一、知識速覽
二、考點(diǎn)速覽
知識點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念
1、函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)
一般地，稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
知識點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
知識點(diǎn)3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
【注意】
（1）在某區(qū)間內(nèi)（）是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；
（2）可導(dǎo)函數(shù)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對?x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．
2、導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；
（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．
知識點(diǎn)4 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
1、函數(shù)的極值
（1）函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
（2）函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．
2、函數(shù)的最值
（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
（2）若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．
一、求曲線“在”與“過”某點(diǎn)的切線
1、求曲線“在”某點(diǎn)處的切線方程步驟
第一步（求斜率）：求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率
第二步（寫方程）：用點(diǎn)斜式
第三步（變形式）：將點(diǎn)斜式變成一般式。
2、求曲線“過”某點(diǎn)處的切線方程步驟
第一步：設(shè)切點(diǎn)為；
第二步：求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；
第三步：利用Q在曲線上和，解出及；
第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為．
【典例1】（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，切點(diǎn)為，，
所以切線方程為，即故選：B
【典例2】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知直線是曲線在點(diǎn)處的切線方程，則
【答案】e
【解析】由題設(shè)，且，則，
所以，切線方程為，即，
所以，故.
【典例3】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為 .
【答案】
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則，
，切線的斜率為，
所以切線方程為，
又切線過原點(diǎn)，所以，即，
解得，所以切線方程為
【典例4】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)切點(diǎn)為，
由函數(shù)，可得，則
所以在點(diǎn)處的切線方程為，
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，
整理得，
設(shè)，所以，
令，解得或，令，解得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使得過點(diǎn)可作曲線的三條切線，
則滿足，解得，即的取值范圍是．故選：C．
二、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)
（1）導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)討論（或零點(diǎn)有無意義）；
（2）導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；
（3）導(dǎo)函數(shù)多個零點(diǎn)時大小的討論。
【典例1】（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【答案】答案見解析.
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，
當(dāng)時，，由，得，由，得，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，由，得或，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）討論函數(shù)的單調(diào)性．
【答案】答案見解析
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
令，得，其中.
當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，則，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，由得，，
所以或時，；時，，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
三、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）在區(qū)間D上恒成立；
（2）函數(shù)在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間在區(qū)間D上能成立；
（3）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)不存在變號零點(diǎn)
（4）已知函數(shù)在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)存在變號零點(diǎn)
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．故選：C．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，故在上有零點(diǎn)，
令，令，得，
令，則，
由，得，單調(diào)遞增，又由，得，
故，所以，的取值范圍故選：A
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>要使函數(shù)恰有三個單調(diào)區(qū)間，
則有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得且，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：C.
四、構(gòu)造函數(shù)法解決函數(shù)問題中的常見類型
關(guān)系式為“加”型構(gòu)造：
構(gòu)造
（2） 構(gòu)造
（3） 構(gòu)造
（4）構(gòu)造（注意的符號）
（5） 構(gòu)造
關(guān)系式為“減”型構(gòu)造：
（6） 構(gòu)造
（7） 構(gòu)造
（8） 構(gòu)造
（9）構(gòu)造（注意的符號）
（10） 構(gòu)造
【典例1】（2023春·重慶·高二校聯(lián)考期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，
因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br>由，且得，則，
所以，又在單調(diào)遞增，所以，故選：A．
【典例2】（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，則不等式的解集為 .
【答案】
【解析】由時，函數(shù)滿足，可得，
設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，
由，即，即，
所以，解得，所以的解集為.
