新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類專題06函數(shù)的概念(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題方向一：函數(shù)的概念
命題方向二：同一函數(shù)的判斷
命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域
命題方向四：抽象函數(shù)定義域
命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用
命題方向六：函數(shù)解析式的求法
方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）
方向2．換元法或配湊法（適用于了型）
方向3．方程組法
方向4．求分段函數(shù)的解析式
方向5．抽象函數(shù)解析式
命題方向七：函數(shù)值域的求解
方向1．觀察法
方向2．配方法
方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）
方向4．基本不等式法
方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）
方向6．分離常數(shù)法
方向7．判別式法
方向8．單調(diào)性法
方向9．有界性法
方向10．導(dǎo)數(shù)法
命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用
方向1．求值問題
方向2．求參數(shù)問題
方向3．解不等式問題
【2024年高考預(yù)測】
2024年高考仍重點考查分段函數(shù)求值、不等式、方程問題，注意函數(shù)定義域、值域與最值方法的復(fù)習(xí)．
【知識點總結(jié)】
1、函數(shù)的概念
（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)關(guān)系，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數(shù)的實質(zhì)是從一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的映射．
（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，．
（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系．
（5）相等函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同時，兩個函數(shù)才相等．
2、函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
3、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
【方法技巧與總結(jié)】
1、直線與函數(shù)的圖象至多有1個交點．
2、在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集．
3、分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．
4、函數(shù)值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域．
（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．
（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．
（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析．
（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數(shù)集R）．
（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時可利用單調(diào)性法．
（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因為常出現(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．
（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（小）值，從而求出函數(shù)的值域．
【典例例題】
命題方向一：函數(shù)的概念
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
例2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）任給，對應(yīng)關(guān)系使方程的解與對應(yīng)，則是函數(shù)的一個充分條件是（）
A． B． C． D．
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，當(dāng)時都能使成為某個函數(shù)的圖像，則的最大值是（）
A．B．C．D．
變式2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對任意都有（）
A．B．C．D．
【通性通解總結(jié)】
利用函數(shù)概念判斷
命題方向二：同一函數(shù)的判斷
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）
A．與B．與
C．與D．與
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）
A．，B．，
C．，D．，
例6．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）下列四組函數(shù)中，同組的兩個函數(shù)是相同函數(shù)的是（）
A．與B．與
C．與D．與
變式3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，與是同一個函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【通性通解總結(jié)】
當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．
命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域
例7．（2023·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域為__________．
例8．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域為__________.
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為______．
變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則_________.
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的定義域為______.
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為( )
A．B．C．D．
【通性通解總結(jié)】
對求函數(shù)定義域問題的思路是：
（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．
命題方向四：抽象函數(shù)定義域
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為______.
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為[－2,2]，則函數(shù)的定義域為______.
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______.
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則的定義域為________.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為____________.
【通性通解總結(jié)】
1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域為，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號范圍相同．已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域
2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．
命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用
例13．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則的取值范圍是_______．
例14．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值為______．
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的取值范圍為________．
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為______.
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．
變式11．（2023·高三課時練習(xí)）若函數(shù)f(x) =的定義域為R，則的取值范圍為_______.
變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
【通性通解總結(jié)】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進(jìn)行分類討論．
命題方向六：函數(shù)解析式的求法
方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若是上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且，則______.
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(1)＝____．
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過點，且滿足，則的解析式為______.
變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y＝alg2(x＋1)，設(shè)這種動物第一年有100只，到第7年它們發(fā)展到__________．
方向2．換元法或配湊法（適用于了型）
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則f(x)＝________.
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的解析式為______．
變式16．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，則______．
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)），則_______．
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________.
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為_______
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對，有，則___________.
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于___.
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)若，則_________.
變式23．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，則的值為（）
A．0B．C．D．1
方向3．方程組法
變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對任意的實數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為________．
變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則___________.
變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為___________.
變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則___________.
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)f(x)的解析式為___________.
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（）
A．B．C．D．
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為__________
變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對任意都有，則方程的解集為_______．
變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為___________.
方向4．求分段函數(shù)的解析式
變式33．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長為，其中．用直線l：（）截這個正方形，將正方形分為兩個部分，其中包含了頂點D部分的面積記為S，將S表示為t的函數(shù)，則其解析式為________________．
變式34．（2023·黑龍江七臺河·高三校考期中）設(shè)函數(shù)，且，，求的解析式．
變式35．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）已知和是定義域為的二次函數(shù)，函數(shù)圖象過點，，且，，
(1)求的解析式
(2)，用表示中較大者，記為，
①求
②寫出的函數(shù)解析式，并指出的最小值（不用寫理由）
變式36．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┙o定函數(shù)
(1)判斷的單調(diào)性并證明
(2)在同一坐標(biāo)系中畫出的圖像
(3)任意的，用表示的較小者，記為，請寫出的解析式.
