注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．
2．請將答案正確填寫在答題卡上．
一、單選題（本大題共10小題，共30分）
1. 已知關(guān)于x，y的方程是二元一次方程，則的值為（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了二元一次方程的概念，掌握二元一次方程的概念是解本題的關(guān)鍵．
根據(jù)二元一次方程的概念：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程，解答即可
【詳解】∵關(guān)于x，y的方程是二元一次方程，
∴，，
解得：，，
將，，代入得
，
故選：D．
2. 若關(guān)于x的方程的解為非負整數(shù)，且關(guān)于x的不等式組無解，則所有滿足條件的a的值之和是（ ）
A. 7B. 6C. 4D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查解一元一次方程和求一元一次不等式組的解集，根據(jù)題意求得方程的解為，結(jié)合非負可得，求得不等式解為，由于無解則，即可得到a的范圍，結(jié)合x方程的解為非負整數(shù)，即可求得a的值，利用有理數(shù)的加減法計算即可．
【詳解】解：，整理得，解得，
∵關(guān)于x的方程的解為非負整數(shù)，
∴，解得，
，解得，
∵關(guān)于x的不等式組無解，
∴，
則，
∵x的方程的解為非負整數(shù)，
∴滿足條件的a只有，0，2和4，
則．
故選：C．
3. 已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，且，則的值為（ ）
A. 1B. C. 0D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查了二元一次方程組的解．利用關(guān)于，的二元一次方程組的解為得到，，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：關(guān)于，的二元一次方程組的解為，
，
，即，
，
故選：A．
4. 用加減法解方程組，由②①消去未知數(shù)y，所得到的一元一次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了加減法解一元二次方程，由②①即可求解；掌握解法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：②①得：
，
故選：B．
5. 已知是方程組的解，則的值是（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】把代入方程組，可得關(guān)于a、b的方程組，繼而根據(jù)二元一次方程組的解法即可求出答案．
【詳解】解：將代入，
可得：，
解得：，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是熟練運用二元一次方程組的解法．
6. 定義三角表示3abc，方框表示xz+wy，則的結(jié)果為( )
A. 72m2n﹣45mn2B. 72m2n+45mn2
C. 24m2n﹣15mn2D. 24m2n+15mn2
【答案】B
【解析】
【詳解】解：根據(jù)題意得：原式=9mn×（8m+5n）=72m2n+45mn2．
故選B．
7. 規(guī)定一種運算：，其中，為有理數(shù)，則（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，先將，進行化簡，再進行計算即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了新定義下的整式運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的運算法則．
8. 下列由左到右的變形，是因式分解的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查因式分解的定義．根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積來判斷即可．
【詳解】A，是整式的乘法，此項不符合題意；
B，右邊不是幾個整式的積，此項不符合題意；
C，是因式分解，此項符合題意；
D，右邊不是幾個整式的積，此項不符合題意．
故選：C．
9. 如圖，平行線之間有兩個圖形，陰影部分面積關(guān)系是（ ）
A. 無法比較B. ①與②相等
C. ①是②的2倍D. ①是②的3倍
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線間間距相等可知三角形和梯形的高相等，據(jù)此分別表示出兩個圖形的面積即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)兩平行線間的距離為h，
∴三角形面積為，梯形面積為，
∴①的面積是②的面積的2倍，
故選：C．
10. 如圖，把三角形沿線段折疊，得到一個多邊形，這個多邊形的面積與原三角形面積的比是7：9，已知圖2中陰影部分的面積為15平方厘米，那么原三角形的面積是（ ）平方厘米．
A. 26B. 27C. 28D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查分數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是確定陰影部分的面積是原三角形面積的幾分之幾．
根據(jù)多邊形的面積是原三角形面積的，得到多邊形中空白部分的面積是原三角形面積的，進而得到陰影部分的面積是原三角形面積的，再根據(jù)陰影部分的面積進行求解即可．
【詳解】解：由題意，可知：多邊形中空白部分的面積是原三角形面積的，
多邊形中陰影部分的面積是原三角形面積的，
則原三角形的面積是（平方厘米）
