新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類(lèi)專(zhuān)題12函數(shù)與方程(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題方向一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
命題方向二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
命題方向三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題
命題方向四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
命題方向五：函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題
命題方向六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型
命題方向七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題
命題方向八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
命題方向九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題
命題方向十：等高線問(wèn)題
命題方向十一：二分法
【2024年高考預(yù)測(cè)】
2024年高考仍將方程解得個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式整數(shù)解的問(wèn)題、不等式恒成立與能成立為載體考查函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化與化歸思想．
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解
（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念
對(duì)于一般函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)．
（2）函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)解?函數(shù)有零點(diǎn)?函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．
（3）函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解．
2、二分法
（1）對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
（2）對(duì)于給定精確度，利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：
①確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；
②求區(qū)間的中點(diǎn)；
③計(jì)算；
a．若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；
b．若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；
c．若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）．
④判斷是否達(dá)到精確度，即：若，則得到零點(diǎn)近似值（或）；否則重復(fù)②③④．
【方法技巧與總結(jié)】
1、若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)．
2、連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào)．
3、連續(xù)不斷的函數(shù)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào)．
4、連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出．
【典例例題】
命題方向一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
例1．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）定義符號(hào)函數(shù)，則方程的解是（）
A．2或B．3或C．2或3D．2或3或
例2．（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)是（）
A．－2B．－1C．1D．2
例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（）
A．，B．，
C．，D．，
變式1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（）
A．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）也有零點(diǎn)
B．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）沒(méi)有零點(diǎn)
C．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）有零點(diǎn)
D．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）也沒(méi)有零點(diǎn)
變式2．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（）
A．B．
C．D．
變式3．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則k的最大值是（）
A．B．C．D．
變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
求函數(shù)零點(diǎn)的方法：
（1）代數(shù)法，即求方程的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
命題方向二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）
A．B．C．D．
例5．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍（）
A．B．
C．D．
例6．（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
變式5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
變式6．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
變式7．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
變式8．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，則（）
A．B．
C．D．無(wú)法判斷
【通性通解總結(jié)】
本類(lèi)問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.
命題方向三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題
例7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足.當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.
例8．（2023·浙江·二模）已知函數(shù)，則至多有______個(gè)實(shí)數(shù)解.
例9．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.
變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，當(dāng)時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是___．
變式10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______．
變式11．（2023·北京大興·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.
變式12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________．
【通性通解總結(jié)】
方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類(lèi)似做出判斷.
命題方向四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
例10．（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則_____________.
例11．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰好有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么的值為_(kāi)__________.
例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則m=______
變式13．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù),若關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則整數(shù)m的值為_(kāi)__________.（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
變式14．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)校考）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且最小實(shí)數(shù)解為，則的值為_(kāi)_____．
變式15．（2023·山東棗莊·高三階段練習(xí)）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_________.
變式16．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_________.
【通性通解總結(jié)】
1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問(wèn)題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)確定取值范圍．
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過(guò)參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí)．
命題方向五：函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題
例13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不同兩點(diǎn)、均在函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱是函數(shù)的一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”）．已知恰有兩個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例14．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谥校┤艉瘮?shù)圖象上存在不同的兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一對(duì)“黃金點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn)對(duì)與可看作同一對(duì)“黃金點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)則此函數(shù)的“黃金點(diǎn)對(duì)”有（）
A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)
例15．（2023·山東德州·高一德州市第一中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)圖象上不同兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一對(duì)“姊妹點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與看作同一對(duì)“姊妹點(diǎn)對(duì)”），已知函數(shù)，則此函數(shù)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有（）
A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)
變式17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若M，N為函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)（M，N）為函數(shù)的一個(gè)“配合點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（M，N）與點(diǎn)對(duì)（N，M）為同一“配合點(diǎn)對(duì)”）．現(xiàn)給定函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)的圖象上恰有兩個(gè)“配合點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
變式18．（2023·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
變式19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【通性通解總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題
命題方向六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型
例16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
例17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
例18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)存在4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
變式20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù) 記若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________________.
命題方向七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題
例19．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．或B．或C．D．
例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）
A．1B．C．2D．
例21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
變式21．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）
A．B．3C．或3D．4
變式22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）
A．1B．C．D．
變式23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為
A．或B．1或C．或2D．或1
變式24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)
A．B．C．D．或
【通性通解總結(jié)】
利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：
（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.
（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.
