題分析 （1）設(shè)，由題意得，整理得.
（2）（i）易知直線的斜率存在，則，
直線的方程為，
即，
直線過(guò)定點(diǎn).
，過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為，
即，
同理，過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為，
將上述方程聯(lián)立，消去得，則，
令，則，
即存在定點(diǎn)，使得.
（ii）由（i）知，則，，，，
又，得，
則，當(dāng)時(shí)，.原始信息的單光子的偏振狀態(tài)
0
1
2
解密信息的單光子的偏振狀態(tài)
，，
，，
，，
題序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
D
A
D
B
D
A
BCD
ACD
ABC
2
0
0
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
0
1
2
3

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