方向5．抽象函數(shù)解析式
變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意，，均有，則的一個解析式為______．
變式38．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，…，，，則滿足條件的函數(shù)的一個解析式為________.
變式39．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)滿足，寫出一個符合要求的解析式_________．
變式40．（2023·高一課時練習(xí)）是R上的函數(shù)，且滿足，并且對任意的實數(shù)都有，則的解析式_______
變式41．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)：______．
①定義域為；②；③的導(dǎo)函數(shù)．
【通性通解總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：
（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解．
（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．
（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．
（4）求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求．
（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團換元轉(zhuǎn)換繁瑣時，可考慮配湊法求解．
（6）若已知成對出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個方程，消元的方法求出．
命題方向七：函數(shù)值域的求解
【通性通解總結(jié)】
方向1．觀察法
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域為______________
例20．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（）
A．B．C．D．
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________
變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域為的是（）
A．B．C．D．
方向2．配方法
變式44．（2023·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的值域是，則_________．
變式45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______.
變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（）
A．B．
C．D．
方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）
變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______.
變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_____
變式49．（2023·陜西銅川·校考一模）若，則函數(shù)的值域是__________．
變式50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為___________.
變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_____.
變式52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______________.
方向4．基本不等式法
變式53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是______.
變式54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為___________．
變式55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______
變式56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域為___________．
方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）
變式57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是______．
變式58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的，則其值域為_____________.
變式59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域為_________.
變式60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為____________
變式61．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______．
變式62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．
方向6．分離常數(shù)法
變式63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．
變式64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪（，+∞）
變式65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．
變式66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________
方向7．判別式法
變式67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（）
A．B．C．D．
變式68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.
變式69．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______________．
變式70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_________.
方向8．單調(diào)性法
變式71．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
變式72．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.
變式73．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
方向9．有界性法
變式74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________
變式75．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
變式76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）實數(shù)，滿足，則的最大值為___________．
變式77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是________________.
方向10．導(dǎo)數(shù)法
變式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.
變式79．（2023·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，定義域為，則該函數(shù)的最小值為__________．
變式80．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是________.
變式81．（2023·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）函數(shù)，的值域是______.
命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用
方向1．求值問題
例22．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）已知，則______.
例23．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則______．
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則___________.
變式82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．
方向2．求參數(shù)問題
變式83．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（）
A．B．C．D．
變式84．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的值可能為（）
A．B．C．D．
變式85．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若，則實數(shù)（）
A．0B．1C．2D．3
變式86．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則方程的解集為（）
A．B．C．D．
變式87．（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）
A．B．C．或3D．或
變式88．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若的值域是，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
變式89．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則解的個數(shù)為（）
A．2B．3C．4D．5
方向3．解不等式問題
變式90．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則不等式的解集是（）
A．
B．
C．
D．
變式91．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
變式92．（2023·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)校考二模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
變式93．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知,則使成立的的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
變式94．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
變式95．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對于實數(shù)a，使成立的一個必要不充分條件是（）
A．B．
C．D．或
【通性通解總結(jié)】
1、分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個區(qū)間，選定該區(qū)間對應(yīng)的解析式代入求值
2、函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計算之后進(jìn)行檢驗所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi)．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎瘮?shù)，則（）
A．4B．5C．6D．7
2．（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
3．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是（）
A．B．C．D．
4．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)當(dāng)時，取得最小值，則m的取值范圍為（）．
A．B．C．D．
6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）一般地，設(shè)、分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)可解得唯一的也是一個函數(shù)（即對任意一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱是函數(shù)的反函數(shù)，記作.在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成的形式.例如函數(shù)的反函數(shù)為.設(shè)，則函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖象過點與，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中a，b，c為常數(shù)，若，則c＝（）
A．－1B．0C．1D．2
二、多選題
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中，正確的有（）
A．函數(shù)與函數(shù)表示同一函數(shù)
B．已知函數(shù)，若，則
C．若函數(shù)，則
D．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線，若曲線仍然是一個函數(shù)的圖像，則的可能取值為（）
A．B．C．D．
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，定義域為，值域為，則下列說法中一定正確的是（）
A．B．
C．D．
12．（2023·吉林白山·統(tǒng)考三模）存在函數(shù)，對任意都有，則函數(shù)不可能為（）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．（2023·高三課時練習(xí)）已知，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為______．
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，其中，為實數(shù)，，，若，則______．
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則值域是_______
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為____
（2）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．
四、解答題
17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)

(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)；
(2)畫出函數(shù)的圖像；
(3)寫出函數(shù)的定義域和值域.
