考點(diǎn)一 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
（一）給角求值
（二）給值（式）求值
（三）給值求角
（四）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
（五）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)二 二倍角公式
（一）給角求值
（二）給值（式）求值
（三）給值求角
（四）與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合
（五）與誘導(dǎo)公式的綜合
（六）利用二倍角公式化簡(jiǎn)求值
考點(diǎn)三 輔助角公式的應(yīng)用
考點(diǎn)四 簡(jiǎn)單的三角恒等變換
（一）半角公式的應(yīng)用
（二）三角恒等式的證明
（三） 三角恒等變換的綜合問題
1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
(1)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
二倍角是相對(duì)的，如：eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的2倍，3α是eq \f(3α,2)的2倍.
2. 簡(jiǎn)單的三角恒等變換
(1)降冪公式
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2).
sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
(2)升冪公式
1＋csα＝2cs2eq \f(α,2). 1－csα＝2sin2eq \f(α,2). 1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2). 1－sinα＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
注：
萬能公式
(4)其他常用變式
3. 輔助角公式（同角異名1次）
asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，或tanφ＝eq \f(b,a). 其中φ稱為輔助角，它的終邊所在象限由點(diǎn)（a，b）決定．
4. 半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(1－csα,sinα).
5. 常用的拆角、拼角技巧
(1)15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq \f(30°,2).
(2)，α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β). α－β＝(α－γ)＋(γ－β)
(3)eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，eq \f(π,6)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))，
eq \f(π,3)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))，eq \f(π,4)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α)). eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
6. 應(yīng)用和、差、倍角公式化簡(jiǎn)求值的策略
(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反”；
(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用；
(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．
7. 和、差、倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧
(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；
(2)和差角公式變形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1?tan α·tan β)；
(3)倍角公式變形：降冪公式．
(4)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題．
8. 解決非特殊角求值問題的基本思路有：
①化非特殊角為特殊角；
②化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去后求值；
③化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)，進(jìn)行約分求值；
④當(dāng)有α，2α，3α，4α同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)式子中時(shí)，一般將α向2α，3α(或4α)向2α轉(zhuǎn)化，再求關(guān)于2α式子的值．
9. 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則
注：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值的一般思路：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等.
10. 給值(式)求值的解題策略
(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．
(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
(3)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．
(4)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．
(5)給值求值型恒等變換問題，重在對(duì)所給條件進(jìn)行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所給值的符號(hào)判斷角所在的象限等. 必要時(shí)還要進(jìn)行估算，如銳角α的余弦值為eq \f(3,5)，由eq \f(1,2)＜eq \f(3,5)＜eq \f(\r(2),2)，及余弦函數(shù)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減可知45°＜α＜60°，從而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三種主要變換：①變角，通常是“配湊”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等；②變名，通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手段通常有“切化弦”“升冪與降冪”等；③變式，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手段通常有：“常值代換”如1＝taneq \f(π,4)，1＝sin2α＋cs2α“逆用變換公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等. 其中角的變換居核心地位. 11. 已知三角函數(shù)值求角的解題步驟
(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．（在給值求角時(shí)，一般地選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設(shè)確定所求角的范圍，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出角. 確定角的范圍是關(guān)鍵，一定要使所選的函數(shù)在此范圍內(nèi)是單調(diào)的，必要時(shí)，還需根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍.）
(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)
（已知三角函數(shù)值求角，選三角函數(shù)時(shí)可按下列規(guī)則：(i)已知正切值，常選正切函數(shù)；(ii)已知正、余弦值，常選正弦或余弦函數(shù)；(iii)若角的范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，常選正、余弦函數(shù)；(iv)若角的范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，常選正弦函數(shù)；(v)若角的范圍是(0，π)或(π，2π)，常選余弦函數(shù). ）
(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．
12. 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時(shí)常常借助半角公式求解．
(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號(hào)問題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍．
(3)選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常先利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)計(jì)算．
13. 三角恒等式證明的常用方法
(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡(jiǎn)．
(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．
(3)拼湊法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之間的差異，簡(jiǎn)言之，即化異求同．
(4)比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”．
(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．
考點(diǎn)一 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
（一）給角求值
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的值是
A．B．C．D．
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）______．
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）__________.
