題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型
題型二：對勾函數(shù)模型
題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型
題型四：已知函數(shù)模型的實際問題
題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題
【2024年高考預(yù)測】
2024年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用進行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力綜合考查．
【知識點總結(jié)】
1、三種函數(shù)模型的性質(zhì)
2、幾種常見的函數(shù)模型：
【方法技巧與總結(jié)】
1、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；
（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．
【典例例題】
題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型
例1．（2023·河南商丘·高三睢縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入是單位產(chǎn)量的函數(shù)：，則總利潤的最大值是______萬元．（總利潤＝總收入－成本）
例2．（2023·甘肅蘭州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某商場銷售A型商品，已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：
請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，則此商品的定價（單位：元/件）應(yīng)為_________________.
例3．（2023·安徽滁州·高三安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是___________cm.
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：）的關(guān)系是：當(dāng)時，；當(dāng)時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過__________才可駕車.
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加100元，若年收入元）與年產(chǎn)量（件）的關(guān)系式，則當(dāng)年利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)是___________.
變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某景區(qū)套票原價300元/人，如果多名游客組團購買套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價打9折；若人數(shù)不低于50，則票價打8折；若人數(shù)不低于100，則票價打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價計算，總金額每滿5000元減1000元.已知一個旅游團有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個旅游團購票總費用的最小值為___________元.
【通性通解總結(jié)】
1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．
2、構(gòu)造分段函數(shù)時，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏．
題型二：對勾函數(shù)模型
例4．（2023·黑龍江·高三嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10 km處建倉庫，這兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站（ ）
A．5 km處B．4 km處C．3 km處D．2 km處
例5．（2023·山東青島·高三?？茧A段練習(xí)）某校食堂需定期購買大米．已知該食堂每天需用大米0.6t，每噸大米的價格為6000元，大米的保管費用z（單位：元）與購買天數(shù)x（單位：天）的關(guān)系為（），每次購買大米需支付其他固定費用900元．若要使食堂平均每天所支付的總費用最少，則食堂應(yīng)______天購買一次大米．
例6．（2023·福建·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元，則一年的總運費與總存儲費之和關(guān)于的函數(shù)表達式___________．
變式4．（2023·新疆·高三?？茧A段練習(xí)）某人準(zhǔn)備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖陰影部分所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，則y＝________.
【通性通解總結(jié)】
1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；
2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．
題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型
例7．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）我國國內(nèi)生產(chǎn)總值（）2022年比2013年翻了一番，則平均每年的增長率是__________.
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為θ1 ℃，空氣溫度為θ0 ℃，則t分鐘后物體的溫度θ(單位： ℃)滿足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常數(shù)k＝0.05，空氣溫度為30 ℃，某物體的溫度從90 ℃下降到50 ℃，大約需要的時間為________分鐘.(參考數(shù)據(jù)：ln 3≈1.1)
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲響時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強與參考聲強（約為，單位：）之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作（單位：貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（單位：分貝）與噴出的泉水高度滿足關(guān)系式，現(xiàn)知同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為，若同學(xué)大喝一聲的聲強大約相當(dāng)于10個同學(xué)同時大喝一聲的聲強，則同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為______dm．
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如今這個5G時代，6G研究己方興末艾，2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦，會上傳出消息，未來6G速率有望達到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道寬帶，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．若不改變寬帶，而將信噪比從11提升至499，則最大信息傳遞率會提升到原來的_________倍．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