18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．
(1)已知滿足.
(2)已知，對任意的實數(shù)x，y都有.
19．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)若對任意恒成立，求k的取值范圍.
20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的值域；
(2)證明：；
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)（）是奇函數(shù)．又已知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值．
(1)證明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且
(1)證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；
(2)若滿足，但，則稱為函數(shù)的二階周期點，如果有兩個二階周期點，試確定實數(shù)的取值范圍．
專題06函數(shù)的概念
【命題方向目錄】
命題方向一：函數(shù)的概念
命題方向二：同一函數(shù)的判斷
命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域
命題方向四：抽象函數(shù)定義域
命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用
命題方向六：函數(shù)解析式的求法
方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）
方向2．換元法或配湊法（適用于了型）
方向3．方程組法
方向4．求分段函數(shù)的解析式
方向5．抽象函數(shù)解析式
命題方向七：函數(shù)值域的求解
方向1．觀察法
方向2．配方法
方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）
方向4．基本不等式法
方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）
方向6．分離常數(shù)法
方向7．判別式法
方向8．單調(diào)性法
方向9．有界性法
方向10．導(dǎo)數(shù)法
命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用
方向1．求值問題
方向2．求參數(shù)問題
方向3．解不等式問題
【2024年高考預(yù)測】
2024年高考仍重點考查分段函數(shù)求值、不等式、方程問題，注意函數(shù)定義域、值域與最值方法的復(fù)習(xí)．
【知識點總結(jié)】
1、函數(shù)的概念
（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)關(guān)系，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數(shù)的實質(zhì)是從一個非空數(shù)集到另一個非空數(shù)集的映射．
（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，．
（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系．
（5）相等函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同時，兩個函數(shù)才相等．
2、函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．
3、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
【方法技巧與總結(jié)】
1、直線與函數(shù)的圖象至多有1個交點．
2、在函數(shù)的定義中，非空數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集．
3、分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集．
4、函數(shù)值域的求法主要有以下幾種
（1）觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域（如≥0，及函數(shù)的圖像、性質(zhì)、簡單的計算、推理，憑觀察能直接得到些簡單的復(fù)合函數(shù)的值域．
（2）配方法：對于形如的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結(jié)合二次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域．
（3）圖像法：根據(jù)所給數(shù)學(xué)式子的特征，構(gòu)造合適的幾何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等．
（5）換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形的值城，可通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)．
（6）分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進(jìn)行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析．
（7）判別式法：把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，形如，或的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意x的取值范圍必須為實數(shù)集R）．
（8）單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域．對于形如或的函數(shù)，當(dāng)ac>0時可利用單調(diào)性法．
（9）有界性法：充分利用三角函數(shù)或一些代數(shù)表達(dá)式的有界性，求出值域．因為常出現(xiàn)反解出y的表達(dá)式的過程，故又常稱此為反解有界性法．
（10）導(dǎo)數(shù)法：先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大（?。┲担瑥亩蟪龊瘮?shù)的值域．
【典例例題】
命題方向一：函數(shù)的概念
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】對于A選項，對集合A中的任意一個數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對應(yīng)，是函數(shù)；
對于B選項，時，，有兩個y與之對應(yīng)，不是函數(shù)；
對于C選項，當(dāng)時，不存在，不是函數(shù)；
對于D選項，集合A中的元素0在集合B中沒有對應(yīng)元素，不是函數(shù).
故選：A
例2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）任給，對應(yīng)關(guān)系使方程的解與對應(yīng)，則是函數(shù)的一個充分條件是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，對任意，按，在的范圍中必有唯一的值與之對應(yīng)，，則，則的范圍要包含，
故選：A．
例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，下列圖形能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A是函數(shù)圖象，其值域為，與已知函數(shù)的值域為不符，故不符合題意；
B是函數(shù)的圖象，定義域為，值域為，故符合題意；
C是函數(shù)圖象，值域為，與已知函數(shù)的值域為不符，故不符合題意；
D是函數(shù)圖象，值域為，故不符合題意.