（二）給值（式）求值
5．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知，且，，則（ ）
A．B．C．D．
6．（江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知，且，則csβ=（ ）
A．B．C．D．0
7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．B．C．D．
8．（山西省晉中市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（A卷））已知，為銳角，且，，則（ ）
A．B．C．D．
9．（河南省名校青桐鳴2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則_____
11．【多選】（河北省承德市2023屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知，，，下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知、均為銳角，且，，則_____________.
（三）給值求角
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知都是銳角，，則___________.
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若，則________．
16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是方程的兩根，且，則（ ）．
A．B．C．或D．
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，，則的值是（ ）
A．B．C．D．
18．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角為銳角，，且滿足，
(1)證明：；
(2)求.
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，求的值為_____．
（四）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
22．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．0B．C．D．
23．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則__________.
24．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？家荒＃┮阎瑒t的最大值為（ ）
A．B．C．D．
（五）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用
27．（河南省部分學(xué)校2023屆高三高考仿真適應(yīng)性測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．8B．C．4D．
28．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）在中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且，.，，則DC=___________.
29．【多選】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．D．
30．（廣東省潮州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范圍.
考點(diǎn)二 二倍角公式
（一）給角求值
31．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
32．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）的值為（ ）
A．B．C．D．1
33．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，___________.
35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
（二）給值（式）求值
36．【多選】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，其中，則（ ）
A．B．C．D．
37．（2023·福建泉州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則______．
38．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎?，則________．
39．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，其中，為銳角，則以下命題正確的是（ ）
A．B．
C．D．
40．（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則__________．
41．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知，，則的值為（ ）
A．0B．C．D．
42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．－1C．D．
43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
（三）給值求角
44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知且，則=（ ）
A．B．
C．D．或
45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則______．
（四）與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合
46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則_________
47．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則_________．
48．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．1C．D．
（五）與誘導(dǎo)公式的綜合
49．（2023春·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，則（ ）
A．B．C．D．
50．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的值為（ ）.
A．B．C．D．
51．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
52．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
（六）利用二倍角公式化簡(jiǎn)求值
53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則__________．
54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（ ）
A．5B．C．2D．4
55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的值；
(2)已知，求的值．
考點(diǎn)三 輔助角公式的應(yīng)用
56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為________，最小值為________.
57．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若，則函數(shù)的值域?yàn)開_____.
58．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.
59．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，則__________.
60．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）若，則（ ）
A．B．C．D．
61．（2023秋·福建莆田·高三?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間的值域；
考點(diǎn)四 簡(jiǎn)單的三角恒等變換
（一）半角公式的應(yīng)用
62．（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）已知，則__________.
63．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則（ ）．
A．B．C．D．
64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，是第三象限的角，則＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
65．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Prfwithutwrds，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時(shí)被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數(shù)公式是（ ）
A．B．
C．D．
（二）三角恒等式的證明
66．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足．
(1)證明：；
(2)求的最大值．
67．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）小明在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．
①；
②；
③；
④；
⑤．
(1)請(qǐng)依據(jù)②式求出這個(gè)常數(shù)；
(2)相據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將小明的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．
68．（2023春·江蘇宿遷·高三?？茧A段練習(xí)）已知為斜三角形．
(1)證明：；
(2)若為銳角三角形，，求的最小值．
（三） 三角恒等變換的綜合問題
69．（2023春·北京·高三清華附中校考期中）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求相應(yīng)的的值.
70．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知向量，.設(shè).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，，三角形的面積為，求邊的長(zhǎng).
71．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，分別是角的對(duì)邊，且滿足.
(1)求角的大?。?br>(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.
