專題1.7 有理數(shù)的乘除法【十大題型】 【滬科版2024】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc29337" 【題型1 利用有理數(shù)的乘法辨別符號(hào)】  PAGEREF _Toc29337 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc29585" 【題型2 利用有理數(shù)乘法運(yùn)算律進(jìn)行巧算】  PAGEREF _Toc29585 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc16565" 【題型3 倒數(shù)、絕對(duì)值、相反數(shù)的綜合求值】  PAGEREF _Toc16565 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc4683" 【題型4 有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc4683 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc20793" 【題型5 有理數(shù)的混合運(yùn)算】  PAGEREF _Toc20793 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2640" 【題型6 有理數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】  PAGEREF _Toc2640 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc2710" 【題型7 利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】  PAGEREF _Toc2710 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc8083" 【題型8 化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)】  PAGEREF _Toc8083 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc5600" 【題型9 與有理數(shù)乘除有關(guān)的新定義問題】  PAGEREF _Toc5600 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc28439" 【題型10 有理數(shù)四則運(yùn)算中的分類討論思想的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc28439 \h 8  知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)的乘法 1.有理數(shù)的乘法 有理數(shù)乘法法則：（下列法則中a、b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)） 兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，積的絕對(duì)值兩乘數(shù)的絕對(duì)值的積。任何數(shù)同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理數(shù)乘法的運(yùn)算步驟：先確定積的符號(hào)，再確定積的絕對(duì)值。 多個(gè)有理數(shù)相乘：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，即“奇負(fù)偶正”。幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0。 多個(gè)有理數(shù)相乘的運(yùn)算步驟：先用上面的方法確定符號(hào)，再將各乘數(shù)的絕對(duì)值相乘作為積的絕對(duì)值。 2.有理數(shù)乘法運(yùn)算律 乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。即：。 乘法結(jié)合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變。 即：。 乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。即：。 【題型1 利用有理數(shù)的乘法辨別符號(hào)】 【例1】（23-24七年級(jí)·浙江紹興·階段練習(xí)）4個(gè)有理數(shù)相乘，積的符號(hào)是負(fù)號(hào)，則這4個(gè)有理數(shù)中，負(fù)數(shù)有 (??????) A．1個(gè)或3個(gè) B．1個(gè)或2個(gè) C．2個(gè)或4個(gè) D．3個(gè)或4個(gè) 【變式1-1】（23-24七年級(jí)·安徽合肥·階段練習(xí)）若a?b0，那么這兩個(gè)數(shù)（????） A．都是正數(shù) B．都是負(fù)數(shù) C．一正一負(fù) D．符號(hào)不能確定 【變式1-2】（23-24七年級(jí)·重慶江津·階段練習(xí)）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘積ac的值一定是（　?。?A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．0 D．不能確定 【變式1-3】（23-24七年級(jí)·安徽宣城·期末）如圖，A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a，b，下列式子成立的是（　　） A．a(chǎn)b>0 B．a(chǎn)+b>0 C．a(chǎn)?1b?1>0 D．a(chǎn)+1b?1>0 【題型2 利用有理數(shù)乘法運(yùn)算律進(jìn)行巧算】 【例2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）計(jì)算：(?1×2)×(?12×32)×(?23×43)×(?34×54)×…×(?20212022×20232022)×(?20222023×20242023)． 【變式2-1】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算1557×716，最簡(jiǎn)便的方法是（　　） A．15+57×716 B．16?27×716 C．1107×716 D．