主干梳理 對點激活
一 堵點疏通1．簡諧運動是勻變速運動。(　　)2．振幅等于振子運動軌跡的長度。(　　)3．簡諧運動的回復(fù)力肯定不是恒力。(　　)4．彈簧振子每次經(jīng)過平衡位置時，位移為零、動能為零。(　　)5．單擺無論擺角多大都做簡諧運動。(　　)6．物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關(guān)。(　　)7．簡諧運動的圖像描述的是振動質(zhì)點的軌跡。(　　)
解析　振子的加速度大小與回復(fù)力大小成正比，方向與位移方向相反，具有正向的最大加速度，就應(yīng)該具有最大的負(fù)方向的位移。振子從平衡位置開始計時，并向負(fù)方向移動時，經(jīng)四分之一周期振子具有沿x軸正方向的最大加速度，A正確，B、C、D錯誤。
二 對點激活1．一個彈簧振子沿x軸做簡諧運動，取平衡位置O為x軸坐標(biāo)原點。從某時刻開始計時，經(jīng)過四分之一周期，振子具有沿x軸正方向的最大加速度。能正確反映振子位移x與時間t關(guān)系的圖像是(　　)
2.(人教版選擇性必修第一冊·P47·T3改編)(多選)如圖是兩個單擺的振動圖像，以下說法正確的是(　　)A．甲、乙兩個擺的振幅之比為2∶1B．甲、乙兩個擺的頻率之比為1∶2C．甲、乙兩個擺的擺長之比為1∶2D．以向右的方向作為擺球偏離平衡位置的位移的正方向，從t＝0起，乙第一次到達右方最大位移時，甲振動到了平衡位置，且向左運動
3.(人教版選擇性必修第一冊·P54·T4改編)一個單擺在地面上做受迫振動，其共振曲線(振幅A與驅(qū)動力頻率f的關(guān)系)如圖所示，則(　　)A．此單擺的固有周期約為0.5 sB．此單擺的擺長約為1 mC．若擺長增大，單擺的固有頻率增大D．若擺長增大，共振曲線的峰將向右移動
答案　(1)在0～1 s,2～3 s內(nèi)位移方向跟它的瞬時速度方向相同　在1～2 s,3～4 s內(nèi)位移方向跟它的瞬時速度方向相反 (2)0 (3)20 cm
解析　(1)位移—時間圖線的某點的切線的斜率即是某時刻的速度，可知，質(zhì)點相對平衡位置的位移的方向在0～1 s和2～3 s內(nèi)跟它的瞬時速度的方向相同，在1～2 s 和3～4 s內(nèi)跟瞬時速度的方向相反。(2)質(zhì)點在第2 s末的位移是0。(3)質(zhì)點在前2 s內(nèi)走過的路程是s＝2×10 cm＝20 cm。
考點細(xì)研 悟法培優(yōu)
1.動力學(xué)特征F＝－kx，“－”表示回復(fù)力的方向與位移方向相反，k是比例系數(shù)，不一定是彈簧的勁度系數(shù)。2．運動學(xué)特征做簡諧運動的物體加速度與物體偏離平衡位置的位移大小成正比而方向相反，為變加速運動，遠(yuǎn)離平衡位置時，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均減小，靠近平衡位置時則相反。3．周期性特征相隔nT(n為正整數(shù))的兩個時刻，物體處于同一位置且振動狀態(tài)相同。
(2)空間對稱性：如圖乙所示，振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP＝OP′)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等。此外，振子由P到O所用時間等于由O到P′所用時間，即tPO＝tOP′。振子往復(fù)過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等，即tOP＝tPO。5．能量特征簡諧運動的能量包括動能Ek和勢能Ep，簡諧運動過程中，系統(tǒng)動能與勢能相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的機械能守恒。