72．（2023春·四川成都·高三成都外國(guó)語學(xué)校校考期中）已知向量，．設(shè)函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)減區(qū)間；
(2)若將的圖像上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像．當(dāng)（其中）時(shí)，記函數(shù)的最大值與最小值分別為與，設(shè)，且使對(duì)都有成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．
73．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）嘉祥教育秉承“為生活美好?社會(huì)吉祥而努力”的企業(yè)理念及“堅(jiān)韌不拔?創(chuàng)造第一”的企業(yè)精神，經(jīng)過30年的發(fā)展和積累，目前已建設(shè)成為具有高度文明素質(zhì)和良好社會(huì)信譽(yù)的綜合性教育集團(tuán).某市有一塊三角形地塊，因發(fā)展所需，當(dāng)?shù)卣F(xiàn)劃撥該地塊為教育用地，希望嘉祥集團(tuán)能幫助打造一所新的教育品牌學(xué)校.為更好地利用好這塊土地，集團(tuán)公司決定在高三年級(jí)學(xué)生中征集解決方案.如圖所示，是中點(diǎn)，分別在上，擬建成辦公區(qū)，四邊形擬建成教學(xué)區(qū)，擬建成生活區(qū)，和擬建成專用通道，，記.
(1)若，求教學(xué)區(qū)所在四邊形的面積；
(2)當(dāng)取何值時(shí)，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
記憶口訣：1、余余正正符號(hào)反2、同名相乘、加減相反3、諧音：“吃吃睡睡，顛倒黑白”
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β(異名相乘、加減一致)
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β(異名相乘、加減一致)
記憶口訣：1、正余余正符號(hào)同2、異名相乘、加減一致3、諧音：“上錯(cuò)廁所，一一對(duì)應(yīng)”
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；(兩式相除、上同下異)．
變形：①tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)②tan α·tan β＝eq \f(tan α－tan β,tan(α－β))－1
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；(兩式相除、上同下異)．
變形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)②tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan(α＋β))
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α；
變形：sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α，csα＝eq \f(sin2α,2sinα)，
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
變形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）
考點(diǎn)21 三角恒等變換4種常見考法歸類
考點(diǎn)一 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
（一）給角求值
（二）給值（式）求值
（三）給值求角
（四）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
（五）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)二 二倍角公式
（一）給角求值
（二）給值（式）求值
（三）給值求角
（四）與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合
（五）與誘導(dǎo)公式的綜合
（六）利用二倍角公式化簡(jiǎn)求值
考點(diǎn)三 輔助角公式的應(yīng)用
考點(diǎn)四 簡(jiǎn)單的三角恒等變換
（一）半角公式的應(yīng)用
（二）三角恒等式的證明
（三） 三角恒等變換的綜合問題
1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
(1)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
二倍角是相對(duì)的，如：eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的2倍，3α是eq \f(3α,2)的2倍.
2. 簡(jiǎn)單的三角恒等變換
(1)降冪公式
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2).
sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
(2)升冪公式
1＋csα＝2cs2eq \f(α,2). 1－csα＝2sin2eq \f(α,2). 1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2). 1－sinα＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
注：
萬能公式
(4)其他常用變式
3. 輔助角公式（同角異名1次）
asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，或tanφ＝eq \f(b,a). 其中φ稱為輔助角，它的終邊所在象限由點(diǎn)（a，b）決定．
4. 半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(1－csα,sinα).
5. 常用的拆角、拼角技巧
(1)15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq \f(30°,2).
(2)，α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β). α－β＝(α－γ)＋(γ－β)
(3)eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，eq \f(π,6)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))，
eq \f(π,3)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))，eq \f(π,4)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α)). eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
6. 應(yīng)用和、差、倍角公式化簡(jiǎn)求值的策略
(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反”；
(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用；
(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．
7. 和、差、倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧
(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；
(2)和差角公式變形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1?tan α·tan β)；
(3)倍角公式變形：降冪公式．
(4)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題．
8. 解決非特殊角求值問題的基本思路有：
①化非特殊角為特殊角；
②化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去后求值；
③化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)，進(jìn)行約分求值；
④當(dāng)有α，2α，3α，4α同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)式子中時(shí)，一般將α向2α，3α(或4α)向2α轉(zhuǎn)化，再求關(guān)于2α式子的值．
9. 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則
注：三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值的一般思路：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等.