故選：B
變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，當(dāng)時都能使成為某個函數(shù)的圖像，則的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在原點處的切線斜率為，切線方程為
當(dāng)繞著原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，若旋轉(zhuǎn)角大于，則旋轉(zhuǎn)所成的圖像與軸就會有兩個交點，則曲線不再是函數(shù)的圖像.
所以的最大值為.

故選：B.
變式2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）存在函數(shù)滿足：對任意都有（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對于A，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
不符合函數(shù)定義，A錯誤；
對于B,令，則，令，則，
不符合函數(shù)定義，B錯誤；
對于C, 令，則，令，則，
不符合函數(shù)定義，C錯誤；
對于D, ,,則，則存在時，，
符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)滿足：對任意都有，D正確，
故選：D
【通性通解總結(jié)】
利用函數(shù)概念判斷
命題方向二：同一函數(shù)的判斷
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】C
【解析】對于選項A，因為而一個x對多個y，不是函數(shù)，所以它們不是同一函數(shù)．
對于選項B，因為的定義域為，而的定義域為，所以它們不是同一函數(shù)．
對于選項C，因為，所以，所以兩個函數(shù)的定義域均為，又，所以它們是同一函數(shù)．
對于選項D，因為的定義域為，而的定義域為，所以它們不是同一函數(shù)．
故選：C．
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，函數(shù)的定義域為[0，+∞），所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；
對于B，因為，且，的定義域均為R，所以這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)；
對于C，，和的對應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)；
對于D，函數(shù)的定義域為{，且}，函數(shù)的定義域為R，
所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù).
故選：B.
例6．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）下列四組函數(shù)中，同組的兩個函數(shù)是相同函數(shù)的是（）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】D
【解析】A選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).
B選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).
C選項，函數(shù)的定義域為；函數(shù)的定義域為，不是相同函數(shù).
D選項，由于，所以與的定義域、值域都為，對應(yīng)關(guān)系也相同，
所以與是相同函數(shù).
故選：D
變式3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，與是同一個函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】對于A，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù)；
對于 B，函數(shù)，與函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個函數(shù)；
對于 C，函數(shù)，與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個函數(shù)；
對于 D，函數(shù)，與函數(shù)的定義域不同，不是同一個函數(shù).
故選：B.
【通性通解總結(jié)】
當(dāng)且僅當(dāng)給定兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù)．
命題方向三：給出函數(shù)解析式求解定義域
例7．（2023·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域為__________．
【答案】
【解析】對于函數(shù)，有，解得.
故函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
例8．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域為__________.
【答案】
【解析】函數(shù)中，，即，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為______．
【答案】
【解析】由，得，
故函數(shù)的定義域為：．
故答案為：
變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則_________.
【答案】或
【解析】由有意義可得
，
所以或，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
故答案為：或.
變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，則函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】解法1：由函數(shù)，則滿足，可得，
即函數(shù)的定義域為，
對于函數(shù)，令，即，解得，
即函數(shù)的定義域為.
解法2：由，，
可得，
令，解得，所以的定義域為.
故答案為：.
變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題設(shè)有，
由得，故選A.
【通性通解總結(jié)】
對求函數(shù)定義域問題的思路是：
（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫成集合或區(qū)間的形式．
命題方向四：抽象函數(shù)定義域
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】因為函數(shù)定義域為，由得
定義域為
則函數(shù)的定義域滿足，解得
定義域為.
故答案為：.
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為[－2,2]，則函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】令，得，從而，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】因為的定義域為，
要使有意義，
則，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則的定義域為________.
【答案】
【解析】由于函數(shù)的定義域為，則，所以函數(shù)的定義域為，
則函數(shù)中，所以，即的定義域為.
故答案為：.
變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為____________.
【答案】
【解析】對于，因為，所以由的單調(diào)性得，即，
所以對于，有，即，
由的單調(diào)性得，解得，
所以的定義域為.
故答案為：.
【通性通解總結(jié)】
1、抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域為，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號范圍相同．已知的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域
2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．
命題方向五：函數(shù)定義域的應(yīng)用
例13．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且，則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】由，可知，
解得，
故答案為：.
例14．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值為______．
【答案】
【解析】的定義域滿足：，解集為，
故且，解得.
故答案為：
例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是，則實數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】
【解析】因為函數(shù)的定義域是.
所以不等式恒成立．
所以，當(dāng)時，不等式等價于，顯然恒成立；
當(dāng)時，則有，即，解得.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為:
變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為______.
【答案】
【解析】因為函數(shù)定義域為R，
所以在R上恒成立，
所以，解得.
故答案為：.
