一、問題綜述
解析幾何的選填題目都很小巧靈活，既考查運(yùn)算功底（通法），也考查思維的靈活性（小題小做）。為了不“小題大做”，熟悉一些常見的二級(jí)結(jié)論尤為重要。解析幾何問題本質(zhì)上還是“幾何”問題，特別是與焦點(diǎn)弦相關(guān)的性質(zhì)，尤其如此。本文對(duì)涉及到的結(jié)論，從幾何的角度做出了證明，以“形”助“數(shù)”，與代數(shù)角度（這個(gè)大家自己可以證明）做個(gè)對(duì)比，以期大家更好的記憶和運(yùn)用相關(guān)結(jié)論。均出自本人原創(chuàng)，還希望大家不要外傳（湖北孝感王凱）。
二、拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及其純幾何證明
如圖，是拋物線的焦點(diǎn)弦，為弦的中點(diǎn)，分別過、作準(zhǔn)線的垂線，垂足為、，為的中點(diǎn)．
設(shè)、，傾斜角為，則有如下結(jié)論：
1．4種相切，即：
（1）以為直徑的圓與切于中點(diǎn)；
（2）以為直徑的圓與切于焦點(diǎn)；
（3）以焦半徑為直徑的圓與（軸）切于中點(diǎn)；
（4）以焦半徑為直徑的圓與（軸）切于中點(diǎn)；
證明如下：
（1）以為直徑的圓與切于其中點(diǎn)；
證明：由拋物線的定義知，，所以，、、在一個(gè)以為圓心，為直徑的圓上，又（為梯形中位線）．即證．
（2）以為直徑的圓與切于焦點(diǎn)；
證明：先證，得三點(diǎn)共圓；再證．
一方面，由拋物線的定義，得，，所以，，易得平分，平分，從而，為平角的一半，故，所以三點(diǎn)在一個(gè)以為圓心，為直徑的圓上．
另一方面，，所以．即證．
（3）易證且交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，仿照（1），可證．
（4）與（3）類似。
2．焦半徑、焦點(diǎn)弦公式及焦比
（1）焦半徑：，；
（2）焦點(diǎn)弦：；
（3）焦比：．
證明：由拋物線定義可得，，同理，，
作，垂足為，則
同理，
3．兩個(gè)特殊數(shù)列
(1)等差數(shù)列：,即的倒數(shù)成等差數(shù)列．
(2)等比數(shù)列：,即三點(diǎn)到軸的距離成等比數(shù)列．
等差數(shù)列的證明，由焦半徑公式取倒數(shù)相加即可。等比數(shù)列的證明看4．
4．兩個(gè)定值
(1),即焦點(diǎn)弦端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值．
(2),即焦點(diǎn)弦端點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積也為定值．
證明：在中，由射影定理可得，
從而，
說明：抓住“定值”這一不變性，可結(jié)合“通徑”來記憶．
事實(shí)上，這一不變性，對(duì)非焦點(diǎn)弦也是滿足的．
結(jié)論如下：過定點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)、，
則（距離成等比數(shù)列），．有興趣的朋友可以自證．
當(dāng)這五個(gè)值時(shí)，可以得到有意思的五個(gè)點(diǎn)，過這五點(diǎn)的弦均有某些獨(dú)特的性質(zhì)． 可以看到，當(dāng)時(shí)，就是焦點(diǎn)弦的結(jié)論．當(dāng)時(shí)，就是下面的結(jié)論：
5．一個(gè)梯形和兩個(gè)共線
（1）三點(diǎn)共線；
（2）三點(diǎn)共線．
證明：，又，
所以∽，所以三點(diǎn)共線．
同理可證，三點(diǎn)共線．
6．幾個(gè)特殊的三角形
（1）的兩邊總關(guān)于軸對(duì)稱；
(因?yàn)?
此即為時(shí)的特性：（與關(guān)于軸的對(duì)稱）
若一條過點(diǎn)的弦交拋物線與兩點(diǎn)，則共線．
（2）；
證明：．
（3）當(dāng)時(shí)，的弦張角．
講了，順帶也講下．
點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離是否單調(diào)變化的分界點(diǎn)．
如果，即當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)原點(diǎn)到點(diǎn)的距離最??；如果，即當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，先減后增，此時(shí)原點(diǎn)到點(diǎn)的距離并非是最小的．
三、典例分析
類型1：焦半徑和焦點(diǎn)弦
【例1】過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，若，則（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由焦半徑公式求傾斜角，或直接用 的倒數(shù)等差數(shù)列．
【法1】如圖所示，設(shè)，則
解得，， ，故選B．
【法2】由可得，．
【例2】若過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
法1、常規(guī)思路——通法（此法主要為了做個(gè)比較，后續(xù)題目不會(huì)用通法）
解：易得，設(shè)直線方程為，(此題中)，，可得，，
由韋達(dá)定理可得，，，又，
法2、由結(jié)論可知，，故選B．
【例3】已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線與直線，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式表示
再求最小值．
解：由，設(shè)直線傾斜角為，
則直線傾斜角為，
由焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式得 ，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)的最小值為．故選D．
【例4】已知拋物線，過焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題，，所以，．選D．
【例5】若拋物線,過其焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 的倒數(shù)等差數(shù)列及基本不等式可解．
由題，，又，由權(quán)方和不等式可得，
，所以，．
點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)焦半徑和焦點(diǎn)弦，知其一,或者知兩者的某個(gè)關(guān)系式，另兩個(gè)必定可求，同時(shí)也可以求焦點(diǎn)弦的斜率．
類型2：焦比
【例1】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若弦的長(zhǎng)為，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【解析】先根據(jù)弦長(zhǎng)求出直線的傾斜角，再利用焦半徑之比可求出．
解：設(shè)直線的傾斜角為，則，
所以，可得，或．
所以，或．故選C．
【例2】已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)．若過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
法1、特值法：取得傾斜角為，
易得．故選C．
法2、如圖，易知，，．結(jié)合拋物線的定義可得，
，
由
又，所以,化簡(jiǎn)得，故選C．
類型3：一個(gè)梯形和兩個(gè)共線
【例1】如圖，已知分別為拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)分別交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由拋物線的幾何性質(zhì)可知．
【例2】已知拋物線，為其焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線，過任作一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，，分別為在上的射影，為的中點(diǎn)，給出下列命題：
①；②；③；
④與的交點(diǎn)在軸上；⑤與交于原點(diǎn)．
其中真命題是__________．（寫出所有真命題的序號(hào)）
【答案】①②③④⑤
【解析】結(jié)合之前幾何性質(zhì)的證明，可知①②③④⑤
類型4：4種相切
【例1】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線，若過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則以線段為直徑的圓與直線的位置關(guān)系為（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三個(gè)答案均有可能
【答案】C
【解析】
根據(jù)結(jié)論知道以為直徑的圓和準(zhǔn)線相切，
該拋物線的準(zhǔn)線為，
故這個(gè)圓和直線相離．故選C．
【例2】如圖，過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線的公共點(diǎn)為，若，則的大小為（ ）