命題方向八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
例22．（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，函數(shù) 若恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
例23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，.若有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（）
A．B．C．D．
例24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
變式25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．或C．D．或
變式26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．3B．2C．1D．0
【通性通解總結(jié)】
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
命題方向九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題
例25．（2023·河北滄州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，其中，則的值為_(kāi)_______．
例26．（2023·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為_(kāi)_____．
例27．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)__________.
變式27．（2023·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的范圍為_(kāi)_____．
變式28．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省震澤中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且四個(gè)零點(diǎn)全部大于1，則的值為_(kāi)______．
變式29．（2023·江蘇蘇州·高二常熟中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)存在三個(gè)零點(diǎn)、、，且滿足，則的值為_(kāi)_________.
【通性通解總結(jié)】
解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
命題方向十：等高線問(wèn)題
例28．（2023·湖北武漢·高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，且，則的最小值為（）
A．B．8C．D．
例29．（2023·河南鄭州·高一新密市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
例30．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
變式30．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有五個(gè)不同的零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【通性通解總結(jié)】
數(shù)形結(jié)合
命題方向十一：二分法
例31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）
A．6B．7C．8D．9
例32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)()的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:
由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
例33．（2023·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，下列說(shuō)法正確的有（）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
變式31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得，，第二次應(yīng)計(jì)算，則等于（）
A．1B．C．0.25D．0.75
變式32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，列表如下：
那么方程的一個(gè)近似根（精確度為0.1）可以為（）
A．1.3B．1.32C．1.4375D．1.25
變式33．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：
那么函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)近似值（精確度為0.1）為（）
A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89
【通性通解總結(jié)】
對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的所有零點(diǎn)之和為（）
A．B．C．D．
2．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)的零點(diǎn)為（）
A．4B．4或5C．5D．或5
3．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．2023
4．（2023·四川成都·成都市第二十中學(xué)校?？家荒＃┮阎瘮?shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．4B．5C．6D．7
5．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
6．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
7．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）
A．B．
C．D．
8．（2023·四川巴中·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）
A．B．C．D．
10．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．若則D．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
11．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．為奇函數(shù)
C．在上為減函數(shù)D．方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解
12．（2023·全國(guó)·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，，，關(guān)于的方程的解集可能的是（）
A．B．C．D．
三、填空題
13．（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)__________.
14．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）已知的反函數(shù)的零點(diǎn)為2，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________；
15．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在（0，+）上的函數(shù)f（x）滿足：，若方程在（0，2]上恰有三個(gè)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.
16．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）函數(shù) 上所有零點(diǎn)之和為_(kāi)____.
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
f（x）
-1
0.875
-0.2969
0.2246
-0.05151
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897
專(zhuān)題12 函數(shù)與方程
【命題方向目錄】
命題方向一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
命題方向二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
命題方向三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題
命題方向四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
命題方向五：函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題
命題方向六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型
命題方向七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題
命題方向八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
命題方向九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題
命題方向十：等高線問(wèn)題
命題方向十一：二分法
【2024年高考預(yù)測(cè)】
2024年高考仍將方程解得個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式整數(shù)解的問(wèn)題、不等式恒成立與能成立為載體考查函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化與化歸思想．
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解
（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念
對(duì)于一般函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)．
（2）函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)解?函數(shù)有零點(diǎn)?函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．
（3）函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解．
2、二分法
（1）對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
（2）對(duì)于給定精確度，利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：
①確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；
②求區(qū)間的中點(diǎn)；
③計(jì)算；
a．若，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；
b．若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）；
c．若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）．
④判斷是否達(dá)到精確度，即：若，則得到零點(diǎn)近似值（或）；否則重復(fù)②③④．
【方法技巧與總結(jié)】
1、若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)．
2、連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào)．
3、連續(xù)不斷的函數(shù)通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào)．
4、連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出．
【典例例題】
命題方向一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間
例1．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）定義符號(hào)函數(shù)，則方程的解是（）
A．2或B．3或C．2或3D．2或3或
【答案】D
【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，方程為：，解得或，因此或，
當(dāng)時(shí)，方程為：，解得，于是無(wú)解，
當(dāng)時(shí)，方程為：，解得或，因此，
所以方程的解是或或.
故選：D
例2．（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)是（）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】C
【解析】令，則；
故選：C.
例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示，
則當(dāng)時(shí)，在下方，即；
當(dāng)時(shí)，在上方，即，
故選：B
變式1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（）
A．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）也有零點(diǎn)
B．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）沒(méi)有零點(diǎn)
C．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）有零點(diǎn)
D．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）也沒(méi)有零點(diǎn)
【答案】A
【解析】去絕對(duì)值可得.