變式6．（2023·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）成正比，已知投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40千萬元資金同時生產(chǎn)，兩種芯片，則可以獲得的最大利潤是______千萬元．（毛收入＝營業(yè)收入－營業(yè)成本）
【通性通解總結(jié)】
1、在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型．
2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題．
題型四：已知函數(shù)模型的實際問題
例10．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為億元，理財業(yè)務(wù)收入為億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的，則的值至少為（ ）
A．B．C．D．
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習(xí)慣與中國的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國文化特征．其中沏茶、飲茶對水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度為θ℃，滿足公式．現(xiàn)有一壺水溫為92℃的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗可知茶溫為52℃時口感最佳，若空氣的溫度為12℃，那從沏茶開始，大約需要（ ）分鐘飲用口感最佳．（參考數(shù)據(jù)；，）
A．2.57B．2.77C．2.89D．3.26
例12．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┽t(yī)學(xué)上常用基本傳染數(shù)來衡量傳染病的傳染性強弱，其中，）表示天內(nèi)的累計病例數(shù).據(jù)統(tǒng)計某地發(fā)現(xiàn)首例型傳染性病例，在內(nèi)累計病例數(shù)達到例，取，根據(jù)上面的信息可以計算出型傳染病的基本傳染數(shù).已知型傳染病變異株的基本傳染數(shù)(表示不超過的最大整數(shù)），平均感染周期為天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染，以此類推），則感染人數(shù)由個初始感染者增加到人大約需要的天數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù):）
A．63B．70C．77D．84
變式7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考期末）在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度滿足公式：，其中為火箭推進劑質(zhì)量，為去除推進劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，為火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速度.當(dāng)時，千米/秒.在保持不變的情況下，若噸，假設(shè)要使超過第一宇宙速度達到8千米/秒，則至少約為（ ）（結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：）
A．135噸B．160噸C．185噸D．210噸
變式8．（2023·北京·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：
（?。┱{(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；
（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；
（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．
記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的函數(shù)解析式：
①；②；③；④．
則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個數(shù)為（ ）．
A．1B．2C．3D．4
變式9．（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）閃光指數(shù)（guidenumber，GN）是一個衡量閃光燈在感光度及視角確定的情況下照射目標(biāo)的能力，是進行閃光攝影時決定適當(dāng)光圈的主要依據(jù).通常在手動閃光攝影時，由已知的閃光指數(shù)和攝影距離來計算適當(dāng)?shù)墓馊?，且三者存在這樣的關(guān)系：其中：——光圈；——閃光燈的閃光指數(shù)，單位為米（或英尺）；——光閃燈到被攝體的距離，單位為米（或英尺）.今有ISO100感光度的膠卷的閃光燈，其閃光指數(shù)為24米，若光圈值為8，則閃光燈到被攝體的距離為（ ）
A．3米B．16米C．32米D．192米
變式10．（2023·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）等額分付資本回收是指起初投資P，在利率i，回收周期數(shù)n為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計算公式為：.某農(nóng)業(yè)種植公司投資33萬元購買一大型農(nóng)機設(shè)備，期望投資收益年利率為10%，若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公司將至少在（ ）年內(nèi)能全部收回本利和.（，，）
A．4B．5C．6D．7
【通性通解總結(jié)】
求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵
（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．
（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．
（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．
題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題
例13．（2023·云南·高三景東彝族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了提高員工的工作積極性，某外貿(mào)公司想修訂新的“員工激勵計劃”新的計劃有以下幾點需求：①獎金隨著銷售業(yè)績的提高而提高；②銷售業(yè)績增加時，獎金增加的幅度逐漸上升；③必須和原來的計劃接軌：銷售業(yè)績在10萬元或以內(nèi)時獎金為0，超過10萬元則開始計算獎金，銷售業(yè)績?yōu)?0萬元時獎金為1千元.設(shè)業(yè)績?yōu)閤（）萬元時獎金為f（x）千元，下面給出三個函數(shù)模型：①；②；③.其中.請選擇合適的函數(shù)模型，并計算：業(yè)績?yōu)?00萬元時獎金為___________千元.
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)在有紅豆、白豆各若干粒.甲乙兩人為了計算豆子的粒數(shù)，選用了這樣的方法：第一輪甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當(dāng)紅豆取完時，白豆還剩粒；第二輪，甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當(dāng)白豆取完時，紅豆還剩粒.則紅豆和白豆共有________粒.
例15．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考階段練習(xí)）2020年是全國決勝脫貧攻堅之年，“一幫一扶”工作組進駐某山區(qū)幫助農(nóng)民脫貧，發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋果、梨子、獼猴桃，工作人員文明在線上進行直播帶貨活動，促銷方案如下：若一次購買水果總價不低于200元，則顧客少付款m元，每次訂單付款成功后，農(nóng)民會收到支付款的80%，在促銷活動中，為了使得農(nóng)民收入不低于總價的70%，則m的最大值為_________.
