1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：高考范圍.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
2. 對(duì)某批電子元件的使用壽命進(jìn)行測(cè)試，從該批次的電子元件中隨機(jī)抽取200個(gè)進(jìn)行使用壽命試驗(yàn)，測(cè)得的使用壽命（單位：小時(shí)）結(jié)果如下表所示：
估計(jì)這批電子元件使用壽命的第60百分位數(shù)為（ ）
A. 165B. 170C. 175D. 185
3. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B.
C. D.
4. 如圖，在矩形中，過邊上的點(diǎn)分別作的垂線，分別交于，過邊上點(diǎn)作的垂線，分別交于，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
5. 已知，集合，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
6. 在中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
7. 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A B.
C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復(fù)雜的智力競技活動(dòng)之一.現(xiàn)代圍棋棋盤共有19行19列，361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)黑子?白子?空三種情況，因此整個(gè)棋盤上有種不同的情況，下面對(duì)于數(shù)字的判斷正確的是（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A. 的個(gè)位數(shù)是3B. 的個(gè)位數(shù)是1
C. 是173位數(shù)D. 是172位數(shù)
10. 已知函數(shù)在內(nèi)無極值點(diǎn)，且，則（ ）
A.
B. 的最小正周期為
C. 若不等式在區(qū)間上有解，則
D. 將的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱
11. 如圖，在棱長為4的正方體中，為棱的中點(diǎn)，，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為，則（ ）
A. 不存在，使得平面
B. 當(dāng)平面平面時(shí)，
C. 線段長的最小值為
D. 當(dāng)時(shí)，
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則__________.
13. 在三棱錐中，，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為__________.
14. 已知分別為橢圓的上?下焦點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若垂直平分線段，則的周長為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 學(xué)生的安全是關(guān)乎千家萬戶的大事，對(duì)學(xué)生進(jìn)行安全教育是學(xué)校教育的一個(gè)重要方面.臨近暑假，某市教體局針對(duì)當(dāng)前的實(shí)際情況，組織各學(xué)校進(jìn)行安全教育，并進(jìn)行了安全知識(shí)和意識(shí)的測(cè)試，滿分100分，成績不低于60分為合格，否則為不合格.為了解安全教育的成效，隨機(jī)抽查了轄區(qū)內(nèi)某校180名學(xué)生的測(cè)試成績，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果制作成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）若抽查學(xué)生中，分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為測(cè)試成績與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）若對(duì)抽查學(xué)生的測(cè)試成績進(jìn)行量化轉(zhuǎn)換，“合格”記5分，“不合格”記0分.按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從“合格”與“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)選取10人進(jìn)行座談，再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
16. 已知函數(shù).
（1）若，當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）若，討論的單調(diào)性.
17. 如圖，在中，分別為邊的中點(diǎn)，將沿折起到處，為線段的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
18. 已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，一條漸近線的傾斜角為的離心率為在上.
（1）求的方程；
（2）過的直線交于兩點(diǎn)（在軸上方），直線分別交軸于點(diǎn)，判斷（為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.
19. 對(duì)任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和.
（1）若，求數(shù)列前項(xiàng)和；
（2）對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值.使用壽命（小時(shí)）
100
120
150
165
185
200
210
230
個(gè)數(shù)
8
32
45
35
23
26
19
12
不合格
合格
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
0.1
005
0.005
2.706
3.841
7.879
高二數(shù)學(xué)
考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.
3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：高考范圍.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先對(duì)化簡求出其實(shí)部和虛部，然后由其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，列不等式組可求出實(shí)數(shù)的取值范圍
【詳解】因?yàn)椋?br>所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，
所以，解得.
故選：D.
2. 對(duì)某批電子元件的使用壽命進(jìn)行測(cè)試，從該批次的電子元件中隨機(jī)抽取200個(gè)進(jìn)行使用壽命試驗(yàn)，測(cè)得的使用壽命（單位：小時(shí)）結(jié)果如下表所示：
估計(jì)這批電子元件使用壽命的第60百分位數(shù)為（ ）
A. 165B. 170C. 175D. 185
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)闉檎麛?shù)，所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是將這組數(shù)據(jù)從小到大排列后第120個(gè)數(shù)據(jù)和第121個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由表知，第120個(gè)數(shù)據(jù)為165，第121個(gè)數(shù)據(jù)為185，所以第60百分位數(shù)為.
故選：C.
3. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將拋物線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式，由定義求出準(zhǔn)線.
【詳解】由得，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：D
4. 如圖，在矩形中，過邊上的點(diǎn)分別作的垂線，分別交于，過邊上點(diǎn)作的垂線，分別交于，，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（ ）

A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義即可求解.
【詳解】在上的投影向量僅有4種情況，分別是，
由數(shù)量積的幾何意義知也僅有4個(gè)不同的值，所以該集合中有4個(gè)元素.
故選：B.
5. 已知，集合，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】先由求出，然后利用充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】若，則，或，所以，或.
