相似三角形問(wèn)題
1. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(-3,0),B(3,0),C(0,4),點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，當(dāng) △ABC～△ACD時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=?43x+8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn) B，已知點(diǎn) C的坐標(biāo)為( ?40,點(diǎn) P 是直線 AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若以A，P，C為頂點(diǎn)的三角形與 △AOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
3.如圖，拋物線 y=?12x2+32x+2交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作 MN⊥x軸于點(diǎn)N.若 △MON與 △BOC相似，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).
● 全等三角形問(wèn)題
4.如圖,直線 y=12x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線 AC⊥AB于點(diǎn)A，若點(diǎn) D 是x軸上方直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E 是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) △BOA?△AED時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).
5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=?x2+2x+3與 x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作( CD⊥x軸于點(diǎn) D，直線y=x與CD所在直線交于 y=x點(diǎn) E,若直線: y=x；上存在一點(diǎn) F，使得 △ODE?△FCE,求點(diǎn) C的坐標(biāo).
6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=?x2?2x+3與x 軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC,若在第二象限內(nèi)存在一點(diǎn)D，使得以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC全等，求點(diǎn) D 的坐標(biāo).
二階 設(shè)問(wèn)進(jìn)階練
例 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=kx+1l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn) C，過(guò)點(diǎn) C的拋物線 y=34x2?52x+1與直線AC交于點(diǎn)B(4,3).
(1)已知點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)(點(diǎn) P不與點(diǎn)O重合)，連接CP，若 △AOC～△ACP,，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)已知點(diǎn)Q(m,0)是x軸上一點(diǎn),連接BQ,若以點(diǎn)A,B,Q為頂點(diǎn)的三角形與 △AOC相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)E(0,n)為y軸正半軸上一點(diǎn),點(diǎn). D0?1,，若以點(diǎn)B，C，E為頂點(diǎn)的三角形與 △ACD相似，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；
(4)若點(diǎn) F 是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F 作 FG⊥y軸于點(diǎn) G,點(diǎn) J是y軸上一點(diǎn)，要使以F，G，J為頂點(diǎn)的三角形與 △OAC全等，求點(diǎn) F的縱坐標(biāo)；
(5)若點(diǎn)S為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)S作 ST⊥x軸于點(diǎn)T，點(diǎn)Z 是x軸上一點(diǎn)，要使以S，T，Z 為頂點(diǎn)的三角形與 △AOC全等，求點(diǎn) Z 的坐標(biāo)；
(6)如圖⑥，已知L為AO的中點(diǎn)，連接OB，點(diǎn)R為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)R，使得以L，O，R為頂點(diǎn)的三角形與 △COB全等?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
綜合強(qiáng)化練
1. 創(chuàng)新題·閱讀理解題定義：將拋物線 y=ax2向右平移h個(gè)單位，再向上平移k個(gè)單位得到拋物線 y=ax??2+k(h,k均大于0)，則將拋物線 y=ax2稱為“原函數(shù)”，把由它平移得到的拋物線 y=ax??2+k稱為拋物線 y=ax2的“衍生函數(shù)”，將平移路徑稱為“衍生路徑”，平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離 ?2+k2稱“衍生距離”.如圖，已知拋物線L y=?12x2+2x與x軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B,連接AB,OB.
(1)若拋物線 y=?12x2為拋物線L的“原函數(shù)”，則拋物線L 的“衍生路徑”為 ，平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的“衍生距離”為 ；
(2)若點(diǎn)Q是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，連接CQ，點(diǎn)B 關(guān)于線段CQ的對(duì)稱點(diǎn)為 B',當(dāng) △B'CO為等邊三角形時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
(3)若將拋物線L作為“原函數(shù)”，將其向左平移 nn0))個(gè)單位得到它的“衍生函數(shù)”L'，L'與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn) D，點(diǎn) P 為拋物線L'上一點(diǎn)，若 △POE?△POD,求兩拋物線的“衍生距離”.
作圖區(qū) 答題區(qū)
2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 y=ax2+bx?2與x軸交于A(1,0), B?30)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn) C,連接AC.
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn) P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)， PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，M是x軸上的點(diǎn)，當(dāng)以P，Q，M為頂點(diǎn)的三角形與 △AOC全等時(shí)，求 P點(diǎn)與M點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖②,連接BC,過(guò)點(diǎn)A作. AD‖BC交拋物線于點(diǎn) D，E為BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,交線段BC于點(diǎn) F,連接CE,AF,求四邊形ACEF 面積的最大值.