變式11．（2023·吉林長春·長春十一高?？寄M預(yù)測）某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對病員掛號進行了調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果為：當(dāng)還未開始掛號時，有N個人已經(jīng)在排隊等候掛號；開始掛號后，排隊的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號的速度是每窗口每分鐘K個人，當(dāng)開放一個窗口時，40分鐘后恰好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象；若同時開放兩個窗口時，則15分鐘分恰好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象．根據(jù)以下信息，若醫(yī)院承諾5分鐘后不出現(xiàn)排隊現(xiàn)象，則至少需要同時開放的窗口數(shù)為___．
變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某地街道呈現(xiàn)東——西、南——北向的網(wǎng)絡(luò)狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點稱為格點．若以相互垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）為報刊零售店，請確定一個格點______為發(fā)行站，使5個零售點沿街道發(fā)行站之間路程的和最短．
【通性通解總結(jié)】
構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟
（1）建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；
（2）推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；
（3）評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋、返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而變成公共資源的一系列活動的總稱．已知某種垃圾的分解率ν與時間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)）．若經(jīng)過6個月，這種垃圾的分解率為5%，經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為10%，那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過（ ）（參考數(shù)據(jù)）
A．20個月B．40個月C．28個月D．32個月
2．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┐笪餮篚q魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條鮭魚以的速度游動時，其耗氧量是靜止時耗氧量的倍數(shù)為（ ）
A．B．8C．32D．64
3．（2023·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）《中華人民共和國國家綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中的一級標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定企業(yè)生產(chǎn)廢水中氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L.某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為225ml/L.現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少，為安全起見，要使廢水中的氨氮含量不高于國家排放標(biāo)準(zhǔn)值的一半，至少要進行循環(huán)的次數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù)，）
A．3B．4C．8D．9
4．（2023·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)?？计谥校┠晨萍佳邪l(fā)公司2022年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，）
A．2027年B．2028年C．2029年D．2030年
5．（2023·吉林·東北師大附中?？寄M預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不低于1800mg時才有療效，如果用藥前，病人血液中該藥的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3600mg的此藥，為了持續(xù)保持療效，則最長需要在多少小時后再次注射此藥（，結(jié)果精確到0.1）（ ）
A．2.7B．2.9C．3.1D．3.3
6．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）丹麥化學(xué)家索倫森是首位建立PH值概念的生化學(xué)家，他把PH值定義為，式子中的指的是溶液中的氫離子的濃度，單位為摩爾/升（），若某種溶液中的氫離子的濃度為，則該溶液的PH值約為（）（ ）
A．8B．7.78C．7.22D．6
7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）某全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
8．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量（單位：mg/L）與時間（單位：h）之間的關(guān)系為：（其中，是正常數(shù)）.已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉20%的污染物，則過濾60%的污染物需要的時間最接近（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．3hB．4hC．5hD．6h
二、多選題
9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動動機（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說法正確的有（ ）
A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強
B．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱
C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高
D．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高
10．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（ ）
A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級約為七級
B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍
C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍
D．記地震里氏震級為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列
11．（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
12．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64 ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32 ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝f（t），其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5 ppm，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫
D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫
三、填空題
13．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既＃┲槟吕尸敺甯哌_8848.86米，但即使你擁有良好的視力，你也無法在上?？吹剿粋€觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，才能在底面上看到它呢？為了能夠通過幾何方法解決這個問題，需要利用簡單的幾何模型表示這個問題情境，在此過程中，有下列假設(shè)：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個球體；③太陽光線沿直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線．你認(rèn)為最不重要的一個假設(shè)是__________．
14．（2023·海南·模擬預(yù)測）新能源汽車是未來汽車的發(fā)展方向之一，一個新能源汽車制造廠引進了一條新能源汽車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的價值（萬元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.已知產(chǎn)量為時，創(chuàng)造的價值也為；當(dāng)產(chǎn)量為輛時，創(chuàng)造的價值達到最大，為萬元.若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達到萬元，則它應(yīng)該生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量是________.
15．（2023·北京東城·統(tǒng)考三模）某超市在“五一”活動期間，推出如下線上購物優(yōu)惠方案：一次性購物在99元（含99元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；一次性購物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；一次性購物在299元（不含299元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏和小昭在該超市購物，分別挑選了原價為70元和280元的商品，如果兩人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他們分別支付節(jié)省的錢，按照兩人購買商品原價的比例分配，則小敏需要給小昭___________元.
16．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某公司2021年實現(xiàn)利潤100萬元，計劃在以后5年中每年比上一年利潤增長4%，則2026年的利潤是______萬元．（結(jié)果精確到1萬元）
函數(shù)
性質(zhì)
在上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化而各有不同
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
，為常數(shù)且
反比例函數(shù)模型
，為常數(shù)且
二次函數(shù)模型
，，為常數(shù)且
指數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
對數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
冪函數(shù)模型
，為常數(shù)，
銷售單價/元
4
5
6
7
8
9
10
日均銷售量/件
400
360
320
280
240
200
160
專題13 函數(shù)模型及其應(yīng)用
【命題方向目錄】
題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型
題型二：對勾函數(shù)模型
題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型
題型四：已知函數(shù)模型的實際問題
題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題
【2024年高考預(yù)測】
2024年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用進行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力綜合考查．
【知識點總結(jié)】
1、三種函數(shù)模型的性質(zhì)
2、幾種常見的函數(shù)模型：
【方法技巧與總結(jié)】
1、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：
（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；
（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題．
【典例例題】
題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型
例1．（2023·河南商丘·高三睢縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入是單位產(chǎn)量的函數(shù)：，則總利潤的最大值是______萬元．（總利潤＝總收入－成本）
【答案】250
【解析】根據(jù)題意得
，
所以當(dāng)時，總利潤取得最大值250萬元，
故答案為：250
例2．（2023·甘肅蘭州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某商場銷售A型商品，已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：
請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，則此商品的定價（單位：元/件）應(yīng)為_________________.
【答案】/8.5
【解析】設(shè)定價為元，利潤為元，
由題意可知：，
故當(dāng)時，最大，且最大值為1210.