例1　(多選)彈簧振子做簡諧運動，O為平衡位置，當(dāng)它經(jīng)過點O時開始計時，經(jīng)過0.3 s，第一次到達點M，再經(jīng)過0.2 s第二次到達點M，則彈簧振子的周期不可能為(　　)A．0.53 s B.1.4 s C.1.6 s D.2 sE．3 s
提示：兩種。(2)簡諧運動中振子往復(fù)運動過程中通過同一段路程，用時相等嗎？提示：相等。
分析簡諧運動的技巧(1)分析簡諧運動中各物理量的變化情況時，要以位移為橋梁，位移增大時，振動質(zhì)點的回復(fù)力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減??；反之，則產(chǎn)生相反的變化。另外，各矢量均在其值為零時改變方向。(2)分析過程中要特別注意簡諧運動的周期性和對稱性。(3)若沒有給出開始時刻質(zhì)點的振動方向，還須分情況討論，以防丟解，如例1。
[變式1－1]　(多選)下列關(guān)于簡諧運動的說法正確的是(　　)A．速度和加速度第一次同時恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動B．一個全振動指的是動能或勢能第一次恢復(fù)為原來的大小所經(jīng)歷的過程C．位移減小時，加速度減小，速度增大D．物體運動方向指向平衡位置時，速度的方向與位移的方向相反；背離平衡位置時，速度方向與位移方向相同
解析　通過畫運動示意圖可知，速度和加速度第一次同時恢復(fù)為原來的大小和方向所經(jīng)歷的過程為一次全振動，A正確；一次全振動，動能和勢能均會有兩次恢復(fù)為原來的大小，B錯誤；當(dāng)位移減小時，回復(fù)力減小，則加速度減小，物體正在返回平衡位置，故速度增大，C正確；回復(fù)力與位移方向相反，故加速度與位移方向相反，但速度的方向可以與位移的方向相同，也可以相反，物體運動方向指向平衡位置時，速度的方向與位移的方向相反，背離平衡位置時，速度方向與位移方向相同，D正確。
1.圖像特征(1)簡諧運動的圖像是一條正弦或余弦曲線，是正弦曲線還是余弦曲線取決于質(zhì)點初始時刻的位置。
(2)圖像反映的是位移隨時間的變化規(guī)律，隨時間的增加而延伸，圖像不代表質(zhì)點運動的軌跡。(3)任一時刻在圖線上對應(yīng)點的切線的斜率絕對值表示該時刻振子的速度大小，斜率正負(fù)表示速度的方向，斜率為正時，表示振子的速度沿x軸正方向；斜率為負(fù)時，表示振子的速度沿x軸負(fù)方向。
2．圖像信息(1)由圖像可以看出質(zhì)點振動的振幅、周期。(2)可以確定某時刻質(zhì)點離開平衡位置的位移。(3)可以確定某時刻質(zhì)點所受的回復(fù)力、加速度和速度的方向。①回復(fù)力和加速度的方向：因回復(fù)力總是指向平衡位置，故回復(fù)力和加速度的方向在圖像上總是指向t軸。②速度的方向：某時刻速度的方向既可以通過該時刻在圖像上對應(yīng)點的切線的斜率來判斷，還可以通過下一時刻位移的變化來判斷，若下一時刻位移增加，速度方向就是遠(yuǎn)離t軸；若下一時刻位移減小，速度方向就是指向t軸。(4)可以確定某段時間質(zhì)點的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能、勢能等的變化情況。
例2　(多選)彈簧振子在光滑水平面上做簡諧運動，把小鋼球從平衡位置向左拉一段距離，放手讓其運動。從小鋼球通過平衡位置開始計時，其振動圖像如圖所示。下列說法正確的是(　　)A．t＝0.5 s時鋼球的加速度為正向最大B．在t0時刻彈簧的形變量為4 cmC．鋼球振動半個周期，回復(fù)力做功為零D．鋼球振動方程為y＝5sinπt cm
提示：相反。(2)每經(jīng)過半個周期，鋼球的速度大小改變嗎？提示：不變。
對振動圖像的理解(1)可確定振動質(zhì)點在任一時刻的位移。如圖所示，t1、t2時刻質(zhì)點偏離平衡位置的位移分別為x1＝7 cm，x2＝－5 cm。