作圖區(qū) 答題區(qū)
3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù) y=?3x+3的圖象分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B 的另一直線交x軸于點(diǎn)( C?30.
(1)求直線 BC的解析式;
(2)創(chuàng)新題·動(dòng)點(diǎn)求面積關(guān)系若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CA運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，連接BP.設(shè) △BPQ的面積為S，點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
(3)在直線BC上是否存在點(diǎn) M，使得以A，B，M 為頂點(diǎn)的三角形與 △AOB相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
作圖區(qū) 答題區(qū)
4. 創(chuàng)新題·閱讀理解題 定義：若拋物線 y=ax2+bx+cac≠0與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C.線段OA,OB,OC的長(zhǎng)滿足 OC2=OA?OB,則這樣的拋物線稱為“黃金拋物線”.如圖，“黃金拋物線 y=ax2+bx+2a≠0與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸的正半軸交于點(diǎn) B，與y軸交于點(diǎn) C，且 OA=4OB.
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P為AC 上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作 PD⊥AC于點(diǎn) D.
①求 PD的最大值;
②連接PC，當(dāng)以點(diǎn) P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與 △ACO相似時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).
作圖區(qū) 答題區(qū)
5.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線 y=?x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線 y=ax2+
bx+ca≠0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,( C?20.
(1)求拋物線的解析式；
(2)連接BC，點(diǎn) P 為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作 PE‖BC交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作
PF‖x軸交直線AB于點(diǎn)F，求 △PEF周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)；
(3)如圖②，將拋物線向右平移2個(gè)單位得到一個(gè)新的拋物線 y',，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)
G，連接BG并延長(zhǎng)交新拋物線y'于點(diǎn) D，連接OG，作射線OD.動(dòng)點(diǎn)M位于射線 OD下方的新
拋物線上，動(dòng)點(diǎn) N位于射線OD上，是否存在動(dòng)點(diǎn)M，N，使 ∠OMN=90°,,且以點(diǎn)O,M,N為頂
點(diǎn)的三角形與 △OBG相似?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
作圖區(qū) 答題區(qū)
一階 方法突破練
1. 解:∵A(-3,0),B(3,0),C(0,4),
∴AB=6,AC=5.
∵ △ABC∽△ACD,
∴ABAC=ACAD,即 65=5AD,解得 AD=256.
由題意得，點(diǎn) D 在點(diǎn)A 的右側(cè)，
∵OA=3,∴OD=AD?OA=76,
∴點(diǎn)D 的坐標(biāo)為 760.
2. 解:在 y=?43x+8中,令x=0,解得y=8,令y=0,解得x=6,∴A(6,0),B(0,8),∴ AB=62+82=10.分兩種情況考慮，如解圖所示，
①當(dāng)△AOB∽△ACP?時(shí), ∠ACP?=∠AOB=90°,
當(dāng)x=-4時(shí) y=?43x+8=403,
∴點(diǎn) P?的坐標(biāo)為 ?4403;
②當(dāng)△AOB∽△AP?C時(shí),設(shè)點(diǎn)
P?的坐標(biāo)為 m?43m+8.
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn) C的坐標(biāo)為(-4,0),
∴AC=10.
∵ △AOB∽△AP?C,
∴CP2BO=ACAB,即 CP28=1010,
∴CP2=8,∴m??42+?43m+8?02=8,整理，得 53m?42=0,解得 m1=m2=125,
∴點(diǎn)P?的坐標(biāo)為 125245.
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ?4403或 125245.
3. 解:在 y=?12x2+32x+2中,令x=0,得y=2,∴C(0,2),∴OC=2,
令 ?12x2+32x+2=0,解得x=4或x=-1,
∵點(diǎn)B在x軸正半軸,∴B(4,0),∴OB=4.
設(shè) Mt?12t2+32t+2,1N(t,0),
∴MN=?12t2+32t+2,ON=t.
分兩種情況討論：
①當(dāng)△BOC∽△MNO時(shí), OCNO=BOMN,
即 2t=4?12t2+32t+2,
解得 t=?1+172或 t=?1?172(舍去);
②當(dāng)△BOC∽△ONM時(shí), OCNM=OBNO,艮 2?12t2+32t+2=4t,
解得 t=1+5或 t=1?5(舍去).
綜上所述，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 ?1+172或 1+5.