10+557×716 【變式2-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·隨堂練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算： (1)?7.5×+25×?0.04； (2)?4120×1.25×?8． 【變式2-3】（23-24七年級(jí)·江蘇鹽城·階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算： (1)191718×?9； (2)0.618×97+3×0.618． 知識(shí)點(diǎn)2：倒數(shù) 1）倒數(shù)的概念：乘積是的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。 2）倒數(shù)的性質(zhì)：（1）倒數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱為倒數(shù)。（2）沒有倒數(shù)。（3）互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定是，即，互為倒數(shù)，則；反之亦然． 3）求一個(gè)非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可。 （1）非零整數(shù)可以看作分母為的分?jǐn)?shù)后再求倒數(shù)；（2）帶分?jǐn)?shù)一定要先化成假分?jǐn)?shù)之后再求倒數(shù)。 【題型3 倒數(shù)、絕對(duì)值、相反數(shù)的綜合求值】 【例3】（23-24七年級(jí)·重慶·期末）?1.5的倒數(shù)的絕對(duì)值的相反數(shù)為 ． 【變式3-1】（23-24七年級(jí)·浙江·階段練習(xí)）甲、乙兩同學(xué)進(jìn)行數(shù)字猜謎游戲，甲說：一個(gè)數(shù)a的相反數(shù)是它本身，乙說：一個(gè)數(shù)b的倒數(shù)也是它本身，則a-b= 【變式3-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·期末）若a，b互為相反數(shù)，a+1的倒數(shù)是?14，則b的值為 ． 【變式3-3】（23-24七年級(jí)·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值等于4，p是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)． (1)分別直接寫出a+b，cd，m，p的值； (2)p?cd+a+bcd+m的值是多少？ 【題型4 有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用】 【例4】（23-24七年級(jí)·廣東廣州·開學(xué)考試）如圖，把A，B，C，D，E這五部分用四種不同的顏色著色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色．那么，這幅圖一共有 種不同的著色方法． ?? 【變式4-1】（23-24七年級(jí)·黑龍江大慶·期末）某商店將一種取暖器先提價(jià)20%，然后宣傳打八五折銷售，取暖器的現(xiàn)價(jià)（????） A．和原來一樣 B．比原來降了 C．比原來漲了 D．無法判斷 【變式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了“盈不足”等問題，在第七章“盈不足”中有這樣一個(gè)問題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲這種植物，蒲第一日長(zhǎng)了3尺，以后蒲每日生長(zhǎng)的長(zhǎng)度是前一日生長(zhǎng)的長(zhǎng)度的一半”．根據(jù)題意，第三日蒲生長(zhǎng)的長(zhǎng)度為 尺． 【變式4-3】（23-24七年級(jí)·山東臨沂·期末）某公園門票價(jià)格如下表，有28名中學(xué)生游公園，則最少應(yīng)付費(fèi) 元．（游客只能在公園售票處購(gòu)票） 知識(shí)點(diǎn)3：有理數(shù)的除法 1）有理數(shù)除法法則1：除以一個(gè)不等于的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即：，()。 有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)值的商。除以任何一個(gè)不等于的數(shù)，都得。 2）有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。 有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。 【題型5 有理數(shù)的混合運(yùn)算】 【例5】（23-24七年級(jí)·重慶九龍坡·階段練習(xí)）計(jì)算 (1)?25÷?13÷?325×523 (2)1÷?18+73÷15?23 【變式5-1】（23-24七年級(jí)·福建廈門·期中）下面是小明的計(jì)算過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答下面的問題． 計(jì)算：(?15)÷(13?3?32)×6 解：原式=(?15)÷(?256)×6……第一步 ?????=(?15)÷(?25)……第二步 ?????=?35……第三步 解答過程是否有錯(cuò)，若有，錯(cuò)在第幾步？錯(cuò)誤原因是什么？最后請(qǐng)寫出正確的過程． 【變式5-2】（23-24七年級(jí)·吉林白城·階段練習(xí)）計(jì)算：?45×214+?14×45?112×?45． 【變式5-3】（23-24七年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）老師布置了一道練習(xí)：計(jì)算?16÷14?13×12． 嘉嘉和淇淇的解答過程如下： (1)①嘉嘉解題過程中開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第______步； ②淇淇解題過程中開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第______步． (2)把正確的解題過程寫出來． (3)計(jì)算：?24×34+16?58÷14． 【題型6 有理數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用】 【例6】（23-24七年級(jí)·山東威?！て谥校庀蠼y(tǒng)計(jì)資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降0.6℃．已知山腳的溫度是8℃． (1)若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?