故答案為:8.5
例3．（2023·安徽滁州·高三安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是___________cm.
【答案】
【解析】由題意得：長方形紙片的面積為，又，
，
當(dāng)折痕如下圖MN所示時，
設(shè)，則，解得：，
，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；
令 ，則 ，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又 ，故 ，故 ；
當(dāng)折痕如下圖所示時，
設(shè)，則，解得：，
，
當(dāng)時，取得最小值64，
當(dāng)或5時，取得最大值89，則；
當(dāng)折痕如下圖所示時，
設(shè)，則，解得：，
則，
令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，故，
；
綜上所述：折痕長的取值范圍為，
故答案為：
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：）的關(guān)系是：當(dāng)時，；當(dāng)時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過__________才可駕車.
【答案】
【解析】當(dāng)時，，
當(dāng)時，函數(shù)有最大值，所以當(dāng)時，飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量小于，
當(dāng)當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，令，因此飲酒后小時體內(nèi)每血液中的酒精含量等于，
故答案為：
變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加100元，若年收入元）與年產(chǎn)量（件）的關(guān)系式，則當(dāng)年利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)是___________.
【答案】300
【解析】由題可得年利潤，
當(dāng)時，，令，得.
當(dāng)時，，此時是減函數(shù)；當(dāng)時，，此時是增函數(shù).
所以當(dāng)時，.
當(dāng)時，是減函數(shù)，所以.
所以當(dāng)時，取得最大值40000.
故答案為：300.
變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某景區(qū)套票原價300元/人，如果多名游客組團購買套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價打9折；若人數(shù)不低于50，則票價打8折；若人數(shù)不低于100，則票價打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價計算，總金額每滿5000元減1000元.已知一個旅游團有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個旅游團購票總費用的最小值為___________元.
【答案】11710
【解析】方案一：滿10人可打9折，則單人票價為270元，
方案二：滿5000元減1000元，按原價計算，則滿5000元至少湊齊17人，
，則單人票價為，
滿10000元時，，則需34人，單人票價為241元，
滿15000元時，，人數(shù)不足，
因為，
所以用方案二先購買34張票，剩余13不滿足方案二，但滿足方案一，
所以總費用為（元），
故答案為：11710
【通性通解總結(jié)】
1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．
2、構(gòu)造分段函數(shù)時，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏．
題型二：對勾函數(shù)模型
例4．（2023·黑龍江·高三嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10 km處建倉庫，這兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站（ ）
A．5 km處B．4 km處C．3 km處D．2 km處
【答案】A
【解析】設(shè)倉庫到車站的距離為x km，
由題意得y1=，y2=k2x，其中x>0．
由當(dāng)x=10時，兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，可得k1=20，k2=，
故y1+y2=x≥2=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x，即x=5時取等號，
故選：A．
例5．（2023·山東青島·高三?？茧A段練習(xí)）某校食堂需定期購買大米．已知該食堂每天需用大米0.6t，每噸大米的價格為6000元，大米的保管費用z（單位：元）與購買天數(shù)x（單位：天）的關(guān)系為（），每次購買大米需支付其他固定費用900元．若要使食堂平均每天所支付的總費用最少，則食堂應(yīng)______天購買一次大米．
【答案】10
【解析】設(shè)平均每天所支付的總費用為y元，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故該食堂10天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費用最少．
故答案為：10.
例6．（2023·福建·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元，則一年的總運費與總存儲費之和關(guān)于的函數(shù)表達式___________．
【答案】
【解析】依題意總費用為，
故答案為：．
變式4．（2023·新疆·高三校考階段練習(xí)）某人準(zhǔn)備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖陰影部分所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，則y＝________.
【答案】45
【解析】由題可得，xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋3＝3a＋3，
∴S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)＝1808－3x－y.
S＝1808－3x－×＝1808－(x>0)，
≤1808－2＝1808－240＝1568.
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝40時取等號，S取得最大值.
此時y＝＝45.
所以當(dāng)x＝40，y＝45時，S取得最大值.
故答案為：45
【通性通解總結(jié)】
1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；
2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．
題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型
例7．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）我國國內(nèi)生產(chǎn)總值（）2022年比2013年翻了一番，則平均每年的增長率是__________.
【答案】
【解析】設(shè)年均增長率為，根據(jù)題意得，
，解得，
所以平均每年的增長率應(yīng)是.
故答案為：
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為θ1 ℃，空氣溫度為θ0 ℃，則t分鐘后物體的溫度θ(單位： ℃)滿足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常數(shù)k＝0.05，空氣溫度為30 ℃，某物體的溫度從90 ℃下降到50 ℃，大約需要的時間為________分鐘.(參考數(shù)據(jù)：ln 3≈1.1)
【答案】22
【解析】由題知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，
∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，
∴e－0.05t＝，
∴－0.05t＝ln ，
∴0.05t＝ln 3，
∴t＝＝20×ln 3≈22.
