內(nèi)蒙古赤峰紅旗中學2024-2025學年高三上學期第一次月考數(shù)學試題（解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上；
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（）
A. ．B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合間的運算即可求解.
【詳解】解：由，解得：，
即，
故．
故選：B.
2. 已知復數(shù)，則（）
A. B. 17C. 5D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】將復數(shù)化簡，再由模長公式即可求解.
【詳解】由題意可得，則．
故選：C
3. 已知向量，，且，則（）
A. -2B. ．C. ．D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示計算可得.
【詳解】由題意可得，，
則，解得．
故選：B.
4. 已知，則（）
A. B. C. ．D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導公式即可求解.
【詳解】因為，所以．
故選：D.
5. 在中，角，，的對邊分別是，，，且，，則（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】將已知數(shù)據(jù)代入余弦定理中即得的長度.
詳解】由余弦定理可得，則.
故選：B
6. 一紙片上繪有函數(shù)一個周期的圖象，現(xiàn)將該紙片沿軸折成直二面角后，原圖象上的最高點和最低點之間的空間距離是，則（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出相應的圖形，則，結(jié)合題意列式求解即可.
【詳解】如圖所示：
則，
由題意可得：，解得.
故選：D.
7. 已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于在第一象限）兩點，為坐標原點，若，則的面積是（）
A. B. 6C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用轉(zhuǎn)化，再結(jié)合韋達定理與拋物線定義求解即可.
【詳解】設(shè)直線，Ax1,y1，Bx2,y2，其中.
聯(lián)立整理得0，
其中恒成立，
則①．
因為，即，所以，
即代入①式得，
解得，所以，且，
因為，則，所以，
所以由拋物線定義得，解得，
則的面積
．
故選：C.
8. 已知直線是函數(shù)圖象的切線，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)切點為x0,y0x0>0，利用求得關(guān)于的表達式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)來求得的取值范圍.
【詳解】設(shè)切點為x0,y0x0>0．
因為，所以，
則，即.
設(shè)，則，
由，得，則在上單調(diào)遞增，
由，得，則在上單調(diào)遞減，
故，即.
故選：A
【點睛】方法點睛：求解曲線切線有關(guān)問題，關(guān)鍵是把握住切點和斜率，斜率可以利用導數(shù)來求得，也可以通過切線方程來求得.求解參數(shù)取值范圍有關(guān)問題，可以考慮利用構(gòu)造函數(shù)法，然后利用導數(shù)來進行求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 某地農(nóng)研所為研究新的大豆品種，在面積相等的80塊豆田上種植一種新型的大豆，得到各塊豆田的畝產(chǎn)量（單位：kg），將所得數(shù)據(jù)按，，，，，分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：
則下列結(jié)論正確的是（）
A. 這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)低于180kg
B. 這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差不高于60kg
C. 在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為
D. 這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)高于
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解；對于B，根據(jù)極差的定義即可求解；對于C，根據(jù)頻率分布直方圖縱坐標的意義即可求解；先根據(jù)百分位數(shù)的定義求出第75百分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)分析即可求解.
【詳解】對于A，前三組的頻率為，
前四組的頻率為：，
所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)在之間，故不低于180kg，則A錯誤；
對于B，，，
所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差高于40kg，且不高于60kg，則B正確；
對于C，在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為，則C正確．
對于D，，，
所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)不低于180kg，
當畝產(chǎn)量在內(nèi)的豆田的畝產(chǎn)量都是180kg時，這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)為180kg，則D錯誤．
故選：BC.
10. 若函數(shù)與在區(qū)間上的單調(diào)性相同，則稱區(qū)間是函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”.下列函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)新定義“穩(wěn)定區(qū)間”分別求與的單調(diào)區(qū)間判斷A，由是R上的增函數(shù)，是R上的減函數(shù)判斷B，由是R上的增函數(shù)，是R上的減函數(shù)判斷C，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性可判斷D.