變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，則a的范圍是________．
【答案】
【解析】有函數(shù)解析式知要使定義域為R，則恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求參數(shù)a的范圍.當(dāng)時，，即定義域為R；
當(dāng)，要使的定義域為R，則在上恒成立，
∴，解得，
綜上，有，
故答案為：
變式11．（2023·高三課時練習(xí)）若函數(shù)f(x) =的定義域為R，則的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】恒成立，恒成立，
變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】因為函數(shù)的定義域為 R，所以的解為R，
即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，
（1）當(dāng)時，函數(shù)與x軸沒有交點，故成立；
（2）當(dāng)時，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，則，解得.
綜上：實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【通性通解總結(jié)】對函數(shù)定義域的應(yīng)用，是逆向思維問題，常常轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進(jìn)行分類討論．
命題方向六：函數(shù)解析式的求法
方向1．待定系數(shù)法（函數(shù)類型確定）
例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若是上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且，則______.
【答案】
【解析】因為是上單調(diào)遞減的一次函數(shù)，所以可設(shè)，
所以，
又因為，所以恒成立，
所以，因為，所以，.
所以.
故答案為：
例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(1)＝____．
【答案】9
【解析】設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立．
∴，解得∴f(x)＝2x＋7，從而得f(1)＝9.
故答案為：9
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過點，且滿足，則的解析式為______.
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知，
又恒相等，
化簡得到恒相等，
所以，故，，，
所以的解析式為.
故答案為：.
變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y＝alg2(x＋1)，設(shè)這種動物第一年有100只，到第7年它們發(fā)展到__________．
【答案】300
【解析】由已知第一年有100只，得a＝100.
將a＝100，x＝7代入y＝alg2(x＋1)，得y＝300.
答案：300.
方向2．換元法或配湊法（適用于了型）
變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則f(x)＝________.
【答案】且
【解析】令，則，
因為，所以，
又且，所以且，
所以且，
故答案為：且
變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的解析式為______．
【答案】
【解析】設(shè)，則，，∵，
∴，，即，．
故答案為：
變式16．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，則______．
【答案】/2.5
【解析】由題意得，，
令，由，得，
∴．
故答案為：.
變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)），則_______．
【答案】
【解析】令，
于是有，
故答案為：
變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則__________.
【答案】，
【解析】
又當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
設(shè)，則，所以
所以
故答案為：，
變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式為_______
【答案】
【解析】令，則，且，
所以，
所以，
故答案為：.
變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對，有，則___________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，對，有
又是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)
R上存在常數(shù)a使得
，，解得
故答案為：.
變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值等于___.
【答案】7
【解析】，
令，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，，
，
則
故答案為：7
變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)若，則_________.
【答案】
【解析】令，
，
，
變式23．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)，都有，則的值為（）
A．0B．C．D．1
【答案】B
【解析】令，可以求得，即可求出解析式，進(jìn)而求出函數(shù)值.根據(jù)題意，令，為常數(shù)，
可得，且，
所以時有，
將代入，等式成立，
所以是的一個解，
因為隨的增大而增大，所以可以判斷為增函數(shù)，
所以可知函數(shù)有唯一解，
又因為，
所以，即，
所以.
故選：B.
方向3．方程組法
變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對任意的實數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為________．
【答案】
【解析】由，①
得，
即，②
得：，
所以，
令，則，
所以.
故答案為：.
變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則___________.
【答案】
【解析】因為定義在上的函數(shù)滿足，
將換成可得：，將其代入上式可得：
，
所以，
故答案為：.
變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)滿足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，則f(x)的解析式為___________.
【答案】f(x)=2x
【解析】根據(jù)題意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，
用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①
用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②
①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，
∴f(x+1)=2x2(x+1)，
f(x)=2x，
故答案為：f(x)=2x.
變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則___________.
【答案】/
【解析】因為①，
所以②，
②①得，．
故答案為：．
變式28．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)f(x)的解析式為___________.
【答案】
【解析】以代替得出，與已知等式聯(lián)立，解出函數(shù)f(x)的解析式．∵，①
∴，②
①×3﹣②×5，得：
﹣16f(x)=﹣10x﹣2，
∴
故答案為：
變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)與的定義域是，函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，且，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函數(shù)是一個偶函數(shù)，是一個奇函數(shù)，
所以，，
因為①，
則②，
所以①+②得，
所以．
故選：A．
變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為__________
【答案】
【解析】由題意，用代換解析式中的，可得，…….（1）
與已知方程，……（2）
聯(lián)立（1）（2）的方程組，可得，
令，則，所以，
所以.