故答案為：22
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲響時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強與參考聲強（約為，單位：）之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作（單位：貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（單位：分貝）與噴出的泉水高度滿足關(guān)系式，現(xiàn)知同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為，若同學(xué)大喝一聲的聲強大約相當(dāng)于10個同學(xué)同時大喝一聲的聲強，則同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為______dm．
【答案】45
【解析】設(shè)同學(xué)的聲強為，噴出泉水高度為，
則同學(xué)的聲強為，噴出泉水高度為50 dm，
由，得 ①，
∵，∴ ②，①－②得，
解得，∴同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為45 dm．
故答案為：45.
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如今這個5G時代，6G研究己方興末艾，2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦，會上傳出消息，未來6G速率有望達到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道寬帶，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．若不改變寬帶，而將信噪比從11提升至499，則最大信息傳遞率會提升到原來的_________倍．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【答案】2.5/
【解析】設(shè)提升前最大信息傳遞率為，提升后最大信息傳遞率為，則
由題意可知，，
，
所以
倍.
所以最大信息傳遞率C會提升到原來的倍.
故答案為：2.5
變式6．（2023·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）成正比，已知投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40千萬元資金同時生產(chǎn)，兩種芯片，則可以獲得的最大利潤是______千萬元．（毛收入＝營業(yè)收入－營業(yè)成本）
【答案】9
【解析】因為生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，所以設(shè)，
因為當(dāng)時，，所以，所以，
即生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為．
對于芯片，因為函數(shù)的圖象過點，，所以，解得，所以，
即生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為．
設(shè)投入，千萬元生產(chǎn)芯片，則投入千萬元生產(chǎn)芯片，
則公司所獲利潤，，
所以當(dāng)，即時，公司所獲利潤最大，最大利潤為9千萬元．
故答案為：
【通性通解總結(jié)】
1、在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型．
2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題．
題型四：已知函數(shù)模型的實際問題
例10．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為億元，理財業(yè)務(wù)收入為億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的，則的值至少為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為該公司年總收入為億元，預(yù)計每年總收入比前一年增加 億元，所以年的總收入為億元，
因為要求從年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，
所以年通過理財業(yè)務(wù)的收入為億元，所以，解得.故的值至少為，
故選：A.
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習(xí)慣與中國的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國文化特征．其中沏茶、飲茶對水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度為θ℃，滿足公式．現(xiàn)有一壺水溫為92℃的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗可知茶溫為52℃時口感最佳，若空氣的溫度為12℃，那從沏茶開始，大約需要（ ）分鐘飲用口感最佳．（參考數(shù)據(jù)；，）
A．2.57B．2.77C．2.89D．3.26
【答案】B
【解析】由題意得，代入數(shù)據(jù)得，
整理得，即，解得；
所以若空氣的溫度為12℃，從沏茶開始，大約需要2.77分鐘飲用口感最佳．
故選：B．
例12．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期末）醫(yī)學(xué)上常用基本傳染數(shù)來衡量傳染病的傳染性強弱，其中，）表示天內(nèi)的累計病例數(shù).據(jù)統(tǒng)計某地發(fā)現(xiàn)首例型傳染性病例，在內(nèi)累計病例數(shù)達到例，取，根據(jù)上面的信息可以計算出型傳染病的基本傳染數(shù).已知型傳染病變異株的基本傳染數(shù)(表示不超過的最大整數(shù)），平均感染周期為天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染，以此類推），則感染人數(shù)由個初始感染者增加到人大約需要的天數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù):）
A．63B．70C．77D．84
【答案】A
【解析】由，，
可以得到.
型傳染病變異株的基本傳染數(shù)，
感染人數(shù)由個初始感染者增加到人大約需要輪傳染，
則每輪新增感染人數(shù)為，
經(jīng)過輪傳染，總共感染人數(shù)為:，
因為，由題意可得
解得，
又因為平均感染周期為天，
所以感染人數(shù)由個初始感染者增加到人大約需要天.
故選：A
變式7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考期末）在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度滿足公式：，其中為火箭推進劑質(zhì)量，為去除推進劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，為火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速度.當(dāng)時，千米/秒.在保持不變的情況下，若噸，假設(shè)要使超過第一宇宙速度達到8千米/秒，則至少約為（ ）（結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：）
A．135噸B．160噸C．185噸D．210噸
【答案】B
【解析】由題意知，當(dāng)時，千米/秒，
故可以得到，解得，故，
由題意知，當(dāng)噸，千米/秒時，可以得到，
解得噸.