故選B．
二、填空題（本大題共8小題，共24分）
11. 小明把6個數(shù)分別寫在3張卡片的正面和反面，每個面上寫1個數(shù)，每張卡片正、反面上的2個數(shù)的和相等，然后他將卡片放在桌子上，發(fā)現(xiàn)正面寫著28，40，49，反面上的數(shù)都只能被1和它自己整除，那么反面上的3個數(shù)的平均數(shù)是____．
【答案】12
【解析】
【分析】本題考查整數(shù)的運算，質(zhì)數(shù)，根據(jù)三張卡片正反兩面的和相同，且28，40為偶數(shù)，49為奇數(shù)，結(jié)合反面上的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，得到的反面只能是2，進而得到和為，求出兩外兩個數(shù)，再求出3個數(shù)的平均數(shù)即可．
【詳解】解：因為反面上的數(shù)都只能被1和它自己整除，
所以反面上的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，
因為三張卡片正反兩面的和相同，且28，40為偶數(shù)，49為奇數(shù)，
所以的反面只能是2，
所以正反兩面的和為，
所以另外兩個數(shù)分別為：，
所以反面上3個數(shù)的平均數(shù)是：；
故答案為：12．
12. 如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線AC是它的對稱軸，若，則的大小為_________．

【答案】130°
【解析】
【分析】由三角形內(nèi)角和定理計算出，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)推導(dǎo)，然后由計算的大小即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，
∴，
∴．
故答案為：130°．
【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用軸對稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
13. （平移）如圖所示的4根火柴棒形成象形漢字“口”，平移火柴棒后，“口”字能變成的象形漢字是圖中的 ______．（填序號）
【答案】①
【解析】
【分析】本題考查平移，根據(jù)平移的性質(zhì)求解．
【詳解】解：②③④號需要旋轉(zhuǎn)才能得到，只有①只需要平移就能得到，
故答案為：①．
14. 一個兩位正整數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，那么稱為“異能數(shù)”，將的兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)得到一個新數(shù)，把放在的后面組成第一個四位數(shù)，把放在的后面組成第二個四位數(shù)，我們把第一個四位數(shù)減去第二個四位數(shù)后再除以11所得的商記為，例如：時，，，則_____；若、為“異能數(shù)”，其中，，、，且，，，為整數(shù)）
規(guī)定：，若能被7整除，且，求的最大值為_____．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)新定義列式計算可得；由能被7整除，可得，，，或者，，根據(jù)，可得，，或，，而，即可得到答案．
【詳解】解：當時，，
；
，
，
同理，
能被7整除，
，
，，或者，，
，
，
，
，
，或，，
，
當，，，時，最大，最大值為．
故答案為：，．
15. 4個數(shù)a，b，c，d排列成，我們稱之為二階行列式．規(guī)定它的運算法則為．若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了新定義運算，涉及了完全平方公式，多項式乘法，解一元一次方程等知識，正確弄清新定義的運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵． 按規(guī)定的運算可得關(guān)于x的方程，解方程即可求得答案．
【詳解】解∶∵，，
∴，
即，
化簡得，
解得．
故答案為∶ ．
16. 某部隊進行軍訓(xùn)從甲地到乙地，要翻越一座山，沒有平路可走，去用了小時，返回時用了小時．已知走上坡每小時千米，走下坡時每小時千米．甲、乙兩地的公路長________千米．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查路程，時間與速度的關(guān)系，二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立二元一次方程組；
根據(jù)速度時間路程，設(shè)上山路為，下山路為，列方程求解即可；
【詳解】解：設(shè)上山路為，下山路為
得；
解得：
故
故答案為：
17. 如圖，直線、相交于點P，在這平面內(nèi)，如果再畫一條直線，那么它們的交點個數(shù)共有為______．
【答案】1個或2個或3個
【解析】
【分析】在同一平面內(nèi)，兩條直線平行，第三條直線與它相交，有2個交點；三條直線兩兩相交，最多有3個交點，最少有1個交點．
【詳解】當平行于或時，交點個數(shù)為2個；
當與和都不平行，交于P點時，交點的個數(shù)為1個；不交于同一點時，交點的個數(shù)為3個．
故答案為：1個或2個或3個．
【點睛】本題考查了直線的交點個數(shù)問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．
18. 拿一張長方形紙片，按圖中所示的方法折疊一角，得到折痕EF，如果∠DFE=35o，則∠DFA=___
【答案】110°
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合平角的定義即可求得結(jié)果.