時(shí)，，因此函數(shù)在單調(diào)遞增；
時(shí)，.
（i）時(shí)，，因此在單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，，因此在區(qū)間有零點(diǎn)，且在區(qū)間和都沒(méi)有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間和都沒(méi)有零點(diǎn)，故C選項(xiàng)和D選項(xiàng)均錯(cuò)誤.
（ii）時(shí)，令得，因此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，.
（1）時(shí)，在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，而在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn).
（2）時(shí)，在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，.
①時(shí)，，因此在區(qū)間和都有零點(diǎn)，此時(shí)，故在區(qū)間也有零點(diǎn).
②時(shí)，在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn).
綜上所述，本題正確答案是A.
故選：A
變式2．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，
所以，
因?yàn)?，?br>由單調(diào)性知，即．
故選：B
變式3．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則k的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，解得；
當(dāng)時(shí)，，其中，，
當(dāng)時(shí)，解得，綜上k的最大值是1.
故選：C.
變式4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在上單調(diào)遞增，
，
所以的零點(diǎn)在區(qū)間.
故選：B
【方法技巧與總結(jié)】
求函數(shù)零點(diǎn)的方法：
（1）代數(shù)法，即求方程的實(shí)根，適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
命題方向二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍
例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，則1是的一個(gè)零點(diǎn)，
則有兩個(gè)不同的零點(diǎn)有兩種情形：
①1是方程的根，
則，即，此時(shí)方程有1，兩個(gè)根，
故有1，兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
②1不是方程的根，則方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，
則，得，此時(shí)，
故有1，兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
綜上，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則或，
所以是有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件，
故選：A.
例5．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)，，則，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),
則有四個(gè)根，
即與有四個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與，圖象如下：

兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，與軸相交與兩點(diǎn)與圖象如下：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值為，
所以兩圖象有四個(gè)交點(diǎn)，符合題意，

當(dāng)時(shí)，與軸相交與兩點(diǎn)與
圖象如下：

在內(nèi)兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以若有四個(gè)交點(diǎn)，
只需要與在內(nèi)還有兩個(gè)根，
因?yàn)?，所以?br>所以有在內(nèi)還有兩個(gè)根，
即在內(nèi)還有兩個(gè)根，
所以在在內(nèi)還有兩個(gè)根，
因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），
所以且，解得，
綜上所述，k的取值范圍為.
故選：D.
例6．（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，
若有三個(gè)零點(diǎn)，則時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故；
當(dāng)時(shí)，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，
則，
所以，又，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選：C.
變式5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，
由于當(dāng)時(shí)，，，且；
當(dāng)時(shí)，，，且，
作出函數(shù)的圖象如圖所示，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
的取值范圍是．
故選：C．
變式6．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①當(dāng)時(shí)，則只有一個(gè)零點(diǎn)0，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的大致圖象，如圖1，在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的大致圖象，如圖2，在上沒(méi)有零點(diǎn)．
則在上有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)必須滿足，解得．
綜上，得或．
故選：A
變式7．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，
可得圖象如下圖所示，
有個(gè)零點(diǎn)，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
變式8．（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，則（）
A．B．
C．D．無(wú)法判斷
【答案】C
【解析】令，則，如圖分別畫(huà)出和，
兩個(gè)零點(diǎn)分別設(shè)為，且函數(shù)單調(diào)遞減，
如圖可知，，，即，
所以.
故選：C
【通性通解總結(jié)】
本類(lèi)問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.
命題方向三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題
例7．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足.當(dāng)時(shí)，，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.
【答案】160
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
所以，所以的最小正周期為3，
當(dāng)時(shí)，令，
解得或，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).
故答案為：160.
例8．（2023·浙江·二模）已知函數(shù)，則至多有______個(gè)實(shí)數(shù)解.
【答案】7
【解析】由可得，由知，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增，
則可作出函數(shù)的大致圖像如圖：
三個(gè)圖分別對(duì)應(yīng)時(shí)的情況，
設(shè)，則即，
則的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題即為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，
結(jié)合的圖象可知的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是3個(gè)，
即為圖2個(gè)和圖3所示情況，
不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)如圖2所示時(shí)，，
此時(shí)無(wú)解，有1個(gè)解，最多有3個(gè)解，
故此時(shí)最多有4個(gè)解；
當(dāng)如第3個(gè)圖所示時(shí)，，
此時(shí)有一個(gè)解，最多有3個(gè)解，最多有3個(gè)解，
故此時(shí)最多有7個(gè)解；
故答案為：7
例9．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.
