TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27789" 【題型1 立方根的性質(zhì)與數(shù)軸的綜合】 PAGEREF _Tc27789 \h 1
\l "_Tc28552" 【題型2 根據(jù)立方根的性質(zhì)求字母的值】 PAGEREF _Tc28552 \h 2
\l "_Tc19412" 【題型3 根據(jù)立方根的定義解方程】 PAGEREF _Tc19412 \h 2
\l "_Tc17834" 【題型4 與立方根有關(guān)的計(jì)算】 PAGEREF _Tc17834 \h 2
\l "_Tc12458" 【題型5 算術(shù)平方根、平方根、立方根的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc12458 \h 3
\l "_Tc6158" 【題型6 利用立方根的定義解決實(shí)際問(wèn)題】 PAGEREF _Tc6158 \h 3
\l "_Tc4837" 【題型7 利用立方根探究規(guī)律】 PAGEREF _Tc4837 \h 4
【知識(shí)點(diǎn) 立方根的概念及性質(zhì)】
（1）一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，記作。即。
（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0.
【題型1 立方根的性質(zhì)與數(shù)軸的綜合】
【例1】（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)?？计谥校┤鐖D，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．試化簡(jiǎn)：b2+a?b?3a+b3?b?c．
【變式1-1】（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A是614的算術(shù)平方根，點(diǎn)B的立方是?827，在數(shù)軸上描出點(diǎn)A和點(diǎn)B，并求出A與B兩點(diǎn)的距離．
【變式1-2】（2023春·四川成都·七年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的數(shù)為x，則x2?10的立方根為_(kāi)_____．
【變式1-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示，并用“＜”號(hào)把它們連接起來(lái)．
?3，0，?4，3?125，?12022
【題型2 根據(jù)立方根的性質(zhì)求字母的值】
【例2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期中）已知a2=-32，33a-2b+3a+b=0，求代數(shù)式2a2-b的值．
【變式2-1】（2023春·浙江寧波·七年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)校考期中）若實(shí)數(shù)a，b滿足a+3b=?2．請(qǐng)按要求解答下列問(wèn)題：
(1)若a，b都是整數(shù)．請(qǐng)寫出一對(duì)符合條件的a，b的值，
(2)若a，b都是分?jǐn)?shù)．請(qǐng)寫出一對(duì)符合條件的a，b的值．
【變式2-2】（2023春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若a2=9，b3=?8，且ab>0，則a?b的值為（ ）
A．?1B．1C．5D．?1或5
【變式2-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）解答下列各題：
（1）已知31?a2=1?a2，求a的值；
（2）若31?2b與33b?5互為相反數(shù)，求1?b的值.
【題型3 根據(jù)立方根的定義解方程】
【例3】（2023春·吉林·七年級(jí)校聯(lián)考期中）求x的值：(x+4)3?64=0．
【變式3-1】（2023·七年級(jí)單元測(cè)試）(1)若(x－3)2＝169，則x的值為_(kāi)_______；
(2)若(2x－1)3＝－8，則x的值為_(kāi)_______.
【變式3-2】（2023春·吉林白城·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根分別是a+7與3a?11．
(1)求a的值；
(2)求關(guān)于x的方程ax3?125=0的解．
【變式3-3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）求下列各式中x的值．
(1)x?13=?8；
(2)x3+1=?9827；
(3)142x+33=54．
【題型4 與立方根有關(guān)的計(jì)算】
【例4】（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，小明設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，當(dāng)輸入x的值為-5時(shí)，則輸出的值為（ ）
A．-1B．-2C．-3D．3
【變式4-1】（2023春·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：38?3?18= ______．
【變式4-2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期中）若某自然數(shù)的立方根為a，則它前面與其相鄰的自然數(shù)的立方根是（ ）
A．a(chǎn)?1B．3a?1C．3a3?1D．a(chǎn)3?1
【變式4-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）定義新運(yùn)算：對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，都有a△b=a?b2，例如，3△4=3?42=?13，那么3(2△1)△3=________．
【題型5 算術(shù)平方根、平方根、立方根的綜合應(yīng)用】
【例5】（2023春·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知?8的平方等于a，b的平方等于121，c的立方等于?27，d的算術(shù)平方根為5．
（1）寫出a，b，c，d的值；
（2）求d+3c的平方根；
（3）求a?b2+c+d的值．
【變式5-1】（2023春·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期中）2a?1的平方根為±3，3a?b+1的立方根為2，則32a+2b+1的值為（ ）
A．?3B．3C．±3D．不確定
【變式5-2】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）簡(jiǎn)答：
(1)設(shè)a3+64+|b3-27|=0,求(a+b)2的值;
(2)已知225的算術(shù)平方根是a,-512的立方根是b,求2a-12b+2的值.