故選：B
變式8．（2023·北京·高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：
（ⅰ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；
（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；
（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．
記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的函數(shù)解析式：
①；②；③；④．
則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個數(shù)為（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】① ，
該函數(shù)在時函數(shù)值為，超過了范圍，不合題意；
② 為增函數(shù)，且
且，則，符合題意；
③ ，當(dāng)時，不合題意
④ ，當(dāng)時，，
故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又
設(shè)
即，
易知在上為減函數(shù)
由在上連續(xù)，且，
，
則存在，有
當(dāng)，；
當(dāng)，；
故在遞增，在遞減.
，
故上
即上
故④符合題意，
所以②④滿足題意，
故選：B.
變式9．（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）閃光指數(shù)（guidenumber，GN）是一個衡量閃光燈在感光度及視角確定的情況下照射目標(biāo)的能力，是進行閃光攝影時決定適當(dāng)光圈的主要依據(jù).通常在手動閃光攝影時，由已知的閃光指數(shù)和攝影距離來計算適當(dāng)?shù)墓馊Γ胰叽嬖谶@樣的關(guān)系：其中：——光圈；——閃光燈的閃光指數(shù)，單位為米（或英尺）；——光閃燈到被攝體的距離，單位為米（或英尺）.今有ISO100感光度的膠卷的閃光燈，其閃光指數(shù)為24米，若光圈值為8，則閃光燈到被攝體的距離為（ ）
A．3米B．16米C．32米D．192米
【答案】A
【解析】由題意知米，，則由，得3（米）.
故選:A.
變式10．（2023·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）等額分付資本回收是指起初投資P，在利率i，回收周期數(shù)n為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計算公式為：.某農(nóng)業(yè)種植公司投資33萬元購買一大型農(nóng)機設(shè)備，期望投資收益年利率為10%，若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公司將至少在（ ）年內(nèi)能全部收回本利和.（，，）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】由題意，知萬元，萬元，，
由公式可得，整理得，
等式兩邊取對數(shù)，得
故選：C.
【通性通解總結(jié)】
求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵
（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．
（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．
（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．
題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題
例13．（2023·云南·高三景東彝族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）為了提高員工的工作積極性，某外貿(mào)公司想修訂新的“員工激勵計劃”新的計劃有以下幾點需求：①獎金隨著銷售業(yè)績的提高而提高；②銷售業(yè)績增加時，獎金增加的幅度逐漸上升；③必須和原來的計劃接軌：銷售業(yè)績在10萬元或以內(nèi)時獎金為0，超過10萬元則開始計算獎金，銷售業(yè)績?yōu)?0萬元時獎金為1千元.設(shè)業(yè)績?yōu)閤（）萬元時獎金為f（x）千元，下面給出三個函數(shù)模型：①；②；③.其中.請選擇合適的函數(shù)模型，并計算：業(yè)績?yōu)?00萬元時獎金為___________千元.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，給出三個函數(shù)模型均滿足“獎金隨著銷售業(yè)績的提高而提高”，而只有模型“”滿足“銷售業(yè)績增加時，獎金增加的幅度逐漸上升”，故模型選擇：
根據(jù)題意，則有：
解得：
則模型為：
當(dāng)時，
故答案為：
例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)在有紅豆、白豆各若干粒.甲乙兩人為了計算豆子的粒數(shù)，選用了這樣的方法：第一輪甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當(dāng)紅豆取完時，白豆還剩粒；第二輪，甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時進行，當(dāng)白豆取完時，紅豆還剩粒.則紅豆和白豆共有________粒.
【答案】
【解析】設(shè)紅豆有粒，白豆有粒，
由第一輪結(jié)果可知：，整理可得：；
由第二輪結(jié)果可知：，整理可得：；
當(dāng)時，由得：（舍）；
當(dāng)時，由得：（舍）；
當(dāng)時，由得：，，
即紅豆和白豆共有粒.
故答案為：.
例15．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考階段練習(xí)）2020年是全國決勝脫貧攻堅之年，“一幫一扶”工作組進駐某山區(qū)幫助農(nóng)民脫貧，發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋果、梨子、獼猴桃，工作人員文明在線上進行直播帶貨活動，促銷方案如下：若一次購買水果總價不低于200元，則顧客少付款m元，每次訂單付款成功后，農(nóng)民會收到支付款的80%，在促銷活動中，為了使得農(nóng)民收入不低于總價的70%，則m的最大值為_________.
【答案】25
【解析】根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，整理出恒成立，再由x的范圍即可求解.設(shè)每筆訂單促銷前的總價為元，
根據(jù)題意有，即恒成立，
由題意得，所以，所以，
即m的最大值為25.