【答案】1
【解析】注意到，在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象，
易知零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.
故答案為：1.
變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，當(dāng)時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是___．
【答案】2
【解析】,
令，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，
且在上單調(diào)遞增，則，
又，，
則，，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，
則存在，，使得，
所以時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).
故答案為：2.
變式10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是______．
【答案】7
【解析】函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，解方程得或．
作出函數(shù)的圖像，如圖所示．
由圖像知直線與的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，直線與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)．
因此函數(shù)的零點(diǎn)有7個(gè)．
故答案為：7
變式11．（2023·北京大興·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，得，
易得，
作出函數(shù)，的圖象，如圖，
所以，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
故答案為：
變式12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________．
【答案】
【解析】令，即，解得或，
作出函數(shù)的圖象如圖，
由圖可知，方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，有個(gè)實(shí)數(shù)解，且均互不相同，
所以，的實(shí)數(shù)解有個(gè)，
所以，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè).
故答案為：
【通性通解總結(jié)】
方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類(lèi)似做出判斷.
命題方向四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
例10．（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則_____________.
【答案】3
【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，
易知函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，
若關(guān)于的方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則方程必有一個(gè)根使，不妨設(shè)為，
而另外兩根關(guān)于直線對(duì)稱，
于是.
故答案為：3.
例11．（2023·江西贛州·高三校聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰好有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么的值為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】根據(jù)已知部分的函數(shù)解析式和偶函數(shù)對(duì)稱性，畫(huà)圖象如圖，令，則原方程可化為，
根據(jù)圖象可知，要使原方程恰好有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
只需有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根、，
由韋達(dá)定理可知，，，解得，，
故.
故答案為：.
例12．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則m=______
【答案】2
【解析】∵題中原方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴即要求對(duì)應(yīng)于等于某個(gè)常數(shù)有個(gè)不同實(shí)數(shù)解和個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴故先根據(jù)題意作出的簡(jiǎn)圖：
由圖可知，只有當(dāng)時(shí)，它有三個(gè)根，故關(guān)于
的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴或，時(shí)，方程
或,有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴．
變式13．（2023·四川成都·高三石室中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù),若關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則整數(shù)m的值為_(kāi)__________.（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【答案】5
【解析】因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即滿足，則是偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，,
作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
設(shè)，因?yàn)橛?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以由圖象可得，關(guān)于t的方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且都大于e，
所以有，解得，
又因?yàn)?，所以整?shù)m的值為5，
故答案為：5.
變式14．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，若關(guān)于x的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且最小實(shí)數(shù)解為，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由題意，作出函數(shù)圖象，如圖所示：
令，根據(jù)圖象可知，
關(guān)于x的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
且必有一個(gè)解為0，另一個(gè)解大于0，所以．
則，解為，．
所以，即．
所以．
故答案為：．
變式15．（2023·山東棗莊·高三階段練習(xí)）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_________.
【答案】.
【解析】，所以關(guān)于直線對(duì)稱，
在上遞減，且；在上遞增，且.
是方程的根.
令，，
由于關(guān)于的方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以有兩個(gè)大于且小于的不相等的實(shí)數(shù)根，
令，
則，即，解得.
故答案為：
變式16．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，
令，則可化為，
則或，
則關(guān)于的方程恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解
等價(jià)于的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為5個(gè)，
由圖可得函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，
所以的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，
即此時(shí)，解得.
故答案為：.