[變式2]　(2020·陜西省榆林市線上模擬)如圖所示為某彈簧振子在0～5 s內(nèi)的振動圖像，由圖可知，下列說法中正確的是(　　)A．振動周期為5 s，振幅為8 cmB．第2 s末振子的速度為零，加速度為正向的最大值C．從第1 s末到第2 s末振子的位移增加，振子在做加速度減小的減速運動D．第3 s末振子的加速度為正向的最大值
自由振動、受迫振動和共振的比較
例3　如圖所示，一豎直圓盤轉(zhuǎn)動時，固定在圓盤上的小圓柱帶動一T形支架在豎直方向振動，T形支架的下面系著一彈簧和小球組成的振動系統(tǒng)，小球浸沒在水中。當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動一會兒靜止后，小球做___________ (填“阻尼”“自由”或“受迫”)振動。若彈簧和小球構(gòu)成的系統(tǒng)振動頻率約為3 Hz，現(xiàn)使圓盤以4 s的周期勻速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過一段時間后，小球振動達到穩(wěn)定，小球的振動頻率為__________ Hz。逐漸改變圓盤的轉(zhuǎn)動周期，當(dāng)小 球振動的振幅達到最大時，此時圓盤的周期為__________ s。
提示：阻尼(2)當(dāng)小球振動的振幅達到最大時，圓盤的周期______________系統(tǒng)的固有周期。提示：等于
對共振的理解(1)共振曲線：如圖所示，橫坐標(biāo)為驅(qū)動力頻率f，縱坐標(biāo)為振幅A。它直觀地反映了驅(qū)動力頻率對某固有頻率為f0的振動系統(tǒng)受迫振動振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大；當(dāng)f＝f0時，振幅A最大。(2)受迫振動中系統(tǒng)能量的轉(zhuǎn)化：驅(qū)動力對系統(tǒng)做功，補償系統(tǒng)的能量損耗，將其他形式的能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。
2．等效擺長及等效重力加速度(1)l′——等效擺長：擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離。如圖甲所示的雙線擺的擺長l′＝r＋Lcsα。乙圖中小球(可看作質(zhì)點)在半徑為R的光滑圓槽中A點的附近振動，其等效擺長為l′＝R。
(2)在擺長不變的情況下，單擺的振幅A與擺球距離最低點的最大高度h有什么關(guān)系？提示：h越大，A越大；h越小，A越小。
(1)單擺和彈簧振子不同，單擺在平衡位置時，擺球所受回復(fù)力為零，但所受合力不為零。(2)單擺的周期只由擺長和重力加速度決定。(3)單擺的振幅可用角度或長度表示，振幅若用長度表示，指的是擺球偏離平衡位置的最大弧長(近似等于擺球偏離平衡位置的水平位移的最大值)。
[變式4]　 如圖所示，有一個擺長為l的單擺，現(xiàn)將擺球A拉離平衡位置一個很小的角度，然后由靜止釋放，A擺至平衡位置P時，恰與靜止在P處的B球發(fā)生正碰，碰后A繼續(xù)向右擺動，B球以速度v沿光滑水平面向右運動，與右側(cè)的墻壁碰撞后以原速率返回，當(dāng)B球重新回到位置P時恰與A再次相遇，求位置P與墻壁間的距離d。
高考模擬 隨堂集訓(xùn)
2．(2019·江蘇高考)(多選)一單擺做簡諧運動，在偏角增大的過程中，擺球的(　　)A．位移增大 B.速度增大C．回復(fù)力增大 D.機械能增大解析　在單擺的偏角增大的過程中，擺球遠(yuǎn)離平衡位置，故位移增大，速度減小，回復(fù)力增大，機械能保持不變，A、C正確，B、D錯誤。
4．(2017·北京高考)某彈簧振子沿x軸的簡諧運動圖象如圖所示，下列描述正確的是(　　)A．t＝1 s時，振子的速度為零，加速度為負(fù)的最大值B．t＝2 s時，振子的速度為負(fù)，加速度為正的最大值C．t＝3 s時，振子的速度為負(fù)的最大值，加速度為零D．t＝4 s時，振子的速度為正，加速度為負(fù)的最大值