10. 給值(式)求值的解題策略
(1)已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角．
(2)由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
(3)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．
(4)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．
(5)給值求值型恒等變換問題，重在對(duì)所給條件進(jìn)行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所給值的符號(hào)判斷角所在的象限等. 必要時(shí)還要進(jìn)行估算，如銳角α的余弦值為eq \f(3,5)，由eq \f(1,2)＜eq \f(3,5)＜eq \f(\r(2),2)，及余弦函數(shù)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減可知45°＜α＜60°，從而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三種主要變換：①變角，通常是“配湊”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等；②變名，通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手段通常有“切化弦”“升冪與降冪”等；③變式，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手段通常有：“常值代換”如1＝taneq \f(π,4)，1＝sin2α＋cs2α“逆用變換公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等. 其中角的變換居核心地位.
11. 已知三角函數(shù)值求角的解題步驟
(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍．（在給值求角時(shí)，一般地選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設(shè)確定所求角的范圍，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出角. 確定角的范圍是關(guān)鍵，一定要使所選的函數(shù)在此范圍內(nèi)是單調(diào)的，必要時(shí)，還需根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍.）
(2)求所求角的某種三角函數(shù)值．為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)
（已知三角函數(shù)值求角，選三角函數(shù)時(shí)可按下列規(guī)則：(i)已知正切值，常選正切函數(shù)；(ii)已知正、余弦值，常選正弦或余弦函數(shù)；(iii)若角的范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，常選正、余弦函數(shù)；(iv)若角的范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，常選正弦函數(shù)；(v)若角的范圍是(0，π)或(π，2π)，常選余弦函數(shù). ）
(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角．
12. 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時(shí)常常借助半角公式求解．
(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號(hào)問題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍．
(3)選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時(shí)，常先利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)計(jì)算．
13. 三角恒等式證明的常用方法
(1)執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡(jiǎn)．
(2)左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．
(3)拼湊法：針對(duì)題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對(duì)性地變形，以消除它們之間的差異，簡(jiǎn)言之，即化異求同．
(4)比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”．
(5)分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實(shí)為止，就可以斷定原等式成立．
考點(diǎn)一 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
（一）給角求值
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的值是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】變形后，根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算可得答案.
【詳解】
，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角恒等變換化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】已知可化為：.
故選：A
3．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）______．
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.
【詳解】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，可得：
.
故答案為：.
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）__________.
【答案】2
【分析】根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
，
所以
故答案為：2.
（二）給值（式）求值
5．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)，，求出，，再利用兩角差的余弦公式求
【詳解】解析：，，，
，，
，
故選：A.
6．（江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理）試題）已知，且，則csβ=（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【分析】利用三角恒等變換計(jì)算即可，注意整體思想的運(yùn)用.
【詳解】解法一：∵，∴，
又，∴，
∴
，
故選：D．
解法二：∵，∴，∴，
即
∵
∴，
故選：D．
7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正切函數(shù)的和差公式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：A.
8．（山西省晉中市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（A卷））已知，為銳角，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件，結(jié)合同角關(guān)系求，再由特殊角三角函數(shù)值求，再利用兩角差的余弦公式求.
【詳解】因?yàn)?，所?，
又，為銳角，
所以，，且．
因?yàn)?，為銳角，，所以，
又， 所以，
故．
故選：D.
9．（河南省名校青桐鳴2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)切化弦以及兩角和差公式解出，代入兩角差的余弦公式即可.
【詳解】由題意可得，
即，，
故.
故選：A.
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則_____
【答案】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，由求出，從而求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得.
【詳解】，，所以，
，
，
，
所以.
故答案為：
11．【多選】（河北省承德市2023屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知，，，下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及誘導(dǎo)公式可得可得，進(jìn)而可判斷A，根據(jù)和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.
【詳解】由于且，所以，
又，，
故或，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足，故，所以，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，，故B正確，
對(duì)于C, ，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，由B可知，所以，故D正確，
故選：BD
12．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由求得，再使用湊配角由求.
【詳解】，解得，
則．
故選：D
13．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知、均為銳角，且，，則_____________.
【答案】/
【分析】利用題目信息以及平方關(guān)系分別計(jì)算得、角的正弦、余弦值，再利用兩角差的正弦公式即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，即?br>所以，
又，即，則，
又、均為銳角，所以，，
所以，，
所以.
故答案為：
（三）給值求角
14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知都是銳角，，則___________.
【答案】/
【分析】要求，先求，結(jié)合已知可有，利用兩角差的余弦公式展開可求.
