第2講　磁場對運(yùn)動(dòng)電荷的作用
主干梳理 對點(diǎn)激活
二 對點(diǎn)激活1．(人教版選擇性必修第二冊·P10·T2改編)下列各圖中，運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是(　　)
解析　由左手定則知A中力F的方向應(yīng)豎直向上，B中力F的方向應(yīng)豎直向下，C、D中速度v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行，不受洛倫茲力，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
解析　由左手定則結(jié)合帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的方向知，A、B束離子均帶正電，故A錯(cuò)誤。A、B束離子的速度相同，而A束離子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑較小，由r＝知A束離子的比荷大于B束離子的比荷，而它們的電荷量關(guān)系未知，則無法判斷離子質(zhì)量關(guān)系，故B錯(cuò)誤，C正確。速度選擇器中A、B束離子所受靜電力向右，所以所受洛倫茲力應(yīng)向左，結(jié)合左手定則可判斷磁場方向應(yīng)垂直于紙面向里，故D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)細(xì)研 悟法培優(yōu)
1.洛倫茲力的特點(diǎn)(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向和磁場方向共同確定的平面，所以洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永不做功。(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。(3)用左手定則判斷負(fù)電荷在磁場中運(yùn)動(dòng)所受的洛倫茲力的方向時(shí)，要注意使四指指向電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。
2．洛倫茲力與靜電力的比較
例1　如圖所示，在豎直平面內(nèi)放一個(gè)光滑絕緣的半圓形軌道，水平方向的勻強(qiáng)磁場與半圓形軌道所在的平面垂直。一個(gè)帶負(fù)電荷的小滑塊由靜止開始從半圓形軌道的最高點(diǎn)M滑下到最右端的過程中，下列說法中正確的是(　　)A．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度比磁場不存在時(shí)大B．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度比磁場不存在時(shí)小C．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力比磁場不存在時(shí)小D．滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所用時(shí)間與磁場不存在時(shí)相等
提示：因?yàn)槁鍌惼澚Σ蛔龉Γ杂袩o磁場對滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小無影響。(2)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)滑塊所受洛倫茲力方向如何？提示：豎直向下。
嘗試解答　選D。由于洛倫茲力不做功，故與磁場不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度不變，A錯(cuò)誤；滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度a＝，則與磁場不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度不變，B錯(cuò)誤；由左手定則可知，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)受到的洛倫茲力向下，而與磁場不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)所受的向心力不變，故對軌道的壓力變大，C錯(cuò)誤；由于洛倫茲力方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，在任意一點(diǎn)，滑塊經(jīng)過時(shí)的速度與磁場不存在時(shí)相比均不變，則滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所用時(shí)間磁場不存在時(shí)相等，D正確。
洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場力。(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對運(yùn)動(dòng)電荷不做功。
1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的解題思路(1)圓心的確定①基本思路：與速度方向垂直的直線和軌跡圓中弦的中垂線一定過圓心。②兩種常見情形情形一：已知入射方向和出射方向時(shí)，可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖a所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn))。
情形二：已知入射方向和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以先通過入射點(diǎn)作入射方向的垂線，再連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖b所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn))。
(2)半徑的確定和計(jì)算利用幾何知識(shí)求出該圓的可能半徑(或圓心角)，并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：①粒子速度的偏向角φ等于圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。②相對的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，即θ＋θ′＝180°。
2．帶電粒子在不同邊界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有界勻強(qiáng)磁場是指只在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場，帶電粒子從磁場區(qū)域外垂直磁場方向射入磁場，在磁場區(qū)域內(nèi)做一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也就是通過一段圓弧軌跡，然后離開磁場區(qū)域。帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓弧軌跡取決于粒子進(jìn)入磁場的速度大小、方向和磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度及磁場的區(qū)域邊界。常見磁場區(qū)域邊界可分為如下幾種情形：
