上海市松江二中2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

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1. 已知集合，，則___________
【答案】
【解析】
【分析】利用交集的定義進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
故答案為：.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則___________.
【答案】##i-2
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意知，，
則，
故答案為：
3. 在的展開式中，的系數(shù)為______.
【答案】
【解析】
【分析】首先寫出展開式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，
令可得：，則的系數(shù)為：.
故答案為：
4. 雙曲線的兩條漸近線的夾角為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得其漸近線的方程，利用斜率與傾斜角的關(guān)系，以及雙曲線的對(duì)稱性，即可求解.
【詳解】由題意，雙曲線，可得兩條漸近線方程為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，可得兩見解析的夾角為.
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
5. 已知向量，且，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積定義求解.
【詳解】解得
故答案為：.
6. 數(shù)在上可導(dǎo)，若，則______.
【答案】12
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算代入可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義可
.
故答案為：12
7. 已知隨機(jī)變量的分布為，且，若，則實(shí)數(shù)_______．
【答案】
【解析】
【分析】由期望性質(zhì)可得答案.
【詳解】因，則.
又，則.
故選：.
8. 正方體的棱長(zhǎng)為2，為棱的中點(diǎn)，以為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是______．
【答案】
【解析】
【分析】先確定旋轉(zhuǎn)體是母線且同底的兩個(gè)圓錐構(gòu)成的幾何體，進(jìn)而可得.
【詳解】由題意知，為等腰三角形，且，
所以以為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是以為中心軸，
和分別為母線且同底的兩個(gè)圓錐構(gòu)成的幾何體，
可得圓錐的底面半徑為，所以旋轉(zhuǎn)體的表面積．
故答案為：.
9. 已知集合.設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分式不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域以及集合間的包含關(guān)系即可求解.
【詳解】由得，即，
所以，解得.
所以.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)?，所以解得?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
10. 已知件次品和件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束，則恰好檢測(cè)四次停止的概率為_____（用數(shù)字作答）．
【答案】
【解析】
【詳解】由題意可知，2次檢測(cè)結(jié)束的概率為，
3次檢測(cè)結(jié)束的概率為，
則恰好檢測(cè)四次停止的概率為.
11. 如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓上兩點(diǎn)，滿足，且，則橢圓C的離心率為________．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，延長(zhǎng)，與橢圓交于點(diǎn)L，連接，設(shè)可得，在中，用余弦定理可得到，繼而得到，即可求解
【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，
如圖，延長(zhǎng)，與橢圓交于點(diǎn)L，連接，
由，所以根據(jù)對(duì)稱性可知，，
設(shè)，則，，
從而，故，
在中，，所以，
在中，，即，
所以，所以，所以離心率，
故答案為：
12. 已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題用向量減法的模的幾何意義解決.
【詳解】
作圖，，則，，
因?yàn)?，所以起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以B為圓心，1為半徑的圓上；
同理，，所以起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在以C為圓心，1為半徑的圓上，
所以的最小值則為，
因?yàn)?，，?dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，所以.
故答案為：.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）
13. “”是“直線與垂直”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：兩直線垂直，所以，所以是充分不必要條件.
考點(diǎn)：充要條件.
14. 已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）．
A. 若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線
B. 若，平行于同一平面，則與可能異面
C. 若，不平行，則與不可能垂直于同一平面
D 若，垂直于同一平面，則與可能相交
【答案】A
【解析】
【分析】利用相交平面說明判斷A；舉例說明判斷B，D；利用反證法推理說明C作答.
【詳解】對(duì)于A，因，不平行，令，直線，若，必有，A不正確；
對(duì)于B，若，直線，直線b與m是相交直線，則有直線b與m都平行于，
把直線b平行移出平面外為直線n，且不在內(nèi)，此時(shí)與是異面直線，都平行于，B正確；
對(duì)于C，假定與垂直于同一平面，則有，與，不平行矛盾，即假設(shè)是錯(cuò)的，C正確；
對(duì)于D，令，若直線c垂直于某個(gè)平面，由面面垂直的判定知，垂直于這一平面，D正確.
故選：A
15. 在中，是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有，則為（ ）
A. 等腰三角形B. 鈍角三角形
C. 直角三角形D. 銳角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，將向量用表示，得到，進(jìn)而判斷的形狀.
【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接（如圖所示），則

，
同理，
因?yàn)?，所以?br>即，所以對(duì)于邊上任意一點(diǎn)都有，
因此，
又，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
所以，所以，
即，所以，即△為鈍角三角形，
故選：B.
16. 已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域，將函數(shù)分類討論，借助于求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)和圖象趨勢(shì)，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，將函數(shù)分解因式，根據(jù)零點(diǎn)定義，結(jié)合圖象，確定有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為有3個(gè)零點(diǎn)，由圖即得參數(shù)范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>若時(shí)，由求導(dǎo)得，，
故當(dāng)時(shí)，f'x0，即在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，恒有.
作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.
又由可得或，
由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；
要使函數(shù)恰有5個(gè)不同的零點(diǎn)，
需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于將函數(shù)按照定義域分類討論，通過求導(dǎo)作出函數(shù)的圖象；第二個(gè)關(guān)鍵是，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解決.
