班級_________ 姓名________________________
一、選擇題共10題，每題4分，共40分.
1．已知集合，，則
A．{1,2} B．{1,4}C．{2,3} D．{9,16}
2． 命題“”的否定是
A. B.
C. D.
3．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的為
A． B. C. D.
4.在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的部分圖象，其中，則下
列所給圖象中可能正確的是
5.已知實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是
6.若向量，滿足，，且，則與的夾角為
A． B． C． D．
7．已知，，滿足，則
A． B． C． D．
8.已知實(shí)數(shù)，. “，”是””的
9.函數(shù)，.若存在，使得，則的最大值為
A. 5B. 6C. 7D. 8
10.已知函數(shù) 若對于任意正數(shù)，關(guān)于的方程都恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個數(shù)為
二.填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分）
如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)在第二象限，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．
12.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，并且是周期為的周期函數(shù)，若，則
； ．
13. 已知，則的最小值為_________,此時等于______.
14. 已知函數(shù)，若對任意都有，則常數(shù)的一個取值為______．
15. 已知，給出以下命題：
① 當(dāng)時，存在，有兩個不同的零點(diǎn)
② 當(dāng)時，存在，有三個不同的零點(diǎn)
③ 當(dāng)時，對任意的，的圖象關(guān)于直線對稱
④ 當(dāng)時，對任意的，有且只有兩個零點(diǎn)
其中所有正確的命題序號是_____________.
三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
16、（本小題滿分13分） 已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若在區(qū)間上有且只有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.
17.（本小題共14分）某公司在2013~2021年生產(chǎn)經(jīng)營某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
注：年返修率=年返修臺數(shù)年生產(chǎn)臺數(shù).
（Ⅰ）從2013~2020年中隨機(jī)抽取一年，求該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/臺的概率；
（Ⅱ）公司規(guī)定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀. 現(xiàn)從2013~2020年中隨機(jī)選出3年，記表示這3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）記公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生產(chǎn)臺數(shù)的方差分別為，，. 若，其中表示這兩個數(shù)中最大的數(shù)．請寫出的最大值和最小值.（只需寫出結(jié)論）
18. （本小題滿分13分）在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使得存在且唯一確定，求的面積．
條件①：，； 條件②：，邊上的高為；
條件③：，．
注：如果選擇的條件不符合要求，第二問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分．
19.（本小題共15分）
已知函數(shù).
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：.
20. (本小題15分)
已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
21.（本小題共15分）
在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn). 對任意的點(diǎn)，定義.
任取點(diǎn)，記，若此時
成立，則稱點(diǎn)相關(guān).
（Ⅰ）分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說明理由；
①； ②.
（Ⅱ）給定，，點(diǎn)集.
(ⅰ)求集合中與點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)的個數(shù)；
(ⅱ)若，且對于任意的，點(diǎn)相關(guān)，求中元素個數(shù)的最大值.
高三開學(xué)檢測試卷
一、選擇題共10題，每題4分，共40分.
1．已知集合，，則B
A．{1,2} B．{1,4}C．{2,3} D．{9,16}
2． 命題“”的否定是C
A. B.
C. D.
3．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的為B
A． B. C. D.
4.在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的部分圖象，其中，則下
列所給圖象中可能正確的是D
5.已知實(shí)數(shù)，，在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是D
6.若向量，滿足，，且，則與的夾角為C
A． B． C． D．
7．已知，，滿足，則A
A． B． C． D．
8.已知實(shí)數(shù)，. “，”是””的A
9.函數(shù)，.若存在，使得，則的最大值為
故選D
A. 5B. 6C. 7D. 8
10.已知函數(shù) 若對于任意正數(shù)，關(guān)于的方程都恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個數(shù)為B
填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分）
如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)在
第二象限，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．11．
12.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，并且是周期為的周期函數(shù)，若，則
； ．12、，
13. 已知，則的最小值為_________,此時等于______. 13. 21；11
14. 已知函數(shù)，若對任意都有，則常數(shù)的一個取值為______．
14.