故答案為：.
變式31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的單調(diào)函數(shù)，若對任意都有，則方程的解集為_______．
【答案】．
【解析】∵定義在上的單調(diào)函數(shù)，對任意都有，
令，則，
在上式中令，則，解得，
故，
由得，即，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖像，

可知這兩個圖像有2個交點，即和，
則方程的解集為．
故答案為：.
變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，若，則不等式的解集為___________.
【答案】
【解析】是定義在上的連續(xù)單調(diào)函數(shù)，
存在唯一，使得，故令，，，在上單調(diào)遞增，且，
，
故的解集為.
故答案為：
方向4．求分段函數(shù)的解析式
變式33．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長為，其中．用直線l：（）截這個正方形，將正方形分為兩個部分，其中包含了頂點D部分的面積記為S，將S表示為t的函數(shù)，則其解析式為________________．
【答案】
【解析】由題意可知為等腰直角三角形，,
當(dāng)直線在的左側(cè)時，即直線與正方形的交點在上時，
即當(dāng) 時，直線的左側(cè)為等腰直角為三角形，
此時，
當(dāng)直線與正方形的交點在上時，
即，直線的左側(cè)為五邊形，
則，
所以S表示為t的函數(shù)解析式為，
故答案為：.
變式34．（2023·黑龍江七臺河·高三?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，且，，求的解析式．
【解析】因為函數(shù)解析式為，則，則，
由可得，，解得，所以.
變式35．（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）已知和是定義域為的二次函數(shù)，函數(shù)圖象過點，，且，，
(1)求的解析式
(2)，用表示中較大者，記為，
①求
②寫出的函數(shù)解析式，并指出的最小值（不用寫理由）
【解析】（1）設(shè)，
因為函數(shù)圖象過點，，
，，
可知對稱軸為，則，
解得，所以.
（2）①由（1）可知，
當(dāng)時，即，解得或；
當(dāng)時，即，解得；
所以，
所以.
②由①可得，
當(dāng)時，，此時；
當(dāng)時，，此時；
當(dāng)時，，此時；
綜上所述：的最小值是.
變式36．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┙o定函數(shù)
(1)判斷的單調(diào)性并證明
(2)在同一坐標(biāo)系中畫出的圖像
(3)任意的，用表示的較小者，記為，請寫出的解析式.
【解析】（1）判斷: 在定義域上單調(diào)遞增，證明如下，
，
，即，
所以在定義域上單調(diào)遞增.
（2）作圖如下，
（3）當(dāng)時，，所以
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以
所以.
方向5．抽象函數(shù)解析式
變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對任意，，均有，則的一個解析式為______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】如：，則，，
又，則，
此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足題設(shè).
故答案為：（答案不唯一）
變式38．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，…，，，則滿足條件的函數(shù)的一個解析式為________.
【答案】
【解析】由已知得，，
，
，又，
故答案為：
變式39．（2023·高一課時練習(xí)）若函數(shù)滿足，寫出一個符合要求的解析式_________．
【答案】x(答案不唯一)
【解析】因為函數(shù)滿足，
所以x，
故答案為：x,答案不唯一
變式40．（2023·高一課時練習(xí)）是R上的函數(shù)，且滿足，并且對任意的實數(shù)都有，則的解析式_______
【答案】
【解析】令，代入得，
又，則，
∴，
故答案為：．
變式41．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù)：______．
①定義域為；②；③的導(dǎo)函數(shù)．
【答案】（答案不唯一）
【解析】若，其定義域為，滿足①；
，，所以，滿足②；
，滿足③.
故答案為：.
【通性通解總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：
（1）當(dāng)已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解．
（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法．若易換元后求出，用換元法．
（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法．
（4）求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求．
（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團換元轉(zhuǎn)換繁瑣時，可考慮配湊法求解．
（6）若已知成對出現(xiàn)，或，，類型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個方程，消元的方法求出．
命題方向七：函數(shù)值域的求解
【通性通解總結(jié)】
方向1．觀察法
例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域為______________
【答案】
【解析】因為，所以，
又，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，，
所以函數(shù)的值域為.
故答案為：
例20．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對于A：函數(shù)的定義域為，值域也為，不符合題意；
對于B：函數(shù)的定義域和值域都為，不符合題意；
對于C：的定義域和值域都為，不符合題意；
對于D：的定義域為；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以值域為，定義域和值域不相同，符合題意；
故選：D．
例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________
【答案】
【解析】為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
的值域為.
故答案為：.
變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，所以，故函數(shù)的值域.
