廣東省多校2025屆高三上學(xué)期摸底（一模）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共4頁，考試用時(shí)120分鐘，滿分150分．
注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己所在的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在每張答題卡左上角“條形碼粘貼處”．
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保證答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】計(jì)算出集合，再根據(jù)并集運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意知，所以，
則.
故選：D
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)模長公式結(jié)合復(fù)數(shù)相等可求，進(jìn)而可得模長.
【詳解】設(shè)，則，
可得，
則，解得，
所以.
故選：C.
3. 已知函數(shù)滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意分別令、和，運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，可得；
令，可得；
兩式相加可得，
令，可得；
則，即.
故選：D.
4. 外接球半徑為的正四面體的體積為（）
A. B. 24C. 32D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)出正四面體棱長，通過作輔助線表示出四面體的高，解直角三角形表示外接球半徑，由已知外接球半徑為可得棱長，再由三棱錐體積公式可得.
【詳解】如圖，設(shè)正四面體的下底面中心為，連接，則平面，
連接并延長，交于，設(shè)此正四面體的棱長為x，則，
，，即四面體的高．
設(shè)四面體外接球的球心為，連接，外接球半徑為，
則，化簡得，由，
得，即正四面體棱長為，
所以正四面體的體積.
故選：A.
5. 設(shè)點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，可得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．
【詳解】如下圖，設(shè)，
則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，
，因此，
故選：B．
6. 已知的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，由值域?yàn)镽，可以得到能取遍所有正數(shù)，從而求解．
【詳解】設(shè)，
又值域?yàn)镽，能取遍所有正數(shù)，
，解得，
故選：C．
7. 設(shè)為銳角，且，則與的大小關(guān)系為（）
A. B. C. D. 不確定
【答案】A
【解析】
【分析】先利用兩角和的余弦公式化簡等式可得，再根據(jù)范圍求得.
【詳解】由為銳角，則，
由可得，
又由，
所以有，由為銳角可得，
則，又由為銳角可得，
故，即.
故選：A.
8. 若，且，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)進(jìn)行變形，再利用不相等時(shí)，即可求出的范圍.
【詳解】由，則，
又，則，
又當(dāng)時(shí)，，
因此可得，，
即，又，
因此可得，
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 變量之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，且相對(duì)于點(diǎn)的殘差為，則（）
A. B. C. D. 殘差和為
【答案】AD
【解析】
【分析】結(jié)合回歸方程的性質(zhì)和殘差的定義列方程求，判斷A，B，C，求殘差和判斷D.
【詳解】因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)橄鄬?duì)于點(diǎn)的殘差為，
所以，
所以，，，A正確，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以殘差和為，D正確.
故選：AD.
10. 已知函數(shù)，則（）
A. 的值域是B. 的最小正周期是
C. 關(guān)于對(duì)稱D. 在上單調(diào)遞減
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角余弦公式化簡得出值域及單調(diào)區(qū)間判斷A,D,應(yīng)用周期及對(duì)稱軸判斷B,C.
【詳解】因?yàn)椋?br>令,
,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
在單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，
應(yīng)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，fx在上單調(diào)遞減,D選項(xiàng)正確；
,
的最小正周期是2π,的最小正周期是,
fx的最小正周期是的最小公倍數(shù)為2π,B選項(xiàng)正確；
,fx關(guān)于對(duì)稱，C選項(xiàng)正確；
故選：BCD.
11. 甲、乙、丙、丁四人共同參加4項(xiàng)體育比賽，每項(xiàng)比賽的第一名到第四名的得分依次為5分，3分，2分，1分．比賽結(jié)束甲獲得16分為第一名，乙獲得14分為第二名，且沒有同分的情況．則（）
A. 第三名可能獲得10分
B. 第四名可能獲得6分
C. 第三名可能獲得某一項(xiàng)比賽的第一名
D. 第四名可能在某一項(xiàng)比賽中拿到3分
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行推理分析知：第三、四名的總分為14分，結(jié)合第一、二名的比賽項(xiàng)目名次，即可確定正確的項(xiàng).