【通性通解總結(jié)】
1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問(wèn)題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)確定取值范圍．
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過(guò)參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí)．
命題方向五：函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題
例13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不同兩點(diǎn)、均在函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱是函數(shù)的一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與視為同一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”）．已知恰有兩個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，
的圖象上恰好有兩個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程有兩個(gè)不等式的正實(shí)數(shù)根，
即有兩個(gè)不等式的正實(shí)數(shù)根，
即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)．
，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．且時(shí)，，時(shí)，
所以
所以圖象與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)．
則，解得．
故選：B
例14．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谥校┤艉瘮?shù)圖象上存在不同的兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一對(duì)“黃金點(diǎn)對(duì)”（注：點(diǎn)對(duì)與可看作同一對(duì)“黃金點(diǎn)對(duì)”）．已知函數(shù)則此函數(shù)的“黃金點(diǎn)對(duì)”有（）
A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)
【答案】D
【解析】由題意，不妨設(shè)，且，
①當(dāng)時(shí)，，即為與在的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖：
故此函數(shù)在的“黃金點(diǎn)對(duì)”有2對(duì)；
②當(dāng)時(shí)，，為與在的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖：
故此函數(shù)在的“黃金點(diǎn)對(duì)”有1對(duì)，
綜上所述，此函數(shù)的“黃金點(diǎn)對(duì)”有3對(duì)．
故選：D．
例15．（2023·山東德州·高一德州市第一中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)圖象上不同兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)是函數(shù)的一對(duì)“姊妹點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與看作同一對(duì)“姊妹點(diǎn)對(duì)”），已知函數(shù)，則此函數(shù)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有（）
A．0對(duì)B．1對(duì)C．2對(duì)D．3對(duì)
【答案】B
【解析】根據(jù)題意可得的“姊妹點(diǎn)對(duì)”數(shù)即為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下：
由圖可得兩個(gè)函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即此函數(shù)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有1對(duì)．
故選：B．
變式17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若M，N為函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)（M，N）為函數(shù)的一個(gè)“配合點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（M，N）與點(diǎn)對(duì)（N，M）為同一“配合點(diǎn)對(duì)”）．現(xiàn)給定函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)的圖象上恰有兩個(gè)“配合點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為
的圖象上恰好有兩個(gè)“配合點(diǎn)對(duì)”等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程有兩個(gè)不等式的正實(shí)數(shù)根，
即有兩個(gè)不等式的正實(shí)數(shù)根，
即轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)．
，，
所以在上單調(diào)遞增，且
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．且時(shí)，，時(shí)，
所以
如圖，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有令個(gè)交點(diǎn)．
則，解得．
故選：B．
變式18．（2023·陜西西安·西安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（）與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，
則函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，
即在上有解，
即在上有解，
令，（），
，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，
故時(shí)，函數(shù)取得最小值，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：A
變式19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知方程在區(qū)間上有解，
再轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)有解，構(gòu)造函數(shù)，，得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
函數(shù)在處有最小值，
又，，且，
∴，
所以，，
故選：B．
【通性通解總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題
命題方向六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型
例16．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)．
∵，，
∴函數(shù)與函數(shù)的圖像的唯一交點(diǎn)為．
又∵，且，，
∴在上恒小于零，即在上為單調(diào)遞減函數(shù)．
又∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，且是最小正周期為2．最大值為的正弦型函數(shù)，
∴可得函數(shù)與函數(shù)的大致圖像如圖所示．
∴要使函數(shù)與函數(shù)的圖像只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則．
∵，，
∴，解得．
對(duì)∵，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故答案為：.
例17．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由，得，且
由，則
若，則，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.
若，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增
由，所以有唯一實(shí)數(shù)根，設(shè)為，即
則當(dāng)時(shí)，，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，則在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，
由可得，即，即
所以，
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，指數(shù)函數(shù)增加的速度比對(duì)數(shù)函數(shù)增加的速度快得多，可得
所以函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則
設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，有，則在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，有，則在上單調(diào)遞減.
又當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的解集為
故答案為：
例18．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)存在4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】轉(zhuǎn)化為有四個(gè)解，
即在范圍內(nèi)有四個(gè)解，
即在范圍內(nèi)有四個(gè)解，
即在范圍內(nèi)有四個(gè)解，
即在范圍內(nèi)有四個(gè)解，
令，
則，
令得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，
做出大致圖像如下：
令，
則原方程轉(zhuǎn)化為，
令，
，
令得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在遞減，在遞增，
做出大致圖像如下：
所以時(shí)，對(duì)應(yīng)解出兩個(gè)值，
從而對(duì)應(yīng)解出四個(gè)值，
故答案為：.
變式20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù) 記若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________________.
【答案】
【解析】依題意，令，即，
設(shè)，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，
因此當(dāng)時(shí)，，因當(dāng)時(shí)，的取值集合為，的取值集合為，
則當(dāng)時(shí)，的取值集合為，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，
的取值集合為，即當(dāng)時(shí)，的取值集合為，
所以函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
命題方向七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題
例19．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【解析】已知，①
且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
則，
得：，②
①+②得：
∴令∵有唯一零點(diǎn)，且是偶函數(shù)，
所以，∴
∴或
若時(shí)，則
當(dāng)時(shí)，則令解得，∴（不合題意舍去）
若時(shí)，則
∵在上單調(diào)遞減∴
∵是偶函數(shù)∴只有唯一零點(diǎn)0
∴只有唯一零點(diǎn)2023
綜上：.