由題意得∠DFA=180°-∠DFE×2=180°-35o×2=110o.
考點：折疊的性質(zhì)，平角的定義
點評：解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.
三、解答題（本大題共8小題，共66分）
19. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】將所求式子變形為的形式，然后代入數(shù)值計算即可．
【詳解】解：，
當，時，
原式
．
【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，正確對所求式子進行變形是關(guān)鍵．
20. 閱讀與思考
請仿照上面的方法，解答下列問題：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解為兩個一次因式積，求整數(shù)p所有可能的值．
【答案】（1）
（2）
（3）整數(shù)p的值可能為5或﹣5或1或﹣1
【解析】
【分析】（1）利用“十字相乘法”即可求解；
（2）利用提公因式法、“十字相乘法”即可求解；
（3）將常數(shù)進行分解即可．
【小問1詳解】
解：原式
；
【小問2詳解】
解：原式
【小問3詳解】
解：∵，
∴或或或
因此整數(shù)p的值可能為5或或1或．
【點睛】本題考查了提公因式法、“十字相乘法”進行因式分解．熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．
21. （1）畫出圖形A先繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)，再向左平移6格后得到的圖形．
（2）畫出平行四邊形①按放大后得到的圖形．

【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】本題主要考查圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，圖形平移要注意三要素：原位置、平移方向、平移距離；圖形旋轉(zhuǎn)要注意四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角；圖形的放大或縮小的倍數(shù)是指對應(yīng)邊放大或縮小的倍數(shù)．
（1）把圖形A繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，找出旋轉(zhuǎn)中心O，把正方形順時針旋轉(zhuǎn)；再把旋轉(zhuǎn)后的正方形再向左平移6格，再依次連接起來即可得出圖形；
（2）根據(jù)圖形放大或縮小意義，把平行四邊形①的各邊分別放大到原來的2倍，對應(yīng)角的度數(shù)不變，即可畫出放大后的圖形．
【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求作的圖形；

（2）如圖所示，即為所求作的圖形．
22. 如圖，在中，，于點E，，交于點F，的延長線交于點G，求證：
（1）；
（2）平分．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理．
（1）由平行線的公理可得出，先證明，再證明，即可得結(jié)論；
（2）證明，得，然后根據(jù)角平分線的判定即可解決問題．
【小問1詳解】
證明：，
，
∵，
，
，
，
在和中，
，
，
；
【小問2詳解】
證明：在和中，
，
，
∴．
平分．
23. 百度推出了“文心一言”聊天機器人（以下簡稱A款），抖音推出了“豆包”聊天機器人（以下簡稱B款）．有關(guān)人員開展了A，B兩款聊天機器人的使用滿意度評分測驗，并從中各隨機抽取20份，對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析（評分分數(shù)用x表示，分為四個等級：不滿意，比較滿意，滿意，非常滿意），下面給出了部分信息：
抽取的對A款聊天機器人的評分數(shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：
84，86，86，87，88，89；
抽取的對B款聊天機器人的評分數(shù)據(jù)：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的對A，B款聊天機器人的評分統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中______，______，______；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪款聊天機器人更受用戶喜愛？請說明理由（寫出一條理由即可）；
（3）在此次測驗中，有240人對A款聊天機器人進行評分、300人對B款聊天機器人進行評分，請通過計算，估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有多少人？
【答案】（1）15，，96
（2）A款聊天機器人更受用戶喜愛，理由見解析
（3）69（人）
【解析】
【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計總體等知識，正確理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵；