A．15° B．30° C．45° D．不確定
【答案】B
【解析】
如圖，取AB中點(diǎn)，連結(jié)，
則以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線切于點(diǎn)，
由根據(jù)拋物線性質(zhì)， 軸，且，
，，
，故選B．
【例3】過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，以、為直徑的圓分別與軸相切于點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
法1、由拋物線的幾何性質(zhì)可知，
法2、代數(shù)法
設(shè)，，則，，
直線的方程為：，
聯(lián)立，可得，
∴，，
∴，故選D．
點(diǎn)評(píng)：焦點(diǎn)弦、焦半徑的切線圓有必要記憶，對(duì)一些小題可以事半功倍．
類型5：以焦點(diǎn)為重心的
【例1】(2018·太原一模)已知拋物線的焦點(diǎn)為，的頂點(diǎn)都在拋物線上，且滿足，則 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)， ， ．
∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴
∵，∴
∴
∵，同理， ．
∴，故選A．
【例2】設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為該拋物線上三點(diǎn)，若則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)， ， ．
∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴
∵，∴
∴，．
類型6：點(diǎn)線轉(zhuǎn)化
【例1】已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是，若拋物線上存在一點(diǎn)，使得最小，則最小值為__________；此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．
【答案】
【解析】
如上圖，過作于，
則由拋物線的定義得
所以，
由圖形得當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)， 最小，
又最小值為到準(zhǔn)線的距離此時(shí)最小值為，
此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【例2】拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，令，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的斜率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)拋物
線的對(duì)稱性，所以設(shè)點(diǎn)P在第一象限，
,當(dāng)最小時(shí)，最大，所以當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最小，
設(shè)直線：與拋物線方程聯(lián)立，，由，解得，故選B．
點(diǎn)評(píng)：結(jié)合拋物線的定義，將“點(diǎn)點(diǎn)距”“點(diǎn)線距”可以極大利用幾何關(guān)系,使問題順利解決．
【鞏固練習(xí)】
1．已知直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則等于______．
【答案】
2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若的最小值為19，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．
【答案】
3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)．若以為直徑的圓過點(diǎn)，則的值為________．
【答案】
4．直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_____．
【答案】
5．已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與的對(duì)稱軸垂直，與交于兩點(diǎn)，,為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則的面積為______．
【答案】
6．已知拋物線的方程為，過其焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若,則_________．
【答案】163．
7．拋物線的焦點(diǎn)為F， 為拋物線上的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)F，過AB的中點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為_______．
【答案】
【解析】由拋物線定義得=,即的最大值為．
8．已知直線與拋物線交于， 兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為__________．
【答案】8
9．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則______．
【答案】6
10．設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則_______．
【答案】
11．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則__________．
【答案】7
【解析】
12．過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），__________．
【答案】
13．拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與C交于兩點(diǎn)，則 ．
【答案】43
14．．過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
15．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于， 兩點(diǎn)，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
16．已知不過原點(diǎn)的直線l與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，若，且，則直線l的斜率為
A．B．C．D．
【答案】C
17．拋物線焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作直線．．交拋物線于兩點(diǎn),則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
18．已知拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
19．過拋物線的焦點(diǎn)F作互相垂直的弦，則點(diǎn)所構(gòu)成四邊形的面積的最小值為
A．16 B．32 C．48 D．64
【答案】B
【解析】解：由拋物線的幾何性質(zhì)可知：
，
據(jù)此可得，點(diǎn)A，B，C，D所構(gòu)成四邊形的面積的最小值為 ．
20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為5，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
21．點(diǎn)是拋物線（）上的一點(diǎn)，點(diǎn)是焦點(diǎn)，則以線段為直徑的圓與軸位置關(guān)系是( )
A．相交B．相切C．相離 D．以上三種均有可能
【答案】B
22．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于，則（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】B
23．已知拋物線,其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過焦點(diǎn)的弦交拋物線于兩點(diǎn),且,則( )
A．B．C．D．
【答案】C
24．已知拋物線：，若直線：被拋物線截得的弦長(zhǎng)為17，則與拋物線相切且平行于直線的直線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】B
25．已知（，…， ）是拋物線： 上的點(diǎn)， 是拋物線的焦點(diǎn)，若，則等于（ ）
A．1008 B．1009 C．2017 D．2018
【答案】D
【解析】設(shè)的橫坐標(biāo)為（，…， ）
由拋物線的焦半徑公式可得
∵
∴，
即
∴
故選D

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