【詳解】因為與在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以存在“穩(wěn)定區(qū)間”，則A符合題意．
因為是R上的增函數(shù)，是R上的減函數(shù)，
所以不存在“穩(wěn)定區(qū)間”，則B不符合題意．
因為是R上的增函數(shù)，是R上的減函數(shù)，
所以不存在“穩(wěn)定區(qū)間”，則C不符合題意．
因為，所以．
由，得或，則在和上單調(diào)遞增，
由，得，則在上單調(diào)遞減．
因為，所以，
所以．由f'(-x)>0，得，
則在上單調(diào)遞增，由，得或，
則在和上單調(diào)遞減，所以兩函數(shù)在區(qū)間上遞減，
所以存在“穩(wěn)定區(qū)間”，則D符合題意．
故選：AD
11. 如圖，在棱長為12的正方體中，、、分別是棱、、的中點，點是上的動點，則（）
A. ．
B. 三棱錐的體積為定值
C. 三棱錐外接球的表面積為
D. 平面截該正方體所得的截面圖形的周長是
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量研究空間夾角可判定A；根據(jù)線面平行結(jié)合錐體的體積公式可判定B；利用空間幾何體的特征先確定外接球的球心位置，利用勾股定理計算球半徑結(jié)合球體體積公式計算即可判定C；利用平面的性質(zhì)先確定截面圖形，再計算周長即可判定D.
【詳解】對于A項，以為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為12，所以，，，，
所以，，
所以，所以，故A正確；
因為，且不在平面內(nèi)，平面，所以平面．
因為點是上的動點，所以點到平面的距離是定值，
則三棱錐的體積為定值，故B正確；
作，垂足為，取的中點，連接．
設(shè)三棱錐外接球的球心為，連接，，，作，垂足為．
由題中數(shù)據(jù)可得，，．
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，
則，解得，
所以三棱錐外接球的表面積為，故C錯誤；
分別在棱，上取點，，使得，，
連接，，，，易證，
即平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形．
由題中數(shù)據(jù)可得，，，，，
則五邊形的周長為，
即平面截該正方體所得的截面圖形的周長是，故D正確．
故選：ABD
【點睛】思路點睛：可利用空間向量判定異面直線的位置關(guān)系；動點的體積定值問題需要注意線線、線面的平行來判定；空間幾何體的外接球問題可先確定一面外接圓圓心，再去確定球心位置利用勾股定理解方程求半徑；截面問題可利用點的位置構(gòu)造線線平行或相交線來確定平面.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若是定義在上奇函數(shù)，且當時，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，由此求得的值.
【詳解】由題意是定義在上的奇函數(shù)，
可得，則.
經(jīng)驗證可知符合題意.
故答案為：
13. 《九章算術(shù)》中將正四棱臺稱為方亭，現(xiàn)有一方亭，，體積為，則該方亭的高是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)臺體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合臺體的體積公式運算求解.
【詳解】如圖，連接，，作，垂足為，則平面．
因為，所以方亭的體積
即，解得．
故答案為：.
14. 已知雙曲線的左焦點為，直線過點，在第四象限與雙曲線的漸近線交于點，且直線與圓切于點，若，則雙曲線的離心率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】求出，因為，所以，求出，，根據(jù)和正切和角公式得到，求出離心率.
【詳解】如圖，因為直線與圓切于點，所以．
因為，，所以．因為，
所以，則，．
因為，所以，
所以，即，所以，則雙曲線的離心率．
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知等差數(shù)列an的前項和為，且，．
（1）求an的通項公式；
（2）已知，數(shù)列bn的前項和為，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式、求和公式列出方程即可得解；
（2）化簡數(shù)列通項公式，利用相加相消法求和即可.
【小問1詳解】
設(shè)數(shù)列的公差為，
則
解得，，
故．
【小問2詳解】
由（1）可得，
則．
16. 如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點．

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的夾角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由中位線易證明四邊形是平行四邊形，進而得到，進而得到平面；
（2）由題易知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，通過平面與平面的夾角計算公式計算余弦值，再用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算正弦值；
【小問1詳解】
如圖所示，連接．

因為，分別是棱，的中點，
所以，
因為，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
則．
因為平面，平面，
所以平面．
【小問2詳解】
因為平面，
平面,
所以，
又因為，
所以，，兩兩垂直，
以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由題中數(shù)據(jù)可得，，
，．
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得．
因為，,
所以平面
平面的一個法向量為．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則．
故，
即平面與平面的夾角的正弦值為．
17. 良好的用眼習慣能夠從多方面保護眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對于保護青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學生能夠掌握良好的用眼習慣，開展了“愛眼護眼”有獎知識競賽活動，班主任將競賽題目分為兩組，規(guī)定每名學生從兩組題目中各隨機抽取2道題作答．已知該班學生甲答對組題的概率均為，答對組題的概率均為．假設(shè)學生甲每道題是否答對相互獨立．
（1）求學生甲恰好答對3道題的概率；
（2）設(shè)學生甲共答對了道題，求的分布列及數(shù)學期望．
【答案】（1）
（2）分布列見解析；
【解析】
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為“答對組的2道題和組的1道題”與“答對組的l道題和組的2道題”兩個互斥事件的和事件的概率求解，再分別應用相互獨立事件同時發(fā)生的乘法公式即可得；
（2）按照求離散型隨機變量分布列的一般步驟求解即可.