【詳解】、為銳角，
，
，
由于為銳角，
故答案為：
15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若，則________．
【答案】
【詳解】因?yàn)?所以,又因?yàn)?所以
,所以=
==,又因?yàn)?所以β=.
16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是方程的兩根，且，則（ ）．
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】利用兩角和的正切公式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋欠匠痰膬筛?br>所以
所以，
因?yàn)?br>所以且，
所以，所以，
所以，
故選:B.
17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得，利用兩角和差余弦公式可求得，結(jié)合可得結(jié)果.
【詳解】，，，，
，
又，.
故選：B.
18．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】首先由兩角和的正切公式得出，即可得到的取值；
【詳解】解：由題意得，
所以，
所以的值可能為，．
故選：AC
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的余弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，?br>又，所以，
所以.
（2）解：因?yàn)椋?br>，
又因?yàn)?，所以?br>由（1）知，，
所以．
因?yàn)?，，則，所以．
20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知角為銳角，，且滿足，
(1)證明：；
(2)求.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)二倍角的正切公式計(jì)算可得即可證明；
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，，再根據(jù)兩角和差的正弦公式，結(jié)合求解即可
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)闉殇J角且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以
（2）由，結(jié)合角為銳角，解得，，
因?yàn)?，?br>所以.
又，
所以
21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，求的值為_____．
【答案】/
【分析】注意到，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解，注意范圍的確定.
【詳解】，則，注意到
，于是
，不妨記
，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：
，而，于是
.
故答案為：.
（四）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
22．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】利用兩角和差的正弦公式將題給條件化簡(jiǎn)，得到關(guān)于的方程，解之即可求得的值.
【詳解】
，
，
又，
則，則
故選：A
23．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則__________.
【答案】2
【分析】利用兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)求，再化簡(jiǎn)求值.
【詳解】已知，所以，，
.
故答案為：2
24．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用兩角和的正弦公式將式子展開，然后平方得到，
然后利用已知條件得到，并求出和的值，代入所求式子即可求解.
【詳解】由可得，
則有，平方可得，則，
因?yàn)?，所以?br>則，
所以，所以，
故選：C.
25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式公式得到，再將弦化切，求出，最后利用兩角差的正切公式及二倍角公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，所以，
所以，解得或，
因?yàn)?，所以?br>所以
.
故選：D
26．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？家荒＃┮阎瑒t的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】對(duì)題目條件進(jìn)行三角恒等變化，得，將轉(zhuǎn)化為，求出最值.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
，
即，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最大值.
故選：B.
（五）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的綜合應(yīng)用
27．（河南省部分學(xué)校2023屆高三高考仿真適應(yīng)性測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．8B．C．4D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>，.
所以.
所以.
故選：A
28．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）在中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且，.，，則DC=___________.
【答案】3
【分析】在中，利用余弦定理得到進(jìn)而在中，利用兩角差正弦公式得到結(jié)果．
【詳解】在中，，可得.
又由余弦定理，，可得.
在中，，
由此可得，
由已知可得，代入可得，
所以，所以.
故答案為：3.
29．【多選】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長(zhǎng)”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動(dòng)點(diǎn)P在上（含端點(diǎn)），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．D．
【答案】ABD
【分析】建立平面直角系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，可得，由，結(jié)合題中條件可判斷A，B，表示出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判斷C，D.
【詳解】如圖，作,分別以為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
由可得 ，且，
若，則，
解得，（負(fù)值舍去），故，A正確；
若，則，，所以，
所以，故B正確；
，由于，故，
故，故C錯(cuò)誤；
由于，
故
，而，所以，
所以，故D正確，
故選：ABD
30．（廣東省潮州市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式即可求解，
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1），
又,所以,
由于為三角形的內(nèi)角，所以,
（2）由于，所以,
故,
由于為銳角三角形，所以且，故，
則，故，
故的取值范圍為
考點(diǎn)二 二倍角公式
（一）給角求值
31．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用二倍角公式，兩角和差的正弦、正切公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得；
【詳解】解：對(duì)于A：，故A正確；
對(duì)于B：
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，故C正確；
對(duì)于D