故選：C.
變式43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域為的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)的值域為，，故排除；
函數(shù)的值域為，故排除；
函數(shù)的值域為，故滿足條件；
函數(shù)的值域為，，故排除，
故選：．
方向2．配方法
變式44．（2023·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的值域是，則_________．
【答案】
【解析】，
故，解得．
故答案為：
變式45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______.
【答案】
【解析】令，則，
所以.
故答案為：.
變式46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，則且
又因為，
所以，所以，
即函數(shù)的值域為，
故選：B.
方向3．圖像法（數(shù)形結(jié)合）
變式47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______.
【答案】
【解析】由題設(shè)，
所以所求值域化為求軸上點到與距離差的范圍，如下圖示，
由圖知：，即，
當(dāng)三點共線且在之間時，左側(cè)等號成立；
當(dāng)三點共線且在之間時，右側(cè)等號成立，顯然不存在此情況；
所以，即，
所以函數(shù)值域為.
故答案為：
變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_____
【答案】
【解析】表示點與點連線的斜率，
的軌跡為圓，
表示圓上的點與點連線的斜率，
由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，
則設(shè)過的圓的切線方程為，即，
圓心到切線的距離，解得：，
結(jié)合圖象可知：圓上的點與點連線的斜率的取值范圍為，
即的值域為.
故答案為：.
變式49．（2023·陜西銅川·?？家荒＃┤簦瑒t函數(shù)的值域是__________．
【答案】
【解析】，
設(shè)，，則.
由于，則，且.
設(shè)，
由該式的幾何意義得下面圖形，，其中直線為圓的切線，由圖知.
由圖知，
在中，有，，所以，
所以，所以.
所以，，故所求值域為．
故答案為：．
變式50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的最小值為___________.
【答案】/
【解析】分別作，的圖象，
分別取點，，原式視為兩圖象上各取一點的距離的平方，
設(shè)為與的交點，
，即.
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.
故得的最小值為.
故答案為：.
變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_____.
【答案】[，]
【解析】∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0?1≤x≤3.
令x﹣2=csθ 且θ∈[0，π]
∴
=，表示兩點（﹣3，﹣3）和（csθ，sinθ）的斜率，，故點在單位圓的上半部分.
如圖，斜率最小為，斜率最大值為直線與半圓相切時的斜率，，化簡得，由，解得，故切線的斜率為.所以斜率的取值范圍，也即函數(shù)的值域為.
故答案為：
變式52．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_______________.
【答案】
【解析】
，
其中，則，
又，因此，值域為.
故答案為：
方向4．基本不等式法
變式53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是______.
【答案】
【解析】因為，
因為，所以，則有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以，
因為，所以，則函數(shù)的值域為，
故答案為：.
變式54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為___________．
【答案】
【解析】函數(shù)的定義域為，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，
所以函數(shù)的值域為，
故答案為：．
變式55．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______
【答案】
【解析】，
令，
因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以，即值域為：.
故答案為：
變式56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值域為___________．
【答案】．
【解析】，
即；
，；
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最小值2；
又最大值應(yīng)在兩個區(qū)間端點的某一處取到，
；；．
所以．所以值域為．
故答案為:
方向5．換元法（代數(shù)換元與三角換元）
變式57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是______．
【答案】
【解析】令，則，令，
則，所以，
所以，所以，
所以函數(shù)的值域是.
故答案為：
變式58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的，則其值域為_____________.
【答案】
【解析】設(shè)，
即，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以.
故答案為：
變式59．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域為_________.
【答案】
【解析】令，則，
容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，
，所以該函數(shù)在時取到最大值，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
所以函數(shù)值域為.
故答案為：
變式60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為____________
【答案】
【解析】設(shè),則,
所以原函數(shù)可化為:,
由二次函數(shù)性質(zhì),當(dāng)時,函數(shù)取最大值,由性質(zhì)可知函數(shù)無最小值.
所以值域為:.
故答案為:.
變式61．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______．
【答案】/
【解析】令，則，所以．又，所以，即函數(shù)的值域是．
故答案為：.
變式62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．
【答案】
【解析】由可得，即函數(shù)的定義域為
所以設(shè)，，
則
，
因為，所以，所以，
所以，
所以函數(shù)的值域為，
故答案為：.