故答案為：25
變式11．（2023·吉林長春·長春十一高校考模擬預(yù)測）某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對病員掛號進行了調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果為：當(dāng)還未開始掛號時，有N個人已經(jīng)在排隊等候掛號；開始掛號后，排隊的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號的速度是每窗口每分鐘K個人，當(dāng)開放一個窗口時，40分鐘后恰好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象；若同時開放兩個窗口時，則15分鐘分恰好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象．根據(jù)以下信息，若醫(yī)院承諾5分鐘后不出現(xiàn)排隊現(xiàn)象，則至少需要同時開放的窗口數(shù)為___．
【答案】6
【解析】設(shè)要同時開放n個窗口才能滿足要求，則
解得：，∴N+5M≤5Kn，∴24K+2K≤5Kn，解得n≥5.2．
故至少同時開放6個窗口才能滿足要求．
故答案為6
變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某地街道呈現(xiàn)東——西、南——北向的網(wǎng)絡(luò)狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點稱為格點．若以相互垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）為報刊零售店，請確定一個格點______為發(fā)行站，使5個零售點沿街道發(fā)行站之間路程的和最短．
【答案】（2，3）
【解析】設(shè)發(fā)行站的位置為，零售點到發(fā)行站的距離為，這5個點的橫縱坐標(biāo)的平均值為，，記
A（，3），畫出圖形可知，發(fā)行站的位置應(yīng)該在點A附近，代入附近的點的坐標(biāo)進行比較可知，在（2,3）處z取得最小值．
【通性通解總結(jié)】
構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟
（1）建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；
（2）推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；
（3）評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋、返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運，從而變成公共資源的一系列活動的總稱．已知某種垃圾的分解率ν與時間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)）．若經(jīng)過6個月，這種垃圾的分解率為5%，經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為10%，那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過（ ）（參考數(shù)據(jù)）
A．20個月B．40個月C．28個月D．32個月
【答案】D
【解析】依題意，解得，
故.
令，得，即，
則.
即這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過32個月.
故選：D.
2．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條鮭魚以的速度游動時，其耗氧量是靜止時耗氧量的倍數(shù)為（ ）
A．B．8C．32D．64
【答案】D
【解析】因為，所以當(dāng)鮭魚靜止時，，即，
化簡得，所以；
當(dāng)，即，
化簡得，所以，所以.
.
故選:D.
3．（2023·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）《中華人民共和國國家綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中的一級標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定企業(yè)生產(chǎn)廢水中氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L.某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為225ml/L.現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少，為安全起見，要使廢水中的氨氮含量不高于國家排放標(biāo)準(zhǔn)值的一半，至少要進行循環(huán)的次數(shù)為（ ）（參考數(shù)據(jù)，）
A．3B．4C．8D．9
【答案】D
【解析】過濾第一次廢水中的氨氮的含量減少，則為；
過濾第兩次廢水中的氨氮的含量減少，則為；
過濾第三次廢水中的氨氮的含量減少，則為；

過濾第n次廢水中的氨氮的含量減少，則為；
要求廢氣中該廢水中的氨氮的含量不能超過7.5ml/L ，則，即，
兩邊取以10為底的對數(shù)可得，
即，
所以，
因為，，
所以，
所以，又，所以，
故排放前需要過濾的次數(shù)至少為9次．
故選：D．
4．（2023·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)?？计谥校┠晨萍佳邪l(fā)公司2022年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，，，）
A．2027年B．2028年C．2029年D．2030年
【答案】D
【解析】設(shè)年后公司全年投入的研發(fā)資金為，
則根據(jù)題意有，
研發(fā)資金開始超過600萬元，即，解得，
則的最小值為8，
則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是年，
故選：D.
5．（2023·吉林·東北師大附中校考模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不低于1800mg時才有療效，如果用藥前，病人血液中該藥的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3600mg的此藥，為了持續(xù)保持療效，則最長需要在多少小時后再次注射此藥（，結(jié)果精確到0.1）（ ）
A．2.7B．2.9C．3.1D．3.3
【答案】C
【解析】設(shè)注射后經(jīng)過的時間為，血液中藥物的含量為，
則有，
因為藥在病人血液中的量不低于1800mg時才有療效，
所以令，
解得.
故選：C.
6．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）丹麥化學(xué)家索倫森是首位建立PH值概念的生化學(xué)家，他把PH值定義為，式子中的指的是溶液中的氫離子的濃度，單位為摩爾/升（），若某種溶液中的氫離子的濃度為，則該溶液的PH值約為（）（ ）
A．8B．7.78C．7.22D．6
【答案】C
【解析】.
故選：C
7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）某全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
【答案】C
【解析】設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，如圖，則，，，，
則，又，所以
設(shè)地球表面積為，則
所以．
故選：C．
8．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量（單位：mg/L）與時間（單位：h）之間的關(guān)系為：（其中，是正常數(shù)）.已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉20%的污染物，則過濾60%的污染物需要的時間最接近（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．3hB．4hC．5hD．6h
【答案】B
【解析】由題意可知，所以，設(shè)過濾60%的污染物需要的時間為，則，
所以，
所以
，比較接近4.