【小問1詳解】
學生甲恰好答對3道題有以下兩種情況：
第一種情況是學生甲答對組的2道題和組的1道題，
其概率；
第二種情況是學生甲答對組的l道題和組的2道題，
其概率．
故學生甲恰好答對3道題概率．
【小問2詳解】
由題意可知的所有可能取值為．
，
，
，
，
由（1）可知，
則的分布列為
故．
18. 已知橢圓的離心率為，、分點是橢圓的左、右頂點，是橢圓上不同于、的一點，面積的最大值是2．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記直線、的斜率分別為、，且直線、與直線分別交于、兩點．
①求、的縱坐標之積；
②試判斷以為直徑的圓是否過定點．若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【答案】（1）
（2）①-8；②過定點，．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義和在橢圓短軸端點處取最大值，列出方程聯(lián)立可解得，即得橢圓方程.
（2）法一：假設(shè)定點坐標，利用直徑所對圓周角為，利用向量垂直的坐標運算，可得定點坐標滿足的條件，進而分析式子恒成立的條件，可得定點坐標.
法二：設(shè)直徑與軸的交點為，為與軸的交點，根據(jù)相交弦定理可得，因為，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，即可求得定點.
【小問1詳解】
由題意可得，
解得，．
故橢圓的標準方程為．
小問2詳解】
①由（1）可知，．
直線的方程為，
聯(lián)立解得則．
同理可得
故，
設(shè)Px0,y0，則．
因為點在橢圓上，所以，所以，
則，
故．
②法一：由①可知，，
設(shè)存在定點，則，．
由題意可知，則，
所以恒成立，所以，．
故以為直徑的圓過定點，．
法二：由題意可知在軸的兩側(cè)，則以為直徑的圓與軸有兩個交點，
設(shè)以為直徑的圓與軸的兩個交點分別為（在的左側(cè)），
直線與軸的交點為，
則，
因為，所以，
則，即以為直徑的圓過定點.
19. 若函數(shù)在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數(shù)”，其中稱為在上的中值點.
（1）判斷函數(shù)是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；
（2）已知函數(shù)，存在，使得，且是上的“雙中值函數(shù)”，是在上的中值點.
①求的取值范圍；
②證明：.
【答案】（1）是上的“雙中值函數(shù)”，理由見解析
（2）①0,+∞；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用定義結(jié)合導數(shù)直接計算解方程即可；
（2）①根據(jù)定義知，利用導數(shù)研究導函數(shù)的單調(diào)性及最值計算范圍即可；②根據(jù)條件先轉(zhuǎn)化問題為，構(gòu)造差函數(shù)，利用多次求導判定其單調(diào)性去函數(shù)符號即可證明.
【小問1詳解】
函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”．
理由如下：
因為，所以.
因為，，所以
令，得，即，解得.
因為，所以是上的“雙中值函數(shù)”.
【小問2詳解】
①因為，所以.
因為是上的“雙中值函數(shù)”，所以.
由題意可得.
設(shè)，則.
當時，，則為減函數(shù)，即為減函數(shù)；
當時，，則為增函數(shù)，即為增函數(shù).
故.
因為，所以，所以，即的取值范圍為；
②證明：不妨設(shè)，
則，，即，．
要證，即證．
設(shè)，
則．
設(shè)，則，
所以φx在0,1上單調(diào)遞增，所以，所以，
則在上單調(diào)遞減．
因為，所以，即．
因為，所以gx1>g1-lnx1．
因為，所以gx2>g1-lnx1．
因為，所以．
由①可知在上單調(diào)遞增，所以，即得證．
【點睛】思路點睛：新定義問題審清題意，轉(zhuǎn)化為已有經(jīng)驗、知識處理即可，本題第二問第一小問，可轉(zhuǎn)化為存在導函數(shù)兩個零點求參問題，利用導數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可；第二小問，可利用等量關(guān)系消元轉(zhuǎn)化證明，類似極值點偏移，構(gòu)造差函數(shù)研究其單調(diào)性即可證明.
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