方向6．分離常數(shù)法
變式63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為______．
【答案】
【解析】由，
又，則，則，所以，
故函數(shù)的值域為．
故答案為：．
變式64．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y的值域是（）
A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞）D．（﹣∞，）∪（，+∞）
【答案】D
【解析】，
∴y，
∴該函數(shù)的值域為．
故選：D．
變式65．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．
【答案】
【解析】由，可得且，函數(shù)的定義域為且，
，
所以且，
所以函數(shù)的值域為．
故答案為：．
變式66．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為__________
【答案】
【解析】，
，，，
即的值域為.
故答案為：.
方向7．判別式法
變式67．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則有，
當(dāng)時，代入原式，解得．
當(dāng)時，，
由，解得，于是的最大值為，最小值為，
所以函數(shù)的最大值與最小值的和為．
故選：B.
變式68．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是___________.
【答案】
【解析】，
因為
所以函數(shù)的定義域為
令，整理得方程：
當(dāng)時，方程無解；
當(dāng)時，
不等式整理得：
解得：
所以函數(shù)的值域為.
故答案為：
變式69．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域______________．
【答案】
【解析】由解析式知：函數(shù)的定義域為，且，
∴整理可得：，即該方程在上有解，
∴當(dāng)時，，顯然成立；
當(dāng)時，有，整理得，即，
∴綜上，有函數(shù)值域為.
故答案為：.
變式70．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為_________.
【答案】
【解析】將函數(shù)變形為關(guān)于的方程，分析二次項的系數(shù)并結(jié)合與的關(guān)系求解出的取值范圍，從而值域可求.因為，所以，所以，
當(dāng)，即時，此時；
當(dāng)，即時，此時，所以，
綜上可知：，所以的值域為，
故答案為：.
方向8．單調(diào)性法
變式71．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
即函數(shù)的定義域為，
又函數(shù)在上遞減，
所以函數(shù)在上遞減，
所以函數(shù)的最大值為，最小值為，
即函數(shù)的值域為，
故選：C.
變式72．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為______.
【答案】/
【解析】因為，
令，則，
令，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
即，則，
即函數(shù)的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故答案為：
變式73．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：令，解得：，
即函數(shù)在為增函數(shù)，
所以，
即函數(shù)的值域為，
故選：D.
方向9．有界性法
變式74．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是_________
【答案】
【解析】化簡函數(shù)的解析式為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.由題意，函數(shù)，
因為，所以，則，可得，
故函數(shù)的值域是.
變式75．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故選：C．
變式76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）實數(shù)，滿足，則的最大值為___________．
【答案】
【解析】令，，則，，所以
其中
所以當(dāng)時，
故答案為：
變式77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是________________.
【答案】
【解析】由題意，
因為，
所以，
所以，
所以函數(shù)的值域為，
故答案為：.
方向10．導(dǎo)數(shù)法
變式78．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是_______.
【答案】
【解析】由題意，，，在上，
故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，
故的值是.
故答案為：
變式79．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，定義域為，則該函數(shù)的最小值為__________．
【答案】1
【解析】因為，，所以，令，得
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增
所以.
故答案為：.
變式80．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上的最小值是________.
【答案】
【解析】由，令得，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的最小值是.
故答案為：.
變式81．（2023·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）函數(shù)，的值域是______.
【答案】
【解析】由題意
在中，
，
∴函數(shù)在單調(diào)遞增
∵，
∴函數(shù)，的值域是
故答案為：.
命題方向八：分段函數(shù)的應(yīng)用
方向1．求值問題
例22．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，則______.
【答案】
【解析】，
．
故答案為：．
例23．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則______．
【答案】2
【解析】由題，因為，
所以，
故答案為：2.
例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則___________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，，
所以，
當(dāng)時，，
所以.
故答案為：.
變式82．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．
【答案】
【解析】分析：先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果.
由得函數(shù)的周期為4，所以因此
方向2．求參數(shù)問題
變式83．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則使的可以是（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】①當(dāng)時，由，可得，
若時，則，此時無解，
若時，由，解得；
②當(dāng)時，由，可得或.
若時，則，由可得，方程無解，
若時，由可得或，由可得或.
綜上所述，滿足的的取值集合為.
故選：BCD.
變式84．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的值可能為（）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，
當(dāng)時，，
其中當(dāng)時，，此時，解可得，符合題意；
當(dāng)時，，此時，解可得或，符合題意；
當(dāng)時，必有，
此時，變形可得或，
若，解可得，
若，無解；
綜合可得：或或或，分析可得選項可得：ACD符合；
故選：ACD．
變式85．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若，則實數(shù)（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，，不符合題意；
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，不符合題意；
當(dāng)時，，不符合題意．
故選:B．
變式86．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則方程的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時，，解得或（舍去），當(dāng)x

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