4. 解:如解圖,∵ AC⊥AB,∴∠BAC=∠AOB=90°,
∴ ∠ABO + ∠BAO = ∠CAE +∠BAO=90°,
∴∠ABO=∠CAE,
在 y=12x+2中,
令x=0,則y=2,令y=0,則x=-4,
∴OA=4,OB=2,
∵△BOA≌△AED,∴AE=OB=2,∴OE=AE+OA=6,
∴E(-6,0).
5. 解:∵ CD⊥x 軸,直線 y=x 與 CD 交于點(diǎn) E,∴∠OED=∠EOD=45°,OD=DE,
設(shè)D(m,0),
如解圖, 當(dāng)點(diǎn) C 在直線 y = x 上方時(shí), △ODE≌△FCE,
∴∠ODE=∠FCE=90°,ED=CE,∴C(m,2m),將 C 點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得 2m=?m2+2m+3,解得 m=3或 m=?3(舍去),
∴C( 3,2 3),
當(dāng)點(diǎn) C 在直線y=x下方時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn) C.
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 323.
6. 解:∵ 拋物線 y=?x2?2x+3與x軸交于點(diǎn) A,B,與y軸交于點(diǎn) C，
∴令x=0,解得y=3,令y=0,解得x=1或x=-3,
∴C(0,3),A(-3,0),B(1,0),∴OA=OC=3,OB=1.如解圖，分兩種情況討論：
①當(dāng)△CD?A≌△ABC時(shí),
∵OA=OC=3,∴∠CAO=45°,
∵△CD?A≌△ABC,
∴∠ACD?=∠CAO=45°,
∴CD?‖AB,CD?=AB=4,
∴D?(-4,3);
②當(dāng)△AD?C≌△ABC時(shí),
∠BAC=∠CAD?=45°,AB=AD?=4,
∴∠D?AB=90°,∴D?(-3,4),
綜上所述,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,3)或(-3,4).
二階 設(shè)問(wèn)進(jìn)階練
例 解:(1)∵直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,3),∴將點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入直線 AC的解析式，得3=4k+1,解得 k=12,
∴直線AC的解析式為 y=12x+1,在 y=12x+1中,令y=0,解得x=-2,
∴ 點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(-2,0),
∴AO=2,CO=1,
∴AC=AO2+CO2=22+12=5.
如解圖①,設(shè)點(diǎn) P(p,0),連接CP,∴PA=p+2.
∵ △AOC∽△ACP,
∴ACAO=APAC,即 52=p+25,解得 p=12,
∴ 點(diǎn)P 的坐標(biāo)為(( 12,0);
(2)如解圖②，分兩種情況討論：
①△AOC∽△AQ?B時(shí),∠AQ?B=∠AOC=90°,
∴BQ?⊥x軸.
∵B(4,3),
∴點(diǎn) Q?的坐標(biāo)為(4,0);
②△AOC∽△ABQ?時(shí),過(guò)點(diǎn)B作BQ?⊥AB,交x軸于點(diǎn)Q?,則點(diǎn)Q?(m,0),
∵AOAB=ACAQ2,即 235=5m+2.
解得 m=112,此時(shí)點(diǎn)Q?的坐標(biāo)為 1120.
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4，0)或 1120;
(3)∵A(-2,0),C(0,1),B(4,3),D(0,-1),E(0, n),∴AC=AD=5,BC=25,CD=2,CE=|n?1|
∴分兩種情況討論：
①當(dāng)△ACD∽△BCE時(shí), ACCD=BCCE,
即 52=25|n?1|,解得n=5或n=-3(舍去);
②當(dāng)△ACD∽△ECB時(shí),
ACEC=DCBC,即 5|n?1|=225,解得n=6或n=-4(舍去)
綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5)或(0,6);
(4)∵A(-2,0),C(0,1),∴OA=2,OC=1,分兩種情況討論：
①△OAC≌△GJF時(shí),
∴OC=FG=1,∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1或-1,
將點(diǎn) F 的橫坐標(biāo)代入 y=34x2?52x+1,
解得 y=?34或 y=174;
②△OAC≌△GFJ時(shí),
∴OA=FG=2,∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2或-2,將點(diǎn) F 的橫坐標(biāo)代入 y=34x2?52x+1,解得y=-1或y=9,
∴ 點(diǎn) F 的縱坐標(biāo)為 ?34或 174或-1或9;
(5)∵OA=2,OC=1,
分兩種情況討論：
①如解圖③,當(dāng)△AOC≌△STZ 時(shí),ST=AO=2,OC=TZ=1,∴ys=2,
在 y=34x2?52x+1中，令y=2,得 34x2?52x+1=2,
解得 x=5+373或 x=5?373舍去),(1
∴S5+3732,T5+3730,
∴Z2+3730或 8+3730;
②如解圖④,當(dāng)△AOC≌△ZTS時(shí),ST=CO=1,AO=TZ=2,∴ys=1,
在 y=34x2?52x+1中，令y=1,得 34x2?52x+1=1,解得 x=103或x=0(舍去),
∴S1031,T1030,∴Z430或 1630,
∴點(diǎn)Z的坐標(biāo)為 2+3730或 8+3730或 430)或(( 163,0);
(6)存在.