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17. 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)．
（1）求證平面；
（2）求二面角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證平面，進(jìn)而可得，再有利用線面垂直的判定定理可證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求二面角的大小.
【小問1詳解】
因?yàn)槠矫妫矫?，平面?br>所以，，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
有題意可知，又，平面，平面，
所以平面．
【小問2詳解】
分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因平面，平面，所以，
因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，
故，
平面的一個(gè)法向量為，
，
設(shè)平面的法向量為，
由得，令得，，
則，所以，
因?yàn)槎娼鞘氢g二面角，所以二面角的大小為．
18. 黃山原名“黟山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為“黃山”.黃山雄踞風(fēng)景秀麗的安徽南部，是我國(guó)最著名的山岳風(fēng)景區(qū)之一.為更好地提升旅游品質(zhì)，黃山風(fēng)景區(qū)的工作人員隨機(jī)選擇100名游客對(duì)景區(qū)進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分100分），根據(jù)評(píng)分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求x值；
（2）估計(jì)這100名游客對(duì)景區(qū)滿意度評(píng)分的40%分位數(shù)（得數(shù)保留兩位小數(shù)）；
（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評(píng)分在的兩組中共抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行個(gè)別交流，求選取的2人評(píng)分分別在50,60和60,70內(nèi)各1人的概率.
【答案】（1）
（2）83.33 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直方圖中頻率和為1求參數(shù)即可；
（2）由百分位數(shù)的定義，結(jié)合直方圖求分位數(shù)；
（3）分布求各組人數(shù)，利用列舉法結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
由圖知：，可得.
【小問2詳解】
由，
所以分位數(shù)在區(qū)間80,90內(nèi)，令其為，
則，解得.
所以滿意度評(píng)分的分位數(shù)為83.33.
【小問3詳解】
因?yàn)樵u(píng)分在的頻率分別為，
則在50,60中抽取人，設(shè)為；
在60,70中抽取人，設(shè)為；
從這6人中隨機(jī)抽取2人，則有：
，
，共有15個(gè)基本事件，
設(shè)選取的2人評(píng)分分別在50,60和60,70內(nèi)各1人為事件，
則有，共有8個(gè)基本事件，
所以.
19. 已知函數(shù)的表達(dá)式（為實(shí)數(shù)）．
（1）函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，若不等式在上有解，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義，我們?cè)O(shè)，可由增函數(shù)得到成立，即可較易得到的取值范圍；
（2）利用分離變量法，將分離出來，發(fā)現(xiàn)題設(shè)轉(zhuǎn)化為：存在，，使得成立，即大于等于的最小值即可，可將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意，任取、，且，
則，
因?yàn)?，，所以，即?br>由，得，所以，
所以，的取值范圍是．
【小問2詳解】
由，得，
因?yàn)?，所以?br>令，則，所以，
令，，
于是，要使原不等式在有解，當(dāng)且僅當(dāng)，
因?yàn)椋詧D象開口向下，對(duì)稱軸為直線，
因?yàn)?，設(shè)：為區(qū)間的中點(diǎn)值，，
故當(dāng)，即，即時(shí)，；
當(dāng)，即，即時(shí)，．
綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
20. 如圖，已知?是橢圓的左?右焦點(diǎn)，?是其頂點(diǎn)，直線與相交于，兩點(diǎn).
（1）求△的面積；
（2）若，點(diǎn)，重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線，的斜率分別為?，記以，為直徑的圓的面積分別為?，的面積為，若??恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）最大值為.
【解析】
【分析】（1）由題可得，利用面積公式即求；
（2）由題可得直線方程，聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理即得；
（3）由，得，利用韋達(dá)定理及三角形面積公式及條件可得，又利用條件可求，再利用基本不等式即得.
【小問1詳解】
∵，
∴，
∴△的面積.
【小問2詳解】
∵，又，點(diǎn)A，重合，
∴，直線方程為，
由，得，
則，
∴，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【小問3詳解】
由，得，
設(shè)，
∴，即，
，
又，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列，
∴，即，
∴，又，
∴，可得，，
∵點(diǎn)O到直線AB的距離為，
∴，
又，
∴
，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
∴的最大值為.
21. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若的極大值為，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，若，使得，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解切線方程；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由，得或，然后分，和三種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，使極大值為可求出；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為在上的值域是在的值域的子集，由（2）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后分，和三種情況討論即可.
【小問1詳解】
，則，
因?yàn)椋郧悬c(diǎn)即，
所以切線為.
【小問2詳解】
，
因?yàn)椋?，解得或?br>①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極大值為，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，無極大值；
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以極大值為，，符合題意．
綜上所述，．
小問3詳解】
由題意得當(dāng)時(shí)，在上值域是在的值域的子集，
由（2）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，使得，
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，
若滿足題意，只需，即，
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
所以，
又因?yàn)闀r(shí)，，
若滿足題意，只需，即，
因?yàn)?，所以，所以無解，
所以不合題意
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題第（3）問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化問題為當(dāng)時(shí)，在上的值域是在的值域的子集，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化求函數(shù)的值域問題，從而得解.