詳解】由題設(shè)，
第一名16分，情況如{2個(gè)第一，2個(gè)第二}、{3個(gè)第一，1個(gè)第四}，
第二名14分，情況如{1個(gè)第一，3個(gè)第二}、{2個(gè)第一， 2個(gè)第三}，{2個(gè)第一， 1個(gè)第二，1個(gè)第四}，
所以，第一名與第二名各比賽項(xiàng)目組合情況如下：
第一種情況為：第一名{2個(gè)第一，2個(gè)第二}，第二名{2個(gè)第一， 2個(gè)第三}，或{2個(gè)第一， 1個(gè)第二，1個(gè)第四}，
第二種情況為：第一名{3個(gè)第一，1個(gè)第四}，第二名{1個(gè)第一，3個(gè)第二}，
綜上，第三名最好成績?yōu)閧2個(gè)第二，2個(gè)第三}，即最高分為10分，故A正確，C錯(cuò)誤；
當(dāng)?shù)谌鹻2個(gè)第二，2個(gè)第四}，則第四名{2個(gè)第三，2個(gè)第四}時(shí)，此時(shí)第四名獲得6分，故B正確；
當(dāng)?shù)谌鹻1個(gè)第二，2個(gè)第三，1個(gè)第四}，則第四名{1個(gè)第二，3個(gè)第四}時(shí)，此時(shí)第四名在某一項(xiàng)比賽中拿到3分，故D正確；
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)過原點(diǎn)作曲線的切線，其切線方程為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分類討論，即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得
設(shè)切點(diǎn)為，則，
所以切線方程為，
因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，可得，解得，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得
設(shè)切點(diǎn)為，則，
所切線方程為，
因?yàn)榍悬c(diǎn)過原點(diǎn)，可得，解得，
此時(shí)切線方程為，即，
故答案為：
13. 如圖是一個(gè)的九宮格，小方格內(nèi)的坐標(biāo)表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標(biāo)，重新調(diào)整位置，使得每行、每列各三個(gè)向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為_____________．
【答案】72
【解析】
【分析】要使得每行、每列各三個(gè)向量的和為零向量，根據(jù)對(duì)稱性，確定所在的行和列只能排，
再按分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.
【詳解】
首先對(duì)的九宮格每個(gè)位置標(biāo)注數(shù)字，
第一步先排，一共9個(gè)位置，因此有種排法，
根據(jù)對(duì)稱性知，所在的行和列只能排，
不妨設(shè)在1位置，
第二步排2位置，則從選一個(gè)，因此有種排法，
則3位置的數(shù)也定下來了，
第三步排4位置，則從剩余的兩個(gè)中挑一個(gè)，因此有種排法，
接著排7位置，7位置是中剩余的最后一個(gè)，
相當(dāng)于所在的行和列都定下來了，
則使得每行、每列各三個(gè)向量的和為零向量，其他四個(gè)位置的向量排法是唯一的，
因此按分步乘法計(jì)數(shù)原理知，（種）
因此共有72種排法，
故答案為：72.
14. 已知數(shù)列滿足記的前項(xiàng)和為，若，則_____________；若，則_____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，得到數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，進(jìn)而求得的值，當(dāng)時(shí)，得到，進(jìn)而求得的值.
【詳解】由知數(shù)列an滿足記an的前項(xiàng)和為，
若，，
則，，
可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，一個(gè)周期的和為，
所以；
當(dāng)時(shí)，，
，
，
因?yàn)闀r(shí)，可得，則以三個(gè)為一組循環(huán)，
且，
則
.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 中，所對(duì)的邊分別為，已知是與的等比中項(xiàng)，且是與的等差中項(xiàng)．
（1）證明：；
（2）求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)所得等式，由兩角和與差的正弦公式化簡可得，再由正弦定理化角為邊可得；
（2）由余弦定理化角為邊得等量關(guān)系，再由等比中項(xiàng)所得關(guān)系消，從而求得，再由余弦定理轉(zhuǎn)化為邊之比求解可得.
【小問1詳解】
由題，得，
，
因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，
所以，
三角形內(nèi)角，，
則，
在中，由正弦定理，得，
因此．
【小問2詳解】
在中，由余弦定理得，
由（1）知，則，即．
因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，
從而，即，則有.
從而，解得或（舍去），
在中，由余弦定理得
，
因此．
16. 如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在底面圓上，3，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）先根據(jù)題意證明平面平面，從而點(diǎn)到平面的距離即等價(jià)于點(diǎn)到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的距離向量求法即可求解.
【小問1詳解】
證明：取的中點(diǎn)為，連接，如圖所示，
因?yàn)辄c(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，所以，且．
在圓柱的軸截面四邊形中，．
所以，因此四邊形是平行四邊形．
所以，又平面平面，所以平面．
【小問2詳解】
由圓的性質(zhì)可知，連接延長必與圓交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，所以平面，
又平面，且且都在面，所以平面平面．
從而點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中垂線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則
所以，
設(shè)n=x,y,z為平面的一個(gè)法向量，
則由可取
因此點(diǎn)到平面的距離，
故點(diǎn)到平面的距離為．
17. 某學(xué)校有兩家餐廳，王同學(xué)每天中午會(huì)在兩家餐廳中選擇一家用餐，如果前一天選擇了餐廳則后一天繼續(xù)選擇餐廳的概率為，前一天選擇餐廳則后一天選擇餐廳的概率為，如此往復(fù)．已知他第1天選擇餐廳的概率為，第2天選擇餐廳的概率為．
（1）求王同學(xué)第天恰好有兩天在餐廳用餐的概率；
（2）求王同學(xué)第天選擇餐廳用餐的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)“王同學(xué)第天選擇餐廳”，利用全概率公式求出p=0.5，再設(shè)設(shè)“王同學(xué)第天恰好有兩天在餐廳用餐”，再利用全概率公式從而可求解.
