瀘縣五中2023年秋期高二開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【詳解】試題分析：,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算及其相關(guān)概念2. 若、是兩個(gè)不重合的平面，①若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則；②設(shè)、相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則；③若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則.以上說(shuō)法中成立的有（    ）個(gè).A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的判定定理，直線與平面平行的判定定理可依次判斷得解.【詳解】對(duì)①，面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于面內(nèi)兩條直線，可得這兩條相交直線均平行于面，由平面與平面平行的判定定理可知①正確；對(duì)②，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線可得平面與平面垂直，②錯(cuò)誤；對(duì)③，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知③正確.故選：C.3. 一組數(shù)據(jù)按從大到小的順序排列為8，7，，4，4，1，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則該組數(shù)據(jù)的平均值、方差和第60百分位數(shù)分別是（    ）A. 6，，5 B. 5，5，5 C. 5，，6 D. 4，5，6【答案】C【解析】【分析】利用中位數(shù)與眾數(shù)的定義得到關(guān)于的方程，從而得解.【詳解】依題意，將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列得，，，，，，則中位數(shù) ，眾數(shù)為，由題意知，解得，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的方差是，因?yàn)?/span>，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是；故選：C.4. 已知中，，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由余弦定理即可得到，從而得到其范圍.詳解】由題意，在三角形中，由余弦定理可得，，且，，所以.故選:C5. 已知點(diǎn)D為邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足，若，則（    ）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形即可得解.【詳解】依題意，作出圖形如下，因?yàn)辄c(diǎn)D為BC上的中點(diǎn)，，所以，則，故，則.故選：D.6. 若，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用倍角公式結(jié)合齊次式問題運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：A.7. 已知，，則值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由已知條件列方程組可求出和，再利用兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，解得，所以，故選：C8. 在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（    ）①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】①，故①錯(cuò)誤；②.故②正確；③，則，為等腰三角形，故③正確；④若，只能說(shuō)明中，角是銳角，不能說(shuō)明其它角的情況，所以不能判斷為銳角三角形，故④錯(cuò)誤.故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷C，D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以，所以，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，所以，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，所以或，D錯(cuò)誤；故選：AB.10. 聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音，若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則（     ）A. 函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為B. 函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸為直線C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位后的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)對(duì)稱中心對(duì)稱軸判斷A，B選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性判斷C選項(xiàng)，根據(jù)平移判斷D選項(xiàng).【詳解】，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，故的圖像不關(guān)于對(duì)稱，B錯(cuò)誤；，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到，D錯(cuò)誤.故選: AC.11. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 若有兩解B. 若有兩解C. 若為銳角三角形，則b的取值范圍是D. 若為鈍角三角形，則b的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，可判斷三角形有幾個(gè)解所要滿足的條件，即，有兩解，或，有一解，，有0解，根據(jù)直角三角形的情況，便可得出為銳角或鈍角三角形時(shí)，b的取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，∵，∴有兩解，故A正確；B選項(xiàng)，∵，∴有一解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，∵為銳角三角形，∴，即，故C正確；D選項(xiàng)，∵為鈍角三角形，∴或，即或，故D錯(cuò)誤.故選：AC12. 在正方體中，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是（    ）  A. B. 平面C.  三棱錐的體積是定值D. 直線與平面所成角隨長(zhǎng)度變化先變小再變大【答案】ABC【解析】【分析】本題利用立體幾何中線面垂直的判定、面面平行的判定對(duì)A,B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；由等體積法可判斷C；D選項(xiàng)需要結(jié)合線面角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想去解決.【詳解】解：對(duì)于A，連接，，，，   由正方體的性質(zhì)可得：，平面，平面，所以，，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以同理可得，，平面，平面平面，，故A正確；對(duì)于B，連接，易證：，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面，平面，平面，故B正確；對(duì)于C，設(shè)到平面的距離為，連接， ，因?yàn)?/span>平面，所以，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，又因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，也為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；  對(duì)于D，連接，平面，即為直線與平面所成角，，當(dāng)從移動(dòng)至的過(guò)程中，增大，先變小再變大，即先變大再變小，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 某校高二年級(jí)有1000名學(xué)生，其中文科生有300名，按文理生比例用分層抽樣的方法，從該年級(jí)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為50的樣本，則應(yīng)抽取的理科生人數(shù)為________.【答案】35【解析】【分析】直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【詳解】應(yīng)抽取的理科生人數(shù)為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.14. 