（1）用1分別減去其他三個等級所占百分比可得a的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得b的值，根據(jù)眾數(shù)的定義可得c的值；
（2）通過比較A，B款的評分統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)解答即可；
（3）由A、B兩款的不滿意的人數(shù)之和即可得出答案．
【小問1詳解】
解：由題意得：“滿意”所占百分比為，
∴“比較滿意”所占百分比為，
∴；
∵A款的評分非常滿意有個，“滿意”的數(shù)據(jù)：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的評分數(shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)是88、89，
∴，
在B款的評分數(shù)據(jù)中，96出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴；
故答案為：；
【小問2詳解】
解：A款聊天機器人更受用戶喜愛，理由如下：
因為兩款的評分數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是88，但A款評分數(shù)據(jù)的中位數(shù)比B款高，所以A款聊天機器人更受用戶喜愛．
【小問3詳解】
解：B款中“不滿意”的有3人，所占百分比為，
估計此次測驗中對聊天機器人不滿意的共有（人）．
24. 定義新運算，如．計算的值．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)定義的新運算的運算法則先表示出的值，然后利用去括號，合并同類項的法則進行化簡即可．
【詳解】解:∵，
∴

【點睛】本題主要考查定義新運算及整式的化簡，掌握定義的新運算的運算法則和去括號，合并同類項的法則是解題的關(guān)鍵．
25. 甲、乙兩種商品成本共200元，甲商品按的利潤定價，乙商品按的利潤定價．后來兩種商品都按定價的打折出售，結(jié)果仍獲得利潤元．甲種商品的成本是多少元？
【答案】甲種商品的成本是130元
【解析】
【分析】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程組，用到的知識點是利潤售價-成本．
設(shè)甲種商品的成本是元，乙種商品的成本是元，根據(jù)甲乙兩種商品成本共200元，獲利元，列出方程組，再求解即可．
【詳解】解：設(shè)甲種商品的成本是元，乙種商品的成本是元，
根據(jù)題意得：，
把代入第二個方程得到，，
所以，
所以，
答：甲種商品的成本是130元．
26. 如圖，要利用一面墻（墻長為50米）建羊圈，用總長100米的圍欄圍成三個大小相同的矩形羊圈
（1）若總面積為400平方米，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？
（2）當羊圈的邊長AB，BC各為多少米時，總面積S有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）米，米
（2） 米，米，面積 最大，最大為平方米
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意三個大小相同的矩形羊圈，所以 ，（見詳解），根據(jù)圍欄的總長100米，羊圈的總面積為400平方米，由此即可找出長方形的長與寬的關(guān)系，由此即可求出答案；
（2）設(shè) ，圍欄的總長100米，即可求出邊長與面積的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)最值問題即可求解答案．
【小問1詳解】
解：如圖所示，根據(jù)題意，三個大小相同的矩形羊圈，
∴ ， ，
設(shè) ， ，
∴ ，解方程組得， ， ，
∴ ，，即 或
∵墻長是 米，
∴要舍去，
∴ ， ，
故答案是：米，米
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意，設(shè) ，則 ，
∴ ，
∴當米時，米，面積 最大，最大為 平方米，
故答案是：米 ， 米，面積 最大，最大為平方米
【點睛】本題主要考查方程組和二次函數(shù)的運用，根據(jù)題意列出方程組和函數(shù)表達式，用二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵．
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．
得．
利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式進行因式分解，我們把這種方法稱為“十字相乘法”．
例如：將式子分解因式．
解：.
設(shè)備
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
“非常滿意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
88
c

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