故選：D.
例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】設(shè)，定義域?yàn)镽,
∴，
故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
∵有唯一零點(diǎn)，
∴，即．
故選：D．
例21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，則，
記，則，令則，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)橹挥形ㄒ坏牧泓c(diǎn)，所以零點(diǎn)只能是于是
故選：C
變式21．（2023·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）
A．B．3C．或3D．4
【答案】B
【解析】，令，
則有是偶函數(shù)，
若只有唯一零點(diǎn)，則必過(guò)原點(diǎn)，即，從而.
當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，舍去.
故，此時(shí)，則，故.
故選：B
變式22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】把函數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)性質(zhì)，有唯一零點(diǎn)，由得解.因?yàn)椋?br>令則，
因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，
所以也有唯一零點(diǎn)，且為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，由偶函數(shù)對(duì)稱性得，所以，解得，
故選：D.
變式23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為
A．或B．1或C．或2D．或1
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，求出，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性得出和都關(guān)于對(duì)稱，由有唯一零點(diǎn)，可知，即可求.已知，①
且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，
則，
得：，②
①+②得：，
由于關(guān)于對(duì)稱，
則關(guān)于對(duì)稱，
為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，
則關(guān)于對(duì)稱，
由于有唯一零點(diǎn)，
則必有，，
即：，
解得：或.
故選：A.
變式24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
設(shè)
則函數(shù)有唯一零點(diǎn)，
則
設(shè)∴ 為偶函數(shù)，
∵函數(shù) 有唯一零點(diǎn)，
∴與有唯一的交點(diǎn)，
∴此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，解得或（舍去），
故選A．
【通性通解總結(jié)】
利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：
（1）利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.
（3）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.
命題方向八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
例22．（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，函數(shù) 若恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】畫(huà)出函數(shù)的圖象如下圖所示：
函數(shù)可由分段平移得到，
易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，代表圖象往上平移，顯然沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，圖象往下平移，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，即；
綜上可得的取值范圍是.
故選：D
例23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，.若有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令可得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，的圖象與關(guān)于軸對(duì)稱，
所以作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：
由上圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.即實(shí)數(shù)的最小值為1.
故選：D
例24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則使函數(shù)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令可得出，令，
由于函數(shù)有零點(diǎn)，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍即為函數(shù)的值域.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)，.
綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
變式25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，
令，解得，
即函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
由題意得：在上無(wú)零點(diǎn).
所以在上無(wú)解，
即在上無(wú)解，
當(dāng)時(shí)，，
所以或.
故選：D
變式26．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以或
解得或
故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
故選：B
【通性通解總結(jié)】
已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
命題方向九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題
例25．（2023·河北滄州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，其中，則的值為_(kāi)_______．
【答案】1
【解析】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，；時(shí)，，
∴，作出的圖象，如圖
要使有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，其中
令，則需要有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根（其中）
則，即或，且
若，則，∵，∴，則
∴，則，且
∴=
若，則，因?yàn)?，且?br>∴，故不符合題意，舍去
綜上
故答案為：1
例26．（2023·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為_(kāi)_____．
【答案】4
【解析】，又，
則有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
則在時(shí)取得最大值，時(shí)，
令，則
則必有二根，且
則
則有一解，有二解且
故
故答案為：4
例27．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)__________.
【答案】36
【解析】因?yàn)?br>所以
因?yàn)?，所?br>有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以,當(dāng)時(shí)，
令，則
必有兩個(gè)根，不妨令，
且,
即必有一解，-有兩解，
且，
故
.
故答案為：36.
變式27．（2023·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】由，兩邊同時(shí)除以變形為，
有
設(shè)即，所以
令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，，當(dāng)時(shí)，其大致圖像如下．
要使關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，，且．
結(jié)合圖像可得關(guān)于t的方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
且，從而．
，，則，．
所以
.