某圓錐體積為1，用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個(gè)圓臺(tái)，若圓臺(tái)上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺(tái)體積為______【答案】##【解析】【分析】先利用比值與錐體的體積公式求得小圓錐的體積，再利用作差法即可得到圓臺(tái)的體積.【詳解】依題意，設(shè)小錐體的底面半徑為，小錐體的高為，則大錐體的底面半徑為，大錐體的高為為，因?yàn)榇髨A錐的體積即為，整理得，所以小圓錐的體積為，因此該圓臺(tái)體積為.故答案為：.15. 已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式可能為______________（寫出一個(gè)即可）．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義選擇函數(shù)的解析式即可.【詳解】取，則符合題意．故答案為：.16. 直四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的表面上，且， ，，側(cè)棱，則直四棱柱外接球的表面積是________________；【答案】【解析】【分析】連接， 由題意可得底面四邊形與有相同的外接圓，且，由余弦定理得，再由余弦定理求出及，由正弦定理可得圓的半徑，設(shè)直四棱柱的外接球的球心為，即為直四棱柱外接球的半徑，利用勾股定理可得，再由球的表面積公式計(jì)算可得答案.【詳解】連接， 因?yàn)橹彼睦庵酌?/span>有外接球，所以底面四邊形與有相同的外接圓，且，所以，由余弦定理可得，即，解得，所以，因?yàn)?/span> ，所以，由正弦定理可得，所以圓的半徑為，即，設(shè)直四棱柱的外接球的球心為，連接、，即為直四棱柱外接球的半徑，所以底面，，可得，直四棱柱外接球的表面積是.故答案為：.  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是在中利用勾股定理求出球的半徑，考查了學(xué)生的空間想象能力.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知向量，.（1）求；（2）求向量與向量的夾角的余弦值；（3）若，且，求向量與向量夾角.【答案】（1）；（2）；（3）..【解析】【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再求其模；（2）利用向量的夾角公式直接求解即可；（3）由，得化簡(jiǎn)結(jié)合已知條件可得答案【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，，所以.所以.（2）因?yàn)?/span>，，，所以.（3）因?yàn)?/span>，所以.即.所以.即，所以.因?yàn)?/span>，所以.18. 已知.（1）求的值域；（2）若，，求的值.【答案】（1）    （2）【解析】分析】（1）先根據(jù)兩角和差正弦余弦公式化簡(jiǎn)解析式，再應(yīng)用三角函數(shù)值域求解即得；（2）先用已知角表示未知角，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，再應(yīng)用兩角和差公式求解即可.【小問1詳解】，所以的值域?yàn)?/span>【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)?/span>，所以，所以.所以.19. 在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦公式、余弦定理化簡(jiǎn)已知式可得，進(jìn)而求出的值，結(jié)合，可求出.（2）由三角恒等變換的應(yīng)用可求，由題意可求出，由正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由，所以，可得：，即，由余弦定理可得：，又，所以.【小問2詳解】由，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，得，所以，所以，所以.的取值范圍為.20. 如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面為直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E為PD的中點(diǎn).  （1）證明：AE⊥平面PCD；（2）過(guò)A，B，E作四棱錐P﹣ABCD的截面，請(qǐng)寫出作法和理由，并求截面的面積.【答案】（1）證明見解析    （2）作法和理由見解析，【解析】【分析】（1）由結(jié)合線面垂直的判定證明即可；（2）作EF//CD，得出EF//AB，從而得出截面，再由梯形的面積公式得出截面面積.【小問1詳解】證明：因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA.又CD//AB，AD⊥AB，所以CD⊥AD.因?yàn)?/span>AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，則CD⊥AE.因?yàn)?/span>PA＝AD，E為PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.【小問2詳解】解：如圖，過(guò)E作EF//CD，交PC于F，連接BF，則截面為四邊形ABFE.  理由如下：因?yàn)?/span>AB//CD，EF//CD，所以EF//AB，所以A，B，F，E四點(diǎn)共面，從而過(guò)A，B，E的截面為四邊形ABFE.由（1）知AE⊥平面PCD，所以AE⊥EF，又，，AB＝3，所以四邊形ABFE為直角梯形，其面積.21. 的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，．（1）若為銳角三角形，求AC的取值范圍；（2）在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷△ABC是否存在，若存在，求出的面積，若不存在，說(shuō)明理由．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）【答案】（1）    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，利用正、余弦定理可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解；（2）選擇①，根據(jù)正弦定理可得，由（1）得，方程無(wú)解即△ABC不存在．選擇②，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可.選擇③，由（1），根據(jù)余弦定理可得，方程無(wú)解即△ABC不存在．【小問1詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)?/span>，所以，化簡(jiǎn)得：，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以，，解得：，所以，所以AC的取值范圍為．【小問2詳解】選擇①，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，由（1）知，，所以，整理得，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇②，由得：，所以，即，所以，由（1）知，，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的面積．選擇③，因?yàn)?/span>，所以，由（1）知，，所以，整理得，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不存在．22. 已知函數(shù).（1）若，判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；（2）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍（寫出結(jié)論即可，無(wú)需論證）.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；    （2）；    （3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行求解證明即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，運(yùn)用分類討論法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)；【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為；所以當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)，即時(shí)，函數(shù)在R上是增函數(shù)；【小問3詳解】方程的解即為方程的解.①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上是增函數(shù)，關(guān)于x的方程不可能有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；即，因?yàn)?/span>，所以.設(shè)，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，又可證在上單調(diào)遞增，所以，故；③當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；即，因?yàn)?/span>，所以，設(shè)，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故；綜上：.

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