故選：B
二、多選題
9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動動機（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說法正確的有（ ）
A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強
B．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱
C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率高
D．甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高
【答案】BCD
【解析】設(shè)甲與乙的工人工作效率，工作年限，勞累程度，勞動動機，
對于A，，，，，
∴，，
，
所以，即甲比乙勞累程度弱，故A錯誤；
對于B，，，，
∴，，
∴，
所以，即甲比乙勞累程度弱，故B正確.
對于C，，，，
∴，，
則，
∴，即甲比乙工作效率高，故C正確；
對于D，，，，，
∴，，
則，
∴，即甲比乙工作效率高，故D 正確；
故選：BCD.
10．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（ ）
A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時，地震里氏震級約為七級
B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍
C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍
D．記地震里氏震級為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列
【答案】ACD
【解析】對于A：當(dāng)時，由題意得，
解得，即地震里氏震級約為七級，故A正確；
對于B：八級地震即時，，解得，
所以，
所以八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的倍，故B錯誤；
對于C：六級地震即時，，解得，
所以，
即八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍，故C正確；
對于D：由題意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故D正確；
故選：ACD
11．（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（ ）
A．
B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時
C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克
D．注射一次治療該病的有效時間長度為時
【答案】AD
【解析】由函數(shù)圖象可知，
當(dāng)時，，即，解得，
，故正確，
藥物剛好起效的時間，當(dāng)，即，
藥物剛好失效的時間，解得，
故藥物有效時長為小時，
藥物的有效時間不到6個小時，故錯誤，正確；
注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為微克，故錯誤，
故選：．
12．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64 ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32 ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時間t（單位：分）之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝f（t），其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5 ppm，人就可以安全進入車庫了，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫
D．排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫
【答案】BD
【解析】因為，所以符合要求．
又
解得，a＝128，故B正確，A錯誤．
，
當(dāng)時，即，得，
所以，即，所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，故D正確，C錯誤，
故選：BD.
三、填空題
13．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考三模）珠穆朗瑪峰高達8848.86米，但即使你擁有良好的視力，你也無法在上?？吹剿粋€觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，才能在底面上看到它呢？為了能夠通過幾何方法解決這個問題，需要利用簡單的幾何模型表示這個問題情境，在此過程中，有下列假設(shè)：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個球體；③太陽光線沿直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線．你認(rèn)為最不重要的一個假設(shè)是__________．
【答案】①
【解析】數(shù)學(xué)建模時，針對問題的主要因素，忽略次要因素，這里我們需要測量觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，主要關(guān)注的應(yīng)該是珠穆拉瑪峰的高度，此時，珠穆朗瑪峰的形狀對于測量結(jié)果影響很小，故假設(shè)①最不重要，
故答案為：①．
14．（2023·海南·模擬預(yù)測）新能源汽車是未來汽車的發(fā)展方向之一，一個新能源汽車制造廠引進了一條新能源汽車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的價值（萬元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.已知產(chǎn)量為時，創(chuàng)造的價值也為；當(dāng)產(chǎn)量為輛時，創(chuàng)造的價值達到最大，為萬元.若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達到萬元，則它應(yīng)該生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量是________.
【答案】
【解析】由題意可設(shè)：，則，解得：，，
則當(dāng)時，，即應(yīng)生產(chǎn)的新能源汽車輛.
故答案為：.
15．（2023·北京東城·統(tǒng)考三模）某超市在“五一”活動期間，推出如下線上購物優(yōu)惠方案：一次性購物在99元（含99元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；一次性購物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；一次性購物在299元（不含299元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏和小昭在該超市購物，分別挑選了原價為70元和280元的商品，如果兩人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他們分別支付節(jié)省的錢，按照兩人購買商品原價的比例分配，則小敏需要給小昭___________元.
【答案】61.6/
【解析】由題可得兩人把商品合并由小昭一次性付款實際付款為元，
他們分別支付應(yīng)付款為元，故節(jié)省元，
故小敏需要給小昭元.
故答案為：61.6.
16．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某公司2021年實現(xiàn)利潤100萬元，計劃在以后5年中每年比上一年利潤增長4%，則2026年的利潤是______萬元．（結(jié)果精確到1萬元）
【答案】122
【解析】由題意可知， (萬元)，
即2026年的利潤大約是122萬元.
故答案為：122
函數(shù)
性質(zhì)
在上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
越來越快
越來越慢
相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行
隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行
隨n值變化而各有不同
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
，為常數(shù)且
反比例函數(shù)模型
，為常數(shù)且
二次函數(shù)模型
，，為常數(shù)且
指數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
對數(shù)函數(shù)模型
，，為常數(shù)，，，
冪函數(shù)模型
，為常數(shù)，
銷售單價/元
4
5
6
7
8
9
10
日均銷售量/件
400
360
320
280
240
200
160

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