15. 已知，給出以下命題：
① 當(dāng)時，存在，有兩個不同的零點(diǎn)
② 當(dāng)時，存在，有三個不同的零點(diǎn)
③ 當(dāng)時，對任意的，的圖象關(guān)于直線對稱
④ 當(dāng)時，對任意的，有且只有兩個零點(diǎn)
其中所有正確的命題序號是_____________.
15、 eq \\ac(○,1)②③

三、解答題：本大題共6小題，共85分．
16、（本小題滿分13分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若在區(qū)間上，求有且只有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.

（18）（本小題共14分）
某公司在2013~2021年生產(chǎn)經(jīng)營某種產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：
注：年返修率=年返修臺數(shù)年生產(chǎn)臺數(shù).
（Ⅰ）從2013~2020年中隨機(jī)抽取一年，求該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/臺的概率；
（Ⅱ）公司規(guī)定：若年返修率不超過千分之一，則該公司生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀. 現(xiàn)從2013~2020年中隨機(jī)選出3年，記表示這3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）記公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生產(chǎn)臺數(shù)的方差分別為，，. 若，其中表示這兩個數(shù)中最大的數(shù)．請寫出的最大值和最小值.（只需寫出結(jié)論）
（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）
（18）（本小題共14分）
解：（Ⅰ）由圖表知，2013~2020年中，產(chǎn)品的平均利潤小于100元/臺的年份只有2015年，2016年.
所以 從2013~2020年中隨機(jī)抽取一年，該年生產(chǎn)的產(chǎn)品的平均利潤不小于100元/臺的概率為．
（Ⅱ）由圖表知，2013~2020年中，返修率超過千分之一的年份只有2013，2015年，
所以的所有可能取值為．
，，．
所以的分布列為
故的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）的最大值為，最小值為．
18.在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，使得存在且唯一確定，求的面積．
條件①：，；
條件②：，邊上的高為；
條件③：，．
注：如果選擇的條件不符合要求，第二問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，則按第一個解答計(jì)分．
（18）（本小題14分）
解：（Ⅰ）因?yàn)椋?br>所以． ……2分
所以．
因?yàn)?，所以?br>所以，解得． ……4分
又因?yàn)椋? ……5分
所以． ……6分
（Ⅱ）若選擇條件①，．
在中，因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以． ……2分
因?yàn)椋?
所以，解得． ……5分
所以． ……6分
所以． ……8分
若選擇條件②，邊上的高為．
在中，因?yàn)?，邊上的高為?br>所以．
因?yàn)椋?br>所以，即．
因?yàn)?，，所以為銳角或鈍角，不唯一確定．
若選擇條件③，
方法一：
因?yàn)椋?br>所以，即．
因?yàn)?所以，．
因?yàn)椋?br>所以．解得或（舍去）
所以．
方法二：
在中，因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)?，所以，?br>過作于D，即．
在中， ．
在中，．
所以．
所以．
（20）（本小題共15分）
已知函數(shù).
（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：.
解：（Ⅰ）因?yàn)?，
所以 .
所以 ．
又因?yàn)?，
所以 曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．所以
（Ⅱ）的定義域?yàn)?
.
當(dāng)時，，所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為.
當(dāng)時，令，得.
與在區(qū)間上的情況如下：
所以 的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.
所以 至多有一個實(shí)根，不符合題意.
②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以 的最小值為.
若，則，所以 至多有一個實(shí)根，不符合題意.
若，即，得.
又 ，且在上單調(diào)遞減，
所以 在上有唯一零點(diǎn).
因?yàn)?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且較小的實(shí)數(shù)根為，
所以 在上的唯一零點(diǎn)就是.
方法一：
所以 ，.
所以 .
所以 “”等價于“”，即.
由（Ⅱ）知，當(dāng)時，的最小值為.
又因?yàn)?，所以 .
所以 .
方法二：
“”等價于“”.
又，
所以 .