∵ B(4,3),
∴OB=4?02+3?02=5,
∴在△COB中,( CO=1,BC=25,OB=5
∵L為AO 的中點(diǎn),OA=2,CO=1,
∴LO=CO=1,L(-1,0),
設(shè)R點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
則 LR2=x+12+y2,OR2=x2+y2,
∵ LO=CO,如解圖⑤,分兩種情況討論:
①當(dāng)△LOR≌△COB時(shí),RL=BC,OR=OB.
∴x+12+y2=20x2+y2=25,解得 x1=?3y1=4,x2=?3y2=?4,
即R點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,4)或(-3,-4);
②當(dāng)△OLR≌△COB時(shí),RL=OB,OR=CB.
∴x+12+y2=25x2+y2=20,解得 x3=2y3=4,x4=2y4=?4,
即R點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)或(2,-4).
∴綜上所述,R點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,4)或(-3,-4)或(2,4)或(2,-4).
三階 綜合強(qiáng)化練
1.解：(1)將原函數(shù)向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，2 2; 【解法提示】 ∵y=?12x2+2x= ?12x?22+2,.將原函數(shù) y=?12x2向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位即可得到 y=?12x2+2x,根據(jù)公式得“衍生距離”為 22+22=8=22.
(2)【思路點(diǎn)撥】審題后，根據(jù)題意畫出草圖，由△AOB的三邊關(guān)系可判定△AOB 為等腰直角三角形，由對(duì)稱性和等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)求解即可.
根據(jù)題意畫出圖象，如解圖①，
在 y=?12x2+2x中,
令y=0,解得x=0或x=4,∴A(4,0).
∵ B 為拋物線 L 的頂點(diǎn),
∴B(2,2),∴ OB=BA=22.
∵ C 是OB的中點(diǎn), ∴OC=BC=2.
∵△OB'C為等邊三角形,∴∠OCB'=60°.
又∵ 點(diǎn) B 與點(diǎn) B'關(guān)于線段CQ 對(duì)稱,
∴∠B'CQ=∠BCQ=60°.
∵OA=4,OB=22,AB=22,
∴OB2+AB2=OA2,∴∠OBA=90°
在 Rt△CBQ中,∠CBQ=90°,∠BCQ=60°,BC= 2,
∴cs∠BCQ=BCCQ=2CQ=12,
∴CQ=22;
(3)【思路點(diǎn)撥】由全等三角形對(duì)應(yīng)邊角關(guān)系可得OD=OE,∠POD=∠POE,由線段相等關(guān)系結(jié)合拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，列方程求解即可.
∵將拋物線L作為“原函數(shù)”，將其向左平移n個(gè)單位得到它的“衍生函數(shù)”L'(n>0),L:y=- 12(x- 2)2+2,
∴L':y=?12x?2+n2+2,
∵拋物線L的“衍生函數(shù)”L'與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn) D,
∴令x=0,得 y=?12n2+2n,令y=0,得x=-n或x=4-n,
∴OD=|?12n2+2n|,OE:=n或OE=4-n,
∵△POE≌△POD,∴OD=OE,
如解圖②，當(dāng) ?12n2+2n>0,即0

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這是一份2022屆中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)訓(xùn)練——二次函數(shù) 專題2.2函數(shù)動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題學(xué)案，共31頁(yè)。學(xué)案主要包含了實(shí)際問(wèn)題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)《一輪專題講義》（41專題）第33講 圖形的相似（解析版）學(xué)案：

這是一份中考數(shù)學(xué)《一輪專題講義》（41專題）第33講 圖形的相似（解析版）學(xué)案，共31頁(yè)。學(xué)案主要包含了比例的基本性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)及判定，相似三角形綜合問(wèn)題，相似多邊形與位似圖形等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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