情形一：直線邊界直線邊界磁場又分單邊直線邊界和雙邊平行直線邊界。單邊直線邊界如圖甲、乙、丙所示，粒子進(jìn)出磁場具有對稱性；雙邊平行直線邊界如圖丁、戊所示，粒子進(jìn)出磁場存在臨界條件。
解決這類問題的“三部曲”：畫軌跡、找圓心、定半徑。如果粒子從同一直線邊界射入和射出，那么粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度與邊界的夾角和射出磁場時(shí)速度與邊界的夾角相等。
情形二：矩形邊界矩形邊界磁場是指分布在矩形范圍內(nèi)的有界磁場，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧。垂直于某邊射入，從某一頂點(diǎn)射出是常見的臨界情況。解決該類問題的關(guān)鍵是把握臨界情況，如圖所示。常見的有如下幾種情況：(設(shè)粒子從ad邊中點(diǎn)e垂直射入)
情形三：圓形邊界圓形邊界磁場是指分布在圓形區(qū)域內(nèi)的有界磁場，帶電粒子在圓形邊界的勻強(qiáng)磁場中的軌跡也是一段不完整的圓弧。由于此類問題涉及兩個(gè)圓：粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓與磁場區(qū)域的圓，能很好地考查學(xué)生的綜合分析能力，所以是近年來高考的熱點(diǎn)。帶電粒子在圓形邊界磁場中運(yùn)動(dòng)的四個(gè)結(jié)論：(1)徑向進(jìn)出：當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向垂直時(shí)，沿圓形磁場半徑方向射入的帶電粒子，必沿徑向射出圓形磁場區(qū)域，即粒子出射速度的反向延長線必過磁場圓的圓心，如圖1所示。(2)等角進(jìn)出：入射速度方向與過入射點(diǎn)的磁場圓半徑的夾角等于出射速度方向與過出射點(diǎn)的磁場圓半徑的夾角，如圖2所示。徑向進(jìn)出是等角進(jìn)出的一種特殊情況(θ＝0°)。
(3)點(diǎn)入平出：若帶電粒子從圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域圓周上一點(diǎn)沿垂直于磁場方向進(jìn)入磁場，當(dāng)帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場區(qū)域的半徑相同時(shí)，所有帶電粒子都以平行于磁場區(qū)域圓周上入射點(diǎn)處的切線方向射出磁場，如圖3所示。
(4)平入點(diǎn)出：若帶電粒子以相互平行的速度射入磁場，且?guī)щ娏Ｗ釉诖艌鲋凶鰣A周運(yùn)動(dòng)的半徑和圓形磁場區(qū)域半徑相同，則這些帶電粒子將會(huì)從磁場區(qū)域圓周上同一點(diǎn)射出，且磁場區(qū)域圓周上該點(diǎn)的切線與帶電粒子射入磁場時(shí)的速度方向平行，如圖4所示。
情形四：四分之一平面邊界四分之一平面邊界磁場是指分布在平面直角坐標(biāo)系中某一象限范圍的有界磁場，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧，粒子軌跡與坐標(biāo)軸相切或垂直是常見的臨界情況。解決該類問題的關(guān)鍵是明確粒子射入(射出)磁場的位置坐標(biāo)，及速度方向與坐標(biāo)軸的夾角關(guān)系，然后分析粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、圓心，尋找?guī)缀侮P(guān)系求解問題。
情形五：三角形邊界三角形邊界磁場是指分布在三角形區(qū)域內(nèi)的有界磁場，粒子的軌跡也是一段圓弧，由于三角形有等邊三角形、等腰三角形、直角三角形等不同類型，所以會(huì)有不同的臨界情景。解答該類問題主要把握以下兩點(diǎn)：(1)射入磁場的方式①從某頂點(diǎn)射入。②從某條邊上某點(diǎn)(如中點(diǎn))垂直(或成某一角度)射入。(2)射出點(diǎn)的判斷其臨界條件是判斷軌跡可能與哪條邊相切，進(jìn)而判定出射點(diǎn)的可能位置。
提示：畫出兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子以與直線邊界多大角度射入，就以多大角度射出。(2)洛倫茲力屬于變力，如何求它的沖量？提示：依據(jù)動(dòng)量定理求。
帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不相等，B錯(cuò)誤；因洛倫茲力不改變速度的大小，結(jié)合幾何關(guān)系分析知，兩帶電粒子回到EOF豎直線時(shí)的速度相同，C正確；兩帶電粒子在磁場中僅受洛倫茲力作用，由動(dòng)量定理得I洛＝p－p0，由于兩帶電粒子以相同的初速度射入磁場，初動(dòng)量p0相等，離開磁場時(shí)速度大小相等、方向相同，末動(dòng)量p相等，因此兩帶電粒子所受洛倫茲力的沖量相同，D正確。本題選說法不正確的，故選B。
1.帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法
2．作帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)需注意的問題(1)四個(gè)點(diǎn)：分別是入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、軌跡圓心和入射速度直線與出射速度直線的交點(diǎn)。(2)六條線：圓弧兩端點(diǎn)所在的軌道半徑，入射速度所在直線和出射速度所在直線，入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的連線，圓心與兩條速度所在直線交點(diǎn)的連線。前面四條線構(gòu)成一個(gè)四邊形，后面兩條線為這個(gè)四邊形的對角線。(3)三個(gè)角：速度偏轉(zhuǎn)角、圓心角、弦切角，其中偏轉(zhuǎn)角等于圓心角，也等于弦切角的兩倍。
1.帶電粒子電性不確定形成多解受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。如圖甲，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如帶正電，其軌跡為a，如帶負(fù)電，其軌跡為b。
2．磁場方向不確定形成多解有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此時(shí)由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定形成多解。如圖乙，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如B垂直紙面向里，其軌跡為a，如B垂直紙面向外，其軌跡為b。3．速度不確定形成多解有些題目只指明了帶電粒子的電性，但未具體指出速度的大小或方向，此時(shí)必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。常有兩種情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。
如圖丙所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時(shí)，由于粒子速度大小不確定，因此，它可能穿過下邊界，也可能轉(zhuǎn)過180°反向飛出，于是形成了多解。4．運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解帶電粒子在電場和磁場的組合場空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，若運(yùn)動(dòng)具有周期性，則存在多解。如圖丁所示。
提示：不是，有多解。(2)如何確定軌道半徑？
求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)多解問題的技巧(1)分析題目特點(diǎn)，確定題目多解性形成的原因。(2)作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。(3)若為周期性的多解問題，尋找通項(xiàng)式；若是出現(xiàn)幾種周期性解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的條件。
[變式3－2]　如圖甲所示，M、N為豎直放置且彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′且正對，在兩板間有垂直于紙面方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示(垂直于紙面向里的磁場方向?yàn)檎较?。有一群正離子在t＝0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場，已知正離子質(zhì)量為m，電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計(jì)離子所受重力。求：
(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大小；(2)若正離子從O′孔垂直于N板射出磁場所用的時(shí)間最短，請畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡并求出該最短時(shí)間；(3)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時(shí)的速度v0的可能值。
啟智微專題建模提能4　巧用動(dòng)態(tài)圓解磁場中的臨界、極值問題
1．模型構(gòu)建此類模型較為復(fù)雜，常見的磁場邊界有單直線邊界、雙直線邊界、矩形邊界和圓形邊界等。因?yàn)槭怯薪绱艌?，則帶電粒子運(yùn)動(dòng)的完整圓周往往會(huì)被破壞，可能存在最大、最小面積，最長、最短時(shí)間等問題。2．模型條件(1)在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)磁場有一定范圍。
3．模型分類(一)動(dòng)態(tài)放縮法
【典題例證1】如圖所示，正方形區(qū)域abcd內(nèi)(含邊界)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，ab＝l，Oa＝0.4l，大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與ab邊成37°的方向以不同的初速度v0射入磁場，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8。(1)求帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間；(2)若帶電粒子從ad邊離開磁場，求v0的取值范圍。
帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：(1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁場某邊界垂直，如圖甲所示。①當(dāng)粒子速度較小時(shí)，粒子將在磁場中做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界射出磁場區(qū)域；②當(dāng)粒子速度在某一范圍內(nèi)時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從側(cè)面邊界飛出磁場；③當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從對面邊界飛出磁場。
(2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁場某邊界成一夾角，如圖乙所示。①當(dāng)粒子速度較小時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出磁場；②當(dāng)粒子速度在某一范圍內(nèi)時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從上側(cè)面邊界飛出磁場；③當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從右側(cè)面邊界飛出磁場；④當(dāng)粒子速度更大時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從下側(cè)面邊界飛出磁場。綜合以上分析可知，求解帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍、速度范圍等的問題時(shí)，尋找“相切或相交”的臨界點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵；另外可知在磁場邊界上還有粒子不能達(dá)到的區(qū)域即“盲區(qū)”。
(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。(2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長(或弦長)越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長。(3)當(dāng)速度v變化時(shí)，圓心角越大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長。
解析　如圖，從O點(diǎn)沿x軸負(fù)方向射入的粒子，軌跡為圓，和x軸相切于O點(diǎn)，在x軸上方，半徑為R；沿y軸正方向射入的粒子，軌跡為半圓，在y軸右側(cè)，和x軸交點(diǎn)距O點(diǎn)為2R；沿其余方向射入的帶電粒子，軌跡最遠(yuǎn)點(diǎn)均在以O(shè)為圓心、半徑為2R的圓周上；由以上分析結(jié)合定圓旋轉(zhuǎn)法，可知D正確。
高考模擬 隨堂集訓(xùn)
4．(2020·全國卷Ⅱ)如圖，在0≤x≤h，－∞

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