【變式5-3】（2023春·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是a+3與2a?15，2b?1=13．
(1)求x的值；
(2)求a+b?1的立方根．
【題型6 利用立方根的定義解決實(shí)際問(wèn)題】
【例6】（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖的零件是由兩個(gè)正方體焊接而成，已知大正方體和小正方體的體積分別為125cm3和27cm3，現(xiàn)要給這個(gè)零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面積是（ ）cm2．
A．161B．186C．195D．204
【變式6-1】（2023春·浙江金華·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長(zhǎng)方形紙板拼接而成的，已知一張長(zhǎng)方形紙板的面積為162cm2．
(1)求正方形紙板的邊長(zhǎng)；
(2)若將該正方形紙板進(jìn)行裁剪，然后拼成一個(gè)體積為343cm3的正方體無(wú)蓋筆筒，請(qǐng)你判斷該硬紙片是否夠用？若夠用，求剩余的硬紙片的面積；若不夠用， 求缺少的硬紙片的面積．
【變式6-2】（2023春·安徽淮南·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）要生產(chǎn)一種容積為36π升的球形容器，這種球形的半徑是多少分米？（球的體積公式是V=43πR3，其中R是球的半徑）．
【變式6-3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）圖1是由27個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為27
(1)求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)．
(2)圖2是這個(gè)魔方的一個(gè)面，圖中的陰影部分是一個(gè)正方形，求出陰影部分的面積及其邊長(zhǎng)．
【題型7 利用立方根探究規(guī)律】
【例7】（2023春·廣東珠?！て吣昙?jí)珠海市九洲中學(xué)校考期中）據(jù)說(shuō)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個(gè)整數(shù)的立方是59319，求這個(gè)整數(shù)．華羅庚脫口而出：“39.”鄰座的乘客十分驚奇，忙問(wèn)計(jì)算的奧妙．
你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出來(lái)的嗎？請(qǐng)按照下面的問(wèn)題試一試：
（1）由103=1000，1003=1000000，你能確定359319是幾位數(shù)嗎？
（2）由59319的個(gè)位上的數(shù)是9，你能確定359319的個(gè)位上的數(shù)是幾嗎？
（3）如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而33=27，43=64，由此你能確定359319的十位上的數(shù)是幾嗎？
（4）已知19683，110592都是整數(shù)的立方，請(qǐng)你按照上述方法確定它們的立方根．
【變式7-1】（2023春·廣東汕尾·七年級(jí)華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？计谥校┨剿饕?guī)律：
(1)計(jì)算：
①3?125=_________，3125=_________；
②3?8=________，38=________．
(2)歸納：由（1）的計(jì)算可得3?a=________．
(3)利用（2）探索出的規(guī)律，解答下題．
若3x?1與32x?3互為相反數(shù)，求x的值．
【變式7-2】（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）觀察下列規(guī)律回答問(wèn)題：3?0.001=?0.1，3?1=?1，3?1000=?10，30.001=0.1，31=1，31000=10…
(1)則30.000001= ；3106= ；按上述規(guī)律，已知數(shù)a小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)與它的立方根3a的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)間有何規(guī)律？
(2)已知3x=1.587，若3y=?0.1587，用含x的代數(shù)式表示y，則y= ；
(3)根據(jù)規(guī)律寫出3a與a的大小情況．
【變式7-3】（2023春·廣西南寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解，觀察下列式子：
① 31+3?1=1+(?1)=0；
② 38+3?8=2+(?2)=0；
③ 327+3?27=3+(?3)=0；
④364+3?64=4+?4=0；
……
根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問(wèn)題：
(1)【觀察與發(fā)現(xiàn)】：根據(jù)以上式子反映的規(guī)律，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)類似的等式： ．
(2)【分析與歸納】：根據(jù)等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個(gè)這樣的真命題：對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)a，b，若 ，則3a+3b=0；反之也成立．
(3)【拓展與應(yīng)用】：根據(jù)上述歸納的真命題，解答下列問(wèn)題：若3x?1與32x的值互為相反數(shù)，且33?2y+
專題2.2 立方根【七大題型】
【北師大版】
