四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)試題
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁，第II卷3至4頁．共150分．考試時(shí)間120分鐘．
第I卷（選擇題共58分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。
1. 已知，，則（）
A. 或B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出，再利用并集含義即可得到答案.
【詳解】，
則.
故選：D.
2. 已知命題，，則命題的否定是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)特稱命題的否定，改變量詞，否定結(jié)論，可得出命題的否定.
【詳解】命題為特稱命題，其否定為，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定的改寫，要注意量詞和結(jié)論的變化，屬于基礎(chǔ)題.
3. 一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集求出、、的關(guān)系，代入不等式化簡求解即可．
【詳解】一元二次不等式的解集為，
所以，且2，5是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以，，
所以，，且；
所以不等式化為，
即，解得．
因此不等式的解集為．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
4. “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)分析可知若函數(shù)在上單調(diào)遞減，等價(jià)于，根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，
若函數(shù)在上單調(diào)遞減，等價(jià)于，
顯然是的真子集，
所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知，則的值等于
A. B. –C. D. –
【答案】B
【解析】
【分析】由誘導(dǎo)公式，得，再由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解．
【詳解】由題意，
∴，解得，故選．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．
6. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則的坐標(biāo)為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義、兩角和差的三角公式，求得的坐標(biāo)．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，向量與軸正方向的夾角為，
又由點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，
向量繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，則，．
而，
，
故的坐標(biāo)為，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：注意旋轉(zhuǎn)前與旋轉(zhuǎn)后角的變化，利用模不變，兩角差的正余弦公式求解即可，屬于中檔題.
7. 已知向量，，則（）
A. B. 向量在向量上投影向量是
C. D. 與向量共線的單位向量是
【答案】A
【解析】
【分析】求出，計(jì)算，即可判斷A；根據(jù)投影向量的定義判斷B；根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示判斷C；根據(jù)單位向量的定義判斷D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?br>所以，則，所以，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，?br>所以向量在向量上的投影向量是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，則與向量共線的單位向量或，故D錯(cuò)誤.
故選：A
8. 三棱錐中，是邊長為4的正三角形，，二面角的余弦值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)和的形狀利用余弦定理可求得平面，再由正弦定理可得的外接圓半徑，找出球心位置利用勾股定理可得三棱錐的外接球的半徑，可得結(jié)果.
【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：
又因?yàn)槭沁呴L為4的正三角形，，所以;
所以即為二面角的平面角，即，
由余弦定理可得，可得；
所以，可得，
又，平面，因此平面；
易知，
設(shè)的外接圓半徑為，則，可得；
設(shè)的外接圓圓心為，一定在上，且；
則三棱錐的外接球的球心一定在圓心的正上方，即平面；
因此與平行，
令三棱錐的外接球的半徑為，則，
解得；
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解幾何體外接球問題時(shí)，要首先根據(jù)幾何體的特征確定出球心位置，再利用線面垂直以及勾股定理等求出外接球半徑即可得出結(jié)論.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（）
A. B.
C. 的共軛復(fù)數(shù)為D. 的虛部為1
【答案】AD
【解析】
【分析】由除法運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算法則計(jì)算并判斷．
【詳解】解：由已知，
，，共軛復(fù)數(shù)為，的虛部為1．
其中真命題AD．BC為假命題．
故選：AD．
10. 如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三條邊長分別是a，b，c，∠ABC為鈍角，BD⊥AB，，c=2，則下列結(jié)論正確的有（）
A. B. BD=2
C. D. △CBD的面積為
【答案】AC
【解析】
【分析】
由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求的值，利用余弦定理求得的值，再計(jì)算，由同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系求出，，的值，再計(jì)算的面積從而得解．
【詳解】解：由，得：，
又角鈍角，
解得：，
由余弦定理，得：，
解得a=2，可知ΔABC為等腰三角形，即，
所以，
解得，故正確，
可得，
在中，，得，可得，故錯(cuò)誤，
，可得，可得，故正確，
所以的面積為，故錯(cuò)誤．
故選：AC．
【點(diǎn)睛】利用正弦、余弦定理解三角形，利用求三角形的面積．
11. 定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）
A.
B. 時(shí)，
C.