故答案為：
變式28．（2023·江蘇蘇州·高二江蘇省震澤中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，且四個(gè)零點(diǎn)全部大于1，則的值為_(kāi)______．
【答案】
【解析】由題意令，
，
令，則
所以函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，
等價(jià)于關(guān)于的方程，
即方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，
且此時(shí)直線與的圖象應(yīng)有四個(gè)交點(diǎn)，
交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，
由上，；上，，
，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以由數(shù)形結(jié)合可知：
，
故答案為：
變式29．（2023·江蘇蘇州·高二常熟中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)存在三個(gè)零點(diǎn)、、，且滿足，則的值為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得?br>令，可得，即，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，
作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
若使得方程由三個(gè)不等的實(shí)根、、，且滿足，
則關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、，設(shè)，
由韋達(dá)定理可得，則，
由圖可知，，
因此，.
故答案為：.
【通性通解總結(jié)】
解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
命題方向十：等高線問(wèn)題
例28．（2023·湖北武漢·高一期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，且，則的最小值為（）
A．B．8C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)圖像如圖所示，
，，，，
由，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).
所以的最小值為.
故選：D
例29．（2023·河南鄭州·高一新密市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】作函數(shù)和的圖象，如圖所示：
當(dāng)時(shí)，，即，解得，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；
結(jié)合圖象知，，當(dāng)時(shí)，可知是方程，即的二根，故，，端點(diǎn)取不到，故BC錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，即，
故，即，所以，
故，即，所以，故D正確.
故選：D.
例30．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作出函數(shù)的圖象如下：
因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的解，，，，且，
所以有，，
故，
再由可得或，即，
令，（），
任取，則，，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，，所以.
即的取值范圍是.
故選：B.
變式30．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)有五個(gè)不同的零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，?br>所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
設(shè)五個(gè)零點(diǎn)分別為，且，
則，
所以,所以，
則，由，可得，則.
故選：C.
【通性通解總結(jié)】
數(shù)形結(jié)合
命題方向十一：二分法
例31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，原來(lái)區(qū)間的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)過(guò)二分法的一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，
則經(jīng)過(guò)n次操作后，區(qū)間的長(zhǎng)度為，若，即.
故選：B．
例32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)()的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:
由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（）
A．0.625B．-0.009C．0.5625D．0.066
【答案】C
【解析】在上單調(diào)遞增.
設(shè)近似值為，
由表格有，
所以
故選：C
例33．（2023·陜西西安·西安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，下列說(shuō)法正確的有（）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
【答案】B
【解析】，又
A錯(cuò)誤；
，又，
滿足精度為的近似值在內(nèi)，則B正確，D錯(cuò)誤；
， C錯(cuò)誤.
故選：B.
變式31．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得，，第二次應(yīng)計(jì)算，則等于（）
A．1B．C．0.25D．0.75
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，所以在?nèi)存在零點(diǎn)，
根據(jù)二分法第二次應(yīng)該計(jì)算，其中；
故選：C
變式32．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，列表如下：
那么方程的一個(gè)近似根（精確度為0.1）可以為（）
A．1.3B．1.32C．1.4375D．1.25
【答案】B
【解析】由，，且為連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)存在性定理知：區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，故方程的一個(gè)近似根可以為1.32，B選項(xiàng)正確，其他選項(xiàng)均不可.
故選：B
變式33．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：
那么函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)近似值（精確度為0.1）為（）
A．0.45B．0.57C．0.78D．0.89
【答案】B
【解析】根據(jù)給的數(shù)據(jù)知道方程的根在區(qū)間內(nèi)，所以近似解為0.57
故選：B
【通性通解總結(jié)】
對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的所有零點(diǎn)之和為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】時(shí)，由得，
時(shí)，由得或，
所以四個(gè)零點(diǎn)和為．
故選：D．
2．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)的零點(diǎn)為（）
A．4B．4或5C．5D．或5
【答案】C
【解析】由題意可得：，解得，故的定義域?yàn)椋?br>令，得，則，解得或，
又∵，所以．
故選：C.
3．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．2023
【答案】B
【解析】解:由題知
所以,
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),
,
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
故，
綜上，在上單調(diào)遞增,
因?yàn)?
故函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn).
故選:B
4．（2023·四川成都·成都市第二十中學(xué)校校考一模）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】令解得，
的定義域?yàn)椋?br>的圖像如圖所示，
由圖像可知在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
的圖像如圖所示，
由圖像可知有兩個(gè)根，有四個(gè)根，
所以函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，
故選：C
5．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得或．
依題意可得，且，所以，且．
故選：D．
6．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)與有3個(gè)不同的交點(diǎn)
如圖與的圖像
由圖可得函數(shù)與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則
故選：A.
7．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】的定義域?yàn)椋峙c在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零點(diǎn).