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\l "_Tc27789" 【題型1 立方根的性質(zhì)與數(shù)軸的綜合】 PAGEREF _Tc27789 \h 1
\l "_Tc28552" 【題型2 根據(jù)立方根的性質(zhì)求字母的值】 PAGEREF _Tc28552 \h 3
\l "_Tc19412" 【題型3 根據(jù)立方根的定義解方程】 PAGEREF _Tc19412 \h 5
\l "_Tc17834" 【題型4 與立方根有關(guān)的計(jì)算】 PAGEREF _Tc17834 \h 7
\l "_Tc12458" 【題型5 算術(shù)平方根、平方根、立方根的綜合應(yīng)用】 PAGEREF _Tc12458 \h 9
\l "_Tc6158" 【題型6 利用立方根的定義解決實(shí)際問(wèn)題】 PAGEREF _Tc6158 \h 11
\l "_Tc4837" 【題型7 利用立方根探究規(guī)律】 PAGEREF _Tc4837 \h 13
【知識(shí)點(diǎn) 立方根的概念及性質(zhì)】
（1）一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，記作。即。
（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0.
【題型1 立方根的性質(zhì)與數(shù)軸的綜合】
【例1】（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)?？计谥校┤鐖D，a，b，c是數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)A、B、C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．試化簡(jiǎn)：b2+a?b?3a+b3?b?c．
【答案】-2b-c．
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出絕對(duì)值里和根號(hào)下式子的符號(hào)，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)題意得：b＜0，a-b＞0，a+b＜0，b-c＜0，
則原式=-b+a-b-a-b+b-c
=-2b-c．
【點(diǎn)睛】此題考查了開(kāi)平方，開(kāi)立方絕對(duì)值化簡(jiǎn)運(yùn)算，判斷出絕對(duì)值里邊式子的正負(fù)是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2023春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)A是614的算術(shù)平方根，點(diǎn)B的立方是?827，在數(shù)軸上描出點(diǎn)A和點(diǎn)B，并求出A與B兩點(diǎn)的距離．
【答案】畫(huà)圖見(jiàn)解析；兩點(diǎn)距離196；
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義計(jì)算求值即可；
【詳解】解：∵點(diǎn)A是254的算術(shù)平方根，
∴點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為52，
∵點(diǎn)B的立方是?827，
∴點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為?23，
在數(shù)軸上描出點(diǎn)A和點(diǎn)B為：
因此AB之間的距離為：52-（?23）=196，
答：A與B兩點(diǎn)的距離為196；
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根：如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根；立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根（或三次方根），正數(shù)只有一個(gè)正的立方根，負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根，零的立方根為零；數(shù)軸上兩點(diǎn)距離=右邊的數(shù)-左邊的數(shù)．
【變式1-2】（2023春·四川成都·七年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A所表示的數(shù)為x，則x2?10的立方根為_(kāi)_____．
【答案】?2
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)和相關(guān)線段的長(zhǎng)，即知表示0的點(diǎn)和A之間的線段的長(zhǎng)，進(jìn)而可推出點(diǎn)A所表示的數(shù)，代入x2?10進(jìn)行計(jì)算，再求立方根即可．
【詳解】解：由圖可知，x=?2，
x2?10=?8，
-8立方根是3?8=?2，
【點(diǎn)睛】本題主要考查的就是數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)，立方根，屬于基礎(chǔ)題型．
【變式1-3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示，并用“＜”號(hào)把它們連接起來(lái)．
?3，0，?4，3?125，?12022
【答案】見(jiàn)解析
【分析】先利用絕對(duì)值的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方、平方根與立方根，將各數(shù)進(jìn)行整理，并標(biāo)在數(shù)軸上，再?gòu)淖蟮接矣谩埃肌碧?hào)把它們連接即可．
【詳解】解：?3=3，?4=?2，3?125=?5，?12022=1，
將各數(shù)表示在數(shù)軸上為：
用“＜”號(hào)把它們連接起來(lái)為：3?125

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