解析　t＝1 s時，振子處于正的最大位移處，振子的速度為零，加速度為負(fù)的最大值，A正確；t＝2 s時，振子在平衡位置且向x軸負(fù)方向運動，則振子的速度為負(fù)，加速度為零，B錯誤；t＝3 s時，振子處于負(fù)的最大位移處，振子的速度為零，加速度為正的最大值，C錯誤；t＝4 s時，振子在平衡位置且向x軸正方向運動，則振子的速度為正，加速度為零，D錯誤。
5．(2021·浙江1月選考)(多選)為了提高松樹上松果的采摘率和工作效率，工程技術(shù)人員利用松果的慣性發(fā)明了用打擊桿、振動器使松果落下的兩種裝置，如圖甲、乙所示。則(　　)A．針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率可能不同B．隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度一定增大C．打擊桿對不同粗細(xì)樹干打擊結(jié)束后，樹干的振動頻率相同D．穩(wěn)定后，不同粗細(xì)樹干的振動頻率始終與振動器的振動頻率相同
解析　根據(jù)共振的條件，當(dāng)振動器的頻率等于樹木的固有頻率時產(chǎn)生共振，此時落果效果最好，而不同的樹木的固有頻率可能不同，則針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率可能不同，A正確；當(dāng)振動器的振動頻率等于樹木的固有頻率時產(chǎn)生共振，此時樹干的振幅最大，則隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度不一定增大，B錯誤；不同粗細(xì)樹干的固有振動頻率不同，則打擊桿對不同粗細(xì)的樹干打擊結(jié)束后，樹干自由振動的振動頻率不同，C錯誤；樹干在振動器的周期性驅(qū)動力下做受迫振動，則穩(wěn)定后，不同粗細(xì)樹干的振動頻率始終與振動器的振動頻率相同，D正確。
6．(2020·全國卷Ⅱ)用一個擺長為80.0 cm的單擺做實驗，要求擺動的最大角度小于5°，則開始時將擺球拉離平衡位置的距離應(yīng)不超過________________ cm(保留1位小數(shù))。(提示：單擺被拉開小角度的情況下，所求的距離約等于擺球沿圓弧移動的路程。)某同學(xué)想設(shè)計一個新單擺，要求新單擺擺動10個周期的時間與原單擺擺動11個周期的時間相等。新單擺的擺長應(yīng)該取為_______________ cm。
一、選擇題(本題共10小題，每小題6分，共60分。其中1～6題為單選，7～10題為多選)1．一彈簧振子做簡諧運動，下列說法正確的是(　　)A．若位移為負(fù)值，則速度一定為正值，加速度也一定為正值B．振子通過平衡位置時，速度為零，加速度最大C．振子每次通過平衡位置時，加速度相同，速度也相同D．振子每次通過同一位置時，其速度不一定相同，但加速度一定相同
解析　彈簧振子做簡諧運動時，加速度方向與位移方向總是相反，若位移為負(fù)值，加速度一定為正值，而速度可能為正值，也可能為負(fù)值，故A錯誤。振子每次通過平衡位置時，加速度為零，由于速度有兩種方向，所以速度大小相同，方向可能不同，故B、C錯誤。振子每次通過同一位置時，位移相同，回復(fù)力相同，加速度一定相同，速度大小相同，方向可能不同，故D正確。
2．(2020·北京市東城區(qū)一模)如圖甲所示，彈簧的一端固定在豎直墻壁上，另一端與一個帶孔小球連接，小球穿在水平固定的光滑桿上。O點為小球的平衡位置，并以其為坐標(biāo)原點建立x軸。小球可在a、b兩點之間做簡諧運動。圖乙為小球的振動圖像。下列說法正確的是(　　)A．t1時刻小球運動到b點B．t2時刻小球的速度為零C．從t1到t2時間內(nèi)小球的回復(fù)力變大D．從t3到t4時間內(nèi)小球的加速度變小
解析　由圖乙可知，t1時刻小球運動到x軸負(fù)向最大位移處即a點，故A錯誤；由圖乙可知，t2時刻小球在平衡位置，則速度最大，故B錯誤；由圖乙可知，從t1到t2時間內(nèi)小球從a→O，則小球的回復(fù)力變小，故C錯誤；由圖乙可知，從t3到t4時間內(nèi)小球從b→O，則小球距離平衡位置的位移變小，由－kx＝ma，可知小球的加速度變小，故D正確。