當(dāng)時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性，故；
當(dāng)時(shí)，，
故由，可得；
反之，當(dāng)時(shí)，顯然也成立.
故“”是“”的充要條件.
故選：C.
6. 在中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知條件利用正弦定理化簡得，余弦定理把角化邊，結(jié)合基本不等式求最小值.
【詳解】由，有，
由正弦定理，得，
則，有，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即最小值為.
故選：A.
7. 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)后結(jié)合已知可得在上單調(diào)遞減，再由可得到時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再利用為奇函數(shù)，可求出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>于是當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即.
又為上的奇函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又，
所以的解集為.
故選：A.
8. 已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，由，得點(diǎn)軌跡方程，，故當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時(shí)，取得最小值，點(diǎn)軌跡方程與直線聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.
【詳解】設(shè)，由，得，化簡得，
由，得，所以，
故當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時(shí)，取得最小值，
此時(shí)線段的方程為，由并結(jié)合，
解得故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復(fù)雜的智力競技活動(dòng)之一.現(xiàn)代圍棋棋盤共有19行19列，361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)黑子?白子?空三種情況，因此整個(gè)棋盤上有種不同的情況，下面對(duì)于數(shù)字的判斷正確的是（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A. 的個(gè)位數(shù)是3B. 的個(gè)位數(shù)是1
C. 是173位數(shù)D. 是172位數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)于AB，因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)以4為周期循環(huán)往復(fù)，則的個(gè)位數(shù)與的個(gè)位數(shù)相同，即可判斷AB；對(duì)于CD，通過對(duì)數(shù)運(yùn)算，得即可判斷CD.
【詳解】對(duì)于AB,由，
個(gè)位數(shù)分別為以4為周期循環(huán)往復(fù)，
因?yàn)橛鄶?shù)為1，
故的個(gè)位數(shù)與的個(gè)位數(shù)相同，
即的個(gè)位數(shù)為3，故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以為173位數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 已知函數(shù)在內(nèi)無極值點(diǎn)，且，則（ ）
A.
B. 的最小正周期為
C. 若不等式在區(qū)間上有解，則
D. 將的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱
【答案】ACD
【解析】
【分析】先對(duì)函數(shù)化簡變形得，然后由可得，再由在內(nèi)無極值點(diǎn)，得，則得，從而可求出，求出的解析式，再逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】，
由，得，
所以的最小正周期，
又在內(nèi)無極值點(diǎn)，所以，
所以，所以，經(jīng)驗(yàn)證符合條件，
所以，
對(duì)于A，，所以A正確，
對(duì)于B，的最小正周期為，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，由在上有解，
得在上有解，所以，解得，故C正確；
對(duì)于D，將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得的圖象，
令，則，
所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故D正確.
故選：ACD.
11. 如圖，在棱長為4的正方體中，為棱的中點(diǎn)，，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為，則（ ）
A. 不存在，使得平面
B. 當(dāng)平面平面時(shí)，
C. 線段長的最小值為
D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用舉反例可判斷A，利用面面平行的性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算可判斷BC選項(xiàng)，通過畫正方體的截面判斷D選項(xiàng)的正確性，從而確定正確答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，與重合，與重合，
易證平面，即存在，使得平面，故A錯(cuò)誤；
若平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以，設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以為的中點(diǎn)，所以，延長到，使得，
同理可得，又，所以，又為中點(diǎn)，
所以，所以，所以，故B正確；
由題意知，且，
故
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，故C正確；
當(dāng)時(shí)，易得為正六邊形（如圖六邊形），其邊長為，
故的面積為
.，
所以，故D正確.
故選：BCD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則__________.
【答案】-448
【解析】
【分析】根據(jù)展開式，將配為即可根據(jù)二項(xiàng)式定理進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】由題意知為的展開式中項(xiàng)的系數(shù)，即展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)，其為.
故答案為：-448.
13. 在三棱錐中，，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由三棱錐三條側(cè)棱相等可知三棱錐的外接球球心在正三棱錐的高上且點(diǎn)在底面的射影即為的外心,可先由正弦定理求得外接圓半徑，再由勾股定理求得外接球半徑,即可求得球的表面積.
【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面上的射影為的外心，
如下圖，又，所以的外接圓的半徑，
從而三棱錐的高為.
設(shè)該三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，
故球的表面積為.
故答案為：.
14. 已知分別為橢圓的上?下焦點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若垂直平分線段，則的周長為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)直線l過，求出c和a的值；連接，根據(jù)垂直平分線段得，從而可得的周長為．
【詳解】由題意知A為的左頂點(diǎn)，設(shè)的半焦距為，則，
所以線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為，
所以的斜率為，所以直線的方程為，
又過，所以，解得，
所以.