【典例3】（2023春·四川宜賓·高二校考期中）已知是定義在上的函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)滿足對于恒成立，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】設(shè)函數(shù)，由，可得，
所以在R上單調(diào)遞減，
則，得，即，
則，得，即.故選：D
五、單變量不等式恒成立問題
一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對于，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令，可得，
若時，，單調(diào)遞減，
又由，所以當(dāng)時，可得，不符合題意，舍去；
若時，令，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
又由，所以存在，使得，不符合題意，舍去；
若時，令，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，恒成立，符合題意，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】
【解析】解法一，由在上恒成立，得在上恒成立，
即在上恒成立
令，，則．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以
因?yàn)?，，所以?br>所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
解法二，由在上恒成立，得在上恒成立．
令，，則滿足即可
，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．
因?yàn)?，，所以?br>所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
六、雙變量不等式與等式
一般地，已知函數(shù)，
1、不等關(guān)系
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2、相等關(guān)系
記的值域?yàn)锳, 的值域?yàn)锽,
（1）若，，有成立，則有；
（2）若，，有成立，則有；
（3）若，，有成立，故；
一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2023春·四川宜賓·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，，對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，則，
令，解得或；令， 解得，
，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
且，故，
任意的，都有成立，則，
因?yàn)?，則，
當(dāng)時，在單調(diào)遞增，
所以，
故，即(舍去)；
當(dāng)時，令，解得；令， 解得，
故在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即， 解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，若對任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由題意得．
因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，．
因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．
由，即，解得．
易錯點(diǎn)1 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)錯誤
點(diǎn)撥：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)，即。
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
(1)； (2)； (3) (4)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【解析】（1）因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)?，所?
（3）因?yàn)?，所?br>（4）因?yàn)?，所?br>【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求的導(dǎo)函數(shù).
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
易錯點(diǎn)2 誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系
點(diǎn)撥：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，而沒有對這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪?dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個函數(shù)在此點(diǎn)取到極值的必要條件，充要條件是兩側(cè)異號。
【典例1】（2022秋·遼寧鞍山·高三校聯(lián)考期中）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A．有極小值，極大值 B．有極小值，極大值
C．有極小值，極大值和 D．有極小值，極大值
【答案】D
【解析】觀察圖象知，當(dāng)時，或且，
當(dāng)時，或，
而當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此當(dāng)或時，，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有極小值，極大值，A，B，C不正確；D正確.故選：D
【典例2】（2022秋·北京·高三北京鐵路二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是的極大值點(diǎn)，以下四個結(jié)論中正確的命題序號是 .
①，； ②是的極大值點(diǎn)；
③是的極小值點(diǎn)； ④是的極小值點(diǎn)
【答案】②④
【解析】對于①：是的極大值點(diǎn)，并不一定是最大值點(diǎn)，即①錯誤；
對于②：因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對稱，
且是的極大值點(diǎn)，
所以應(yīng)是的極大值點(diǎn)，即②正確；
對于③：因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對稱，
且是的極大值點(diǎn)，
所以應(yīng)是的極小值點(diǎn)，
且無法判定是的極小值點(diǎn)，即③錯誤；
對于④：因?yàn)榕c的圖象關(guān)于對稱，
且是的極大值點(diǎn)，
所以應(yīng)是的極小值點(diǎn)，即④正確；故答案為：②④.
【典例3】（2023·全國·高三對口高考）如果函數(shù)在處有極值，則的值為 ．
【答案】2
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，
所以，.
由于，
所以，，
解得：或.
當(dāng)時，，
，所以單調(diào)遞減，無極值.
所以.故答案為：2
易錯點(diǎn)3 對“導(dǎo)數(shù)值符號”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹
點(diǎn)撥：一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?，且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件。
【典例1】（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，
令，則，
所以在上遞增，又，所以.
所以的取值范圍是.故選：B
【典例2】（2022秋·山東濟(jì)寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若在內(nèi)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】，
∵在內(nèi)為減函數(shù)，
∴在內(nèi)恒成立，
∴，即，解得．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】由，所以，
單調(diào)遞減區(qū)間是，的解集為，
即的解集為，
，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：D.
易錯點(diǎn)4 對“導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚
點(diǎn)撥：解答此類題的關(guān)鍵是抓住①導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系——極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0；②導(dǎo)函數(shù)值的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系——原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)。
【典例1】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，若，則的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由的圖象可知，當(dāng)時，，
則在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，
對于A，在區(qū)間上，函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率均小于0，故A不正確；
對于B，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故B不正確；
對于C，在區(qū)間上，函數(shù)上存在點(diǎn)，在該點(diǎn)處切線的斜率大于1，故C不正確；
對于D，由的圖象可知，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)上各點(diǎn)處切線的斜率在區(qū)間內(nèi)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)的圖象均符合這些性質(zhì)，故D正確.故選：D
【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖像如圖所示，則下列敘述正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由題意得，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?，C選項(xiàng)正確.
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，D選項(xiàng)正確.故選：CD原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)

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