3．(2020·山東省濰坊市期末)某質(zhì)點做簡諧運動的振幅為A，周期為T，則質(zhì)點在時間內(nèi)的最大路程是(　　)A．1.5A B.A
6.(2020·山東省青島市西海岸新區(qū)4月模擬)兩單擺在不同的驅(qū)動力作用下其振幅A隨驅(qū)動力頻率f變化的圖像如圖中甲、乙所示，則下列說法正確的是(　　)A．單擺振動時的頻率與固有頻率有關(guān)，振幅與固有頻率無關(guān)B．若兩單擺放在同一地點，則甲、乙兩單擺的擺長之比為4∶1C．若兩單擺擺長相同放在不同的地點，則甲、乙兩單擺所處兩地的重力加速度之比為4∶1D．周期為2 s的單擺叫作秒擺，在地面附近，秒擺的擺長約為2 m
7．(2020·江蘇省常州市期末)關(guān)于某物體受迫振動的共振曲線，下列判斷正確的是(　　)A．物體的固有頻率等于f0B．物體做受迫振動時的頻率等于f0C．物體做受迫振動時振幅相同，則頻率必相同D．為避免共振發(fā)生，應(yīng)該讓驅(qū)動力的頻率遠(yuǎn)離f0
解析　當(dāng)驅(qū)動力的頻率等于物體的固有頻率時，受迫振動的振幅最大，由圖可知，物體的固有頻率等于f0，A正確；物體做受迫振動時，只有當(dāng)發(fā)生共振時頻率才是f0，即物體做受迫振動的頻率不一定等于f0，B錯誤；由題圖可知，物體做受迫振動時振幅相同，頻率不一定相同，C錯誤；根據(jù)產(chǎn)生共振的條件可知，為避免共振發(fā)生，應(yīng)該讓驅(qū)動力的頻率遠(yuǎn)離f0，D正確。
8.如圖所示為同一地點的兩個單擺甲、乙的振動圖像，下列說法正確的是(　　)A．甲、乙兩單擺的擺長相等B．甲擺的振幅比乙擺的大C．甲擺的機械能比乙擺的大D．在t＝0.5 s時有正向最大加速度的是乙擺
二、非選擇題(本題共3小題，共40分)11．(2021·北京市朝陽區(qū)高三(上)期末節(jié)選)(12分)如圖1所示，絕緣細(xì)線的一端系一帶正電小球，另一端固定在O點，整個裝置處于光滑絕緣水平面上，空間存在一水平向右的勻強電場，電場強度大小為E，小球靜止時處于A點，圖2為俯視圖。已知細(xì)線長度為L，小球質(zhì)量為m，帶電荷量大小為q，重力加速度為g，不計空氣阻力，細(xì)線的長度不變。
保持細(xì)線伸直，將小球在水平面上拉離A點一個很小的距離，由靜止釋放，小球?qū)⒆龊喼C運動，類比單擺的周期公式求出小球做簡諧運動的周期。
答案　(1)0.07 m　(2)3.5 kg
解析　(1)由題意可知，彈簧被壓縮到彈力等于物體C重力的位置即為物體C沿豎直方向做簡諧運動的平衡位置。設(shè)物體D放在物體C上之前，物體C靜止在彈簧上端時彈簧的壓縮量為x1，則有mCg＝kx1代入數(shù)據(jù)解得x1＝0.03 m設(shè)去掉物體D后，物體C運動到最高點時彈簧的伸長量為x3，則有mBg＝kx3代入數(shù)據(jù)解得x3＝0.04 m設(shè)物體C在豎直方向做簡諧運動的振幅為A，由簡諧運動規(guī)律知A＝x1＋x3＝0.03 m＋0.04 m＝0.07 m。
(2)設(shè)物體D放在物體C上靜止時，彈簧的壓縮量為x2，則有(mC＋mD)g＝kx2分析物體C做簡諧運動的過程可知，x2－x3＝A＝0.07 m則代入數(shù)據(jù)可得mD＝3.5 kg。
13．(16分)地心隧道是根據(jù)凡爾納的《地心游記》所設(shè)想出的一條假想隧道，它是一條穿過地心的筆直隧道，如圖所示。假設(shè)地球的半徑為R，質(zhì)量分布均勻，地球表面的重力加速度為g。已知均勻球殼對殼內(nèi)物體引力為零。
答案　(1)證明見解析　(2)41.9 min
(1)不計阻力，若將物體從隧道口靜止釋放，試證明物體在地心隧道中的運動為簡諧運動；

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