（2）利用全概率公式可得，化簡得到，從而可證為等比數(shù)列，從而可求解.
【小問1詳解】
設(shè)“王同學(xué)第天選擇餐廳”．
．
由全概率公式，得，解得．
設(shè)“王同學(xué)第天恰好有兩天在餐廳用餐”，則，
因此．
【小問2詳解】
設(shè)“王同學(xué)第天選擇餐廳”，則，
由題與（1）可得．
由全概率公式，得．
則，又因?yàn)椋?br>所以是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
因此，即．
18. 設(shè)直線．點(diǎn)和點(diǎn)分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)，求當(dāng)取得最小值時(shí)直線的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．
【答案】（1）
（2）或
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，由利用數(shù)量積坐標(biāo)化得到關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式將坐標(biāo)用坐標(biāo)表示，代入消元即可得；
（2）由雙曲線的性質(zhì)可得的范圍，得到最小值，再求解最值狀態(tài)下即為實(shí)軸端點(diǎn)時(shí)的直線方程即可；
（3）求解當(dāng)直線斜率不存在時(shí)的方程；當(dāng)斜率存在時(shí)，寫出直線的方程，利用一垂直二平分求解點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線的方程，觀察方程寫出定點(diǎn).
【小問1詳解】
設(shè)，則，
所以從而
因?yàn)椋?，即?br>則，化簡得．
所以點(diǎn)的軌跡方程為．
【小問2詳解】
由（1）得，則的最小值為1，此時(shí)或，
即或．
當(dāng)時(shí)，可得，從而直線的方程為；
當(dāng)時(shí)，同理可得直線的方程為．
小問3詳解】
設(shè)，，由（2）可知，
當(dāng)時(shí)，直線，得，直線；
當(dāng)時(shí)，直線，得，直線．
當(dāng)是其他點(diǎn)時(shí)，直線斜率存在，
且，
則直線的方程為，
注意到，化簡得．
點(diǎn)與關(guān)于直線AB對(duì)稱，
設(shè)，則由，
解得，
又，所以
，
從而，
令，得，因此直線過定點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題目的關(guān)鍵在于多參設(shè)法的消參方法，一是代入消元，如第（1）問中將用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示代入關(guān)系式即可；二是整體消元，如第（3）問中的應(yīng)用；三是設(shè)而求法，解元消元，如第（3）問中坐標(biāo)的運(yùn)算求解.
19. 函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則稱是連續(xù)的．
（1）請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù)是連續(xù)的，并判斷是否是連續(xù)的，說明理由；
（2）證明：若是連續(xù)的，則是連續(xù)且是連續(xù)的；
（3）當(dāng)時(shí)，，其中，且是連續(xù)的，求的值．
【答案】（1），是的，理由見解析
（2）證明見解析（3）答案見解析
【解析】
【分析】（1）可舉例斜率為的一次函數(shù)，函數(shù)值與自變量的增量相同更易于分析；
（2）利用不等式的同向可加性質(zhì)，將從兩個(gè)角度變形可得，進(jìn)而得證；
（3）利用不等式的同向可加性質(zhì)與（2）結(jié)論先證明是0,1連續(xù)的，可得，然后轉(zhuǎn)化為恒成立求解驗(yàn)證即可.
【小問1詳解】
函數(shù)是連續(xù)的，也是連續(xù)的．理由如下：
由，有，
同理當(dāng)，有，
所以是連續(xù)的，也是連續(xù)的．
【小問2詳解】
因?yàn)槭沁B續(xù)的，由定義可得對(duì)任意，
當(dāng)時(shí)，有，
所以有
，
且，
所以，
所以，
即是連續(xù)的，
又同理可得，即是連續(xù)的．
【小問3詳解】
已知是連續(xù)的，
則由（2）可得，
兩式相減可得，
即是連續(xù)的，
進(jìn)一步有，,是連續(xù)的.
由已知時(shí)，，
若時(shí)，，
則，不滿足.
又對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有，
因?yàn)槭沁B續(xù)的，所以，
又，所以，
所以，
即對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，
故是0,1連續(xù)的．
由上述分析可得，
則當(dāng)，，其中，
有，
所以恒成立．
設(shè)，對(duì)稱軸為.
當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由恒成立，，
則，即，又，則．
由，且，則或，
所以與時(shí)，都滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由，得,
解得，故，又，，且，
所以此時(shí)，滿足題意．
綜上所述，或或或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義題型的關(guān)鍵在于理解定義，此題中對(duì)是連續(xù)的定義的理解關(guān)鍵在于三個(gè)方面：一是不等關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合不等式同向可加性，如（2）問中從上、下界兩角度構(gòu)造不等式，從而得到等量關(guān)系；二是相等關(guān)系的應(yīng)用，等式疊加又得等式，如若是連續(xù)的，則是連續(xù)的；等式相減也得等式，如第（3）問中的分析；三是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，對(duì)是連續(xù)的理解，從形入手考慮切線的斜率變化，研究函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)也是很重要的.
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