因?yàn)?在上單調(diào)遞減，
所以 “”等價于“”，
即.
因?yàn)?，
令，則， .
即等價于，即.
所以 “”等價于“”.
令，.
所以 .
當(dāng)時，，所以 在上單調(diào)遞增.
所以 ，而.
所以 成立.
所以 .
20.已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
20. (本小題15分)
（20）（本小題15分）
解：（Ⅰ），所以，
， ……2分
所以切線斜率為，又切點(diǎn)為，
所以切線方程為．
（Ⅱ）， ……1分
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，恒成立，即恒成立，
即恒成立． ……2分
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最小值，
所以． ……5分
經(jīng)檢驗(yàn)，時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且，所以在上恰有一個零點(diǎn)． ……2分
當(dāng)時，令，得，
，故設(shè)兩根為，
因?yàn)榍?，所以?br> 與的情況如下：
因?yàn)?，所以且?br>又當(dāng)時，，
取，有，
再取，有．
所以函數(shù)在區(qū)間，各有一個零點(diǎn)，且，共3個零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng)時，的零點(diǎn)個數(shù)為3．
（21）（本小題共14分）
在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn). 對任意的點(diǎn)，定義.
任取點(diǎn)，記，若此時
成立，則稱點(diǎn)相關(guān).
（Ⅰ）分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說明理由；
①； ②.
（Ⅱ）給定，，點(diǎn)集.
(ⅰ)求集合中與點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)的個數(shù)；
(ⅱ)若，且對于任意的，點(diǎn)相關(guān)，求中元素個數(shù)的最大值.
（21）（本小題共14分）
解：（Ⅰ）①由題知，進(jìn)而有
，
，
所以.
所以兩點(diǎn)相關(guān)；
②由題知，進(jìn)而有
，
，
所以，
所以兩點(diǎn)不相關(guān).
（Ⅱ）(ⅰ)設(shè)的相關(guān)點(diǎn)為，，,
由題意，，.
因?yàn)辄c(diǎn)相關(guān)，則.
所以.
所以.
當(dāng)時,,則相關(guān)點(diǎn)的個數(shù)共3個;
當(dāng)時,則相關(guān)點(diǎn)的個數(shù)共個;
當(dāng)時, ，則相關(guān)點(diǎn)的個數(shù)共個.
所以滿足條件點(diǎn)B共有(個).
(ⅱ)集合中元素個數(shù)的最大值為.
符合題意
下證：集合中元素個數(shù)不超過.
設(shè)，若點(diǎn)相關(guān)，則
.
則.
所以.
設(shè)集合中共有個元素，分別為，，，
不妨設(shè)，而且滿足當(dāng)，.
下證：.
若，.
若，則必有.
記，，，，
顯然，數(shù)列至多連續(xù)3項(xiàng)為0，必有，
假設(shè)，
則.
而,
因此，必有或.
可得，不可能同時為0，則.
所以.
必有，.
所以，，.
因此，，.
若，則，矛盾.
同理，，矛盾.
因此，假設(shè)不成立.
所以.
所以集合中元素個數(shù)的最大值為. A．
B．
C．
D．
（A）充分而不必要條件
（B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件
（D）既不充分也不必要條件
（A）
（B）
（C）
無數(shù)
年 份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年生產(chǎn)臺數(shù)（單位：萬臺）
3
4
5
6
6
9
10
10
a
年返修臺數(shù)（單位：臺）
32
38
54
58
52
71
80
75
b
年利潤（單位：百萬元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
10.00
11.50
c
A．
B．
C．
D．
（A）充分而不必要條件
（B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件
（D）既不充分也不必要條件
（A）
（B）
（C）
（D）無數(shù)
年 份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年生產(chǎn)臺數(shù)（單位：萬臺）
3
4
5
6
6
9
10
10
a
年返修臺數(shù)（單位：臺）
32
38
54
58
52
71
80
75
b
年利潤（單位：百萬元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
10.00
11.50
c
極小值
+
0
-
0
+
增
極大
減
極小
增

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