(2)小明在上山過程中看到溫度計(jì)上的讀數(shù)是?1℃，此時(shí)他距山腳有多高？ 【變式6-1】（23-24七年級(jí)·貴州銅仁·階段練習(xí)）某服裝公司2017年四個(gè)季度的盈虧情況如下：第一季度平均每月虧損1.5萬元，第二季度在全體員工的努力下，平均每月盈利2萬元，第三季度平均每月盈利1.7萬元，第四季度平均每月虧損2.9萬元，那么這個(gè)公司2017年平均每月盈虧情況如何？ 【變式6-2】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）小張第一次用180元購(gòu)買了8套兒童服裝，以一定價(jià)格出售.如果以每套兒童服裝80元的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的記作整數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，記錄如下（單位：元）： +12,?13,+15,+11,?17,?11,0,?13. 請(qǐng)通過計(jì)算說明： （1）小張賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢？ （2）每套兒童服裝的平均售價(jià)是多少元？ （3）小張第二次用第一次的進(jìn)價(jià)再次購(gòu)買900元的兒童服裝，如果他預(yù)計(jì)第二次每套服裝的平均售價(jià)75元，按他的預(yù)計(jì)第二次售價(jià)可獲利多少元？ 【變式6-3】（23-24七年級(jí)·四川成都·期中）居民生活中使用天然氣實(shí)行階梯式計(jì)價(jià)，用戶每月用氣量在20立方米及以內(nèi)的為第一級(jí)基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格收?。怀^20立方米且不超過30立方米的部分為第二級(jí)氣量基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格的1.5倍收?。撼^30立方米的部分為第三級(jí)氣量基數(shù)，按一級(jí)用氣價(jià)格的1.8倍收?。疄楣?jié)約用氣量，小明記錄了1－7月份他家每月1號(hào)的氣表讀數(shù)． （1）直接寫出小明家1月份的用氣量____________立方米及1－6月平均每月用氣量為_______立方米． （2）已知小明家2月份的氣費(fèi)為36元，試求他家6月份需交氣費(fèi)多少元？ （3）7月份放暑假后，小明的爺爺、奶奶及表哥來到家里和小明一起生活，并多次請(qǐng)客，用氣量明顯增加，比6月份多用氣12立方米，試求小明家7月份需交納氣費(fèi)多少元？ 【題型7 利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】 【例7】（23-24七年級(jí)·遼寧鞍山·階段練習(xí)）閱讀下列材料，并解答問題： 材料一：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，如ab和ba，即若設(shè)a÷b=x，則b÷a=1x； 材料二：分配律：a+bc=ac+bc； 利用上述材料，請(qǐng)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：?160÷13?14+112． 【變式7-1】（23-24七年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）我們學(xué)過了乘法分配律，但是在做除法運(yùn)算時(shí)就不能使用分配律．對(duì)于下面這道計(jì)算題：?142÷16?27+23?314，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒數(shù)：16?27+23?314÷?142=16?27+23?314×(?42)=?16×42+27×42?23×42+314×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣114請(qǐng)你仿照以上小明的做法計(jì)算：?124÷1?112?38+712 【變式7-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·隨堂練習(xí)）閱讀材料，回答問題． 計(jì)算：?115÷15?13． 解：方法一：原式=?115÷315?515=?115÷?215=12． 方法二：原式的倒數(shù)為：15?13÷?115=15?13×?15=15×?15?13×?15=?3+5=2 故原式=12． 用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：?130÷23?110+16?25． 【變式7-3】（23-24七年級(jí)·浙江杭州·階段練習(xí)）閱讀下列材料： 計(jì)算：160÷13?14+112． 解法①：原式=160÷13?160÷14+160÷112=160×3?160×4+160×12=1160． 解法②：原式=160÷412?312+112=160÷16=160×6=110． 解法③：原式的倒數(shù)為13?14+112÷160=13?14+112×60=13×60?14×60+112×60=20?15+5=10， ∴原式=110 解法④：原式=160×60÷13?14+112×60=1÷20?15+5=110 (1)上述解法中，肯定有錯(cuò)誤的解法．你認(rèn)為解法 是錯(cuò)誤的； (2)在正確的解法中，選擇一種解法計(jì)算：?142÷37?514+23?16 【題型8 化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)】 【例8】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）化簡(jiǎn)下列分?jǐn)?shù)： (1)?217； (2)3?36； (3)?54?8； (4)?6?0.3． 【變式8-1】（23-24·上海楊浦·三模）下列分?jǐn)?shù)中，能化為有限小數(shù)的是（????） A．112 B．312 C．115 D．515 【變式8-2】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）化簡(jiǎn)下列各分?jǐn)?shù)：?1255= ，4?36= ，?3?12= ，?5?0.2= ． 【變式8-3】（23-24七年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如果y0 D．a(chǎn)+1b?1>0 【答案】B 【分析】先根據(jù)數(shù)軸確定a，b的取值范圍，再逐一判定即可解答． 【詳解】解：由數(shù)軸可得：?1

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