連接，因?yàn)榇怪逼椒志€段，所以，
所以的周長為.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 學(xué)生的安全是關(guān)乎千家萬戶的大事，對(duì)學(xué)生進(jìn)行安全教育是學(xué)校教育的一個(gè)重要方面.臨近暑假，某市教體局針對(duì)當(dāng)前的實(shí)際情況，組織各學(xué)校進(jìn)行安全教育，并進(jìn)行了安全知識(shí)和意識(shí)的測(cè)試，滿分100分，成績不低于60分為合格，否則為不合格.為了解安全教育的成效，隨機(jī)抽查了轄區(qū)內(nèi)某校180名學(xué)生的測(cè)試成績，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果制作成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）若抽查的學(xué)生中，分?jǐn)?shù)段內(nèi)的女生人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為測(cè)試成績與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）若對(duì)抽查學(xué)生的測(cè)試成績進(jìn)行量化轉(zhuǎn)換，“合格”記5分，“不合格”記0分.按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從“合格”與“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)選取10人進(jìn)行座談，再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，測(cè)試成績與性別無關(guān)聯(lián)
（2）分布列見解析，12
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出每一組的人數(shù)，然后填寫列聯(lián)表，再利用公式求出，與臨界值表比較可得答案；
（2）利用分層隨機(jī)抽樣的定義計(jì)算出從“合格”與“不合格”的學(xué)生中抽取的人數(shù)，則可得的取值為，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖知，得分在的人數(shù)分別為
，，
由題意知“不合格”的人數(shù)為72，“合格”的人數(shù)為108，
故列聯(lián)表為：
零假設(shè)：測(cè)試成績與性別無關(guān)聯(lián)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得
，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即測(cè)試成績與性別無關(guān)聯(lián).
【小問2詳解】
在“合格”中抽的人數(shù)為，“不合格”中抽的人數(shù)為，
故的取值為，則
，
，
故所求分布列為
所以.
16. 已知函數(shù).
（1）若，當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）若，討論的單調(diào)性.
【答案】（1）證明見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)性，進(jìn)而可得到，即可證明結(jié)果；
（2）對(duì)求導(dǎo)得到，令，得到或，再對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，即證當(dāng)時(shí)，，
令，則，
令，則在區(qū)間上恒成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以在區(qū)間上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以在上單調(diào)遞減，
所以對(duì)，所以，即.
【小問2詳解】
，令，得或，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，令，得，或，令，得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
③當(dāng)時(shí)，，令，得，或，令，得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
17. 如圖，在中，分別為邊的中點(diǎn)，將沿折起到處，為線段的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明平面，即可求解；
（2）以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，即可解出.
【小問1詳解】
證明：取的中點(diǎn)，連接，則，且，
由題意知，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
由題意知，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)槠矫?，所以平面?br>又平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
解：設(shè)，則，
所以，所以，
因?yàn)樵谥校?，所以?br>所以，
所以兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，
令，解得，所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，
令，解得，所以，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，一條漸近線的傾斜角為的離心率為在上.
（1）求的方程；
（2）過的直線交于兩點(diǎn)（在軸上方），直線分別交軸于點(diǎn)，判斷（為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
【分析】（1）由漸近線的傾斜角為，可得，從而可求出離心率，則可得，代入雙曲線方程，再結(jié)合可求得，從而可求出雙曲線的方程；
（2）設(shè)的方程為，代入雙曲線方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線的方程和直線的方程，從而可表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后化簡計(jì)算即可.
【小問1詳解】
因?yàn)榈囊粭l漸近線的傾斜角為，所以其斜率為，
所以，所以，
又，即在上，所以，
所以，故的方程為.
小問2詳解】
由（1）得，設(shè)，
由題意知的斜率不為0，設(shè)的方程為，
代入的方程并整理，得，
則，
所以，且.
直線的方程為，令，得，故，
直線的方程為，令，得，故，
所以
所以為定值，且定值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線中的定值問題，（2）問解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入雙曲線方程化簡后，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
19. 對(duì)任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和.
（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值.
【答案】（1）
（2）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）由豐度指數(shù)的定義，結(jié)合的正因數(shù)，求出，再由分組求和與錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）由豐度指數(shù)的定義，證明，利用結(jié)論求的值.
【小問1詳解】
因?yàn)楣灿袀€(gè)正因數(shù)，它們是，
所以，
即，所以，
所以
令，則；
令，
則，
兩式相減，得，
所以，
所以.
小問2詳解】
證明：因?yàn)闉橘|(zhì)數(shù)，則的正因數(shù)有4個(gè)，它們是，
的正因數(shù)均有2個(gè)，分別為和；
的正因數(shù)有個(gè)，分別為.
所以，
因?yàn)?，所?br>.
使用壽命（小時(shí)）
100
120
150
165
185
200
210
230
個(gè)數(shù)
8
32
45
35
23
26
19
12
不合格
合格
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
0.1
0.05
0.005
2.706
3.841
7.879
不合格
合格
合計(jì)
男生
42
48
90
女生
30
60
90
合計(jì)
72
108
180
0
5
10
15
20

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