故選：C
8．（2023·四川巴中·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
且，如圖令，得或；
若對(duì)任意，都有，結(jié)合圖像則的取值范圍是.
故選：B.
二、多選題
9．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)；令解得，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，
故選項(xiàng)A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以該函?shù)不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)；令解得，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，
故選項(xiàng)C正確.
對(duì)于選項(xiàng)D，令，即，無(wú)實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)不存在零點(diǎn)，
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC
10．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)，下列描述正確的有（）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．若則D．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象（，作出的圖象，
再作出其關(guān)于軸對(duì)稱的圖象，然后向右平移2個(gè)單位，
最后把軸下方的部分關(guān)于軸翻折上去即可得），如圖，
由圖象知在是單調(diào)遞增，A正確，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；
，直線與函數(shù)圖象相交可能是4個(gè)交點(diǎn)，如圖，
如果最左邊兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是，則不成立，C錯(cuò)誤，
與軸僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確．
故選：ABD．
11．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．為奇函數(shù)
C．在上為減函數(shù)D．方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解
【答案】ABD
【解析】A：為偶函數(shù)，故，
令，得，
為奇函數(shù)，故，
令，得，其中，
所以，故A正確；
B：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則,得，
又為偶函數(shù)，則，得，
所以，令得，
即，則，
即，所以8為函數(shù)的一個(gè)周期.
故，所以，
從而為奇函數(shù)，故B正確；
C：在區(qū)間上是增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以在上單調(diào)遞增，又周期為8，故在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
D：作出與的大致圖象，如圖所示，
其中單調(diào)遞減且，所以兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn)，
故方程僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解，故D正確.
故選：ABD.
12．（2023·全國(guó)·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，對(duì)于任意的，，，關(guān)于的方程的解集可能的是（）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】令，則方程化為，
由給定的選項(xiàng)知，方程有實(shí)根，設(shè)其根為，
函數(shù)定義域?yàn)镽，
，在上遞減，在上遞增，
且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，
當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，
當(dāng)時(shí)，方程有一解，
當(dāng)時(shí)，方程有兩解且和為2，
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程有兩解且和為4，
與題意矛盾，故A不符合要求；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程有兩解且和為2，又關(guān)于對(duì)稱，故B符合要求；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)解，其中一個(gè)為1，另兩個(gè)的和為2，故C不符合要求；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)解，必滿足其中兩根和與另兩根和都為2，又關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，故D符合要求，
故選：BD.
三、填空題
13．（2023·河南南陽(yáng)·南陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的值為_(kāi)__________.
【答案】36
【解析】因?yàn)?br>所以
因?yàn)?，所?br>有三個(gè)不同的零點(diǎn)，
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以,當(dāng)時(shí)，
令，則
必有兩個(gè)根，不妨令，
且,
即必有一解，-有兩解，
且，
故
.
故答案為：36.
14．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）已知的反函數(shù)的零點(diǎn)為2，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________；
【答案】4
【解析】的零點(diǎn)為2，即的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0），
所以的圖象過(guò)點(diǎn)（0，2），
即，解得，
故答案為：4
15．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知定義在（0，+）上的函數(shù)f（x）滿足：，若方程在（0，2]上恰有三個(gè)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】方程在（0，2]上恰有三個(gè)根，
即直線與函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，f（x）在（，1]上單調(diào)遞增.
結(jié)合函數(shù)的“周期現(xiàn)象”得f（x）在（0，2]上的圖像如下：
由于直線l；過(guò)定點(diǎn)A（0，）.如圖連接A，B（1，0）兩點(diǎn)作直線，過(guò)點(diǎn)A作的切線l2，
設(shè)切點(diǎn)P（，），其中，則斜率
切線過(guò)點(diǎn)A（0，）.
則，即，則，
當(dāng)直線繞點(diǎn)A（0，）在與之間旋轉(zhuǎn)時(shí).
直線與函數(shù)在[-1，2]上的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，故
故答案為：
16．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）函數(shù) 上所有零點(diǎn)之和為_(kāi)____.
【答案】4
【解析】函數(shù)，即，
函數(shù)和都關(guān)于對(duì)稱，
所以函數(shù)和的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，
如圖畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)圖象，
兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱性可知，
交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.
故答案為：4
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
f(x)
-1.307
-0.084
-0.009
0.066
0.215
0.512
1.099
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
f（x）
-1
0.875
-0.2969
0.2246
-0.05151
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897

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