D. 函數(shù)有對(duì)稱軸
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)可判斷A；結(jié)合周期性由時(shí)的解析式即可得時(shí)的解析式，從而可判斷B；根據(jù)函數(shù)周期性與對(duì)稱性即可判斷C、D.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則，所以，故A正確；
又當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，，故B不正確；
由，可得函數(shù)的周期為6，
可得，
又函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，
所以，即，
所以，故C正確；
由A選項(xiàng)知，，又，
則，所以函數(shù)有對(duì)稱軸，故D正確.
故選：ACD.
第II卷（非選擇題共92分）
注意事項(xiàng)：
（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效．
（2）本部分共8個(gè)小題，共92分．
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分。
12. 已知函數(shù)是冪函數(shù)且圖象與軸無交點(diǎn)，則的值為__．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得到或，再判斷與軸是否有交點(diǎn)即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，
所以，解得或.
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以與軸無交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，，過，與軸有交點(diǎn)，舍去.
綜上：.
故答案為：2
13. 計(jì)算：________．
【答案】
【解析】
【分析】把轉(zhuǎn)化為，利用差角的正弦公式化簡即得解.
【詳解】原式
故答案為：
14. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則________．
【答案】﹔
【解析】
【分析】由圖象和周期公式可得，代入點(diǎn)可得，進(jìn)而可
得，結(jié)合題意可得，代入函數(shù)解析式計(jì)算即可.
【詳解】由題意知，函數(shù)中，
周期，所以，
又函數(shù)圖象過點(diǎn)，
即，得，
又，所以，
所以；
由，得圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)榍遥?br>所以，故.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15. 已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角關(guān)系以及正弦的二倍角公式即可求解，
（2）由二倍角公式以及和差角公式即可求值.
【小問1詳解】
∵，，∴，
∴，
∴.
【小問2詳解】
∵，∴，，
∴
，
所以，由于，所以
故.
16. 在△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
【答案】(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.
【解析】
【分析】(Ⅰ)由題意利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理可得∠A的大小；
(Ⅱ)由題意結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論和三角函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值.
詳解】(Ⅰ)，
,即.
，.
(Ⅱ)，
，∴當(dāng)即時(shí)，取得最大值1.
【點(diǎn)睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍．
17. 如圖，在四邊形中，，，，為等邊三角形，是的中點(diǎn).設(shè)，.
（1）用，表示，；
（2）求的余弦值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合圖形，由向量的加法法則及數(shù)乘向量運(yùn)算律求出結(jié)果即可；
（2）由圖形關(guān)系和向量的加法法則求出，再求出，然后由向量夾角的計(jì)算公式求出結(jié)果即可；
【小問1詳解】
，，，，．
，，
為的中點(diǎn)，．
【小問2詳解】
根據(jù)題意，，，，
，
，
，
．
18. 三棱柱中，底面，且各棱長均相等，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）證明：平面平面；
（3）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）連接，交于，連接，利用中位線定理及線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理及面面垂直的判定定理即可證明；
（3）過作交延長線于，連接，由題意可得為直線與平面所成角，設(shè)三棱柱的棱長為，利用銳角三角函數(shù)的正弦值即可求解.
小問1詳解】
連接，交于，連接，則是的中點(diǎn)，
，
又平面，平面，
平面．
【小問2詳解】
平面，平面，
，
是等邊三角形，是的中點(diǎn)，
，又平面，
平面，又平面，
平面平面．
【小問3詳解】
過作交延長線于，連接，
平面平面，平面平面，
，平面，
平面，
為直線與平面所成角，
設(shè)三棱柱的棱長為，則，
即，故而．
．
19. 已知且，函數(shù)．
（1）求的定義域及其零點(diǎn)；
（2）討論并證明函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）答案見解析（3）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)有意義的條件求函數(shù)定義域，通過解方程求零點(diǎn)；
（2）定義法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（3）問題等價(jià)于，分類討論求函數(shù)最大值，解不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【小問1詳解】
函數(shù)的意義，則，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令可得，解得，
故函數(shù)的零點(diǎn)為：；
【小問2詳解】
設(shè)，是內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且，
則，
，，，，
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增；
【小問3詳解】
若對(duì)任意，存在，使得成立，只需，
由（2）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，
當(dāng)時(shí)，，成立；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
由，可解得，；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，
由，可解得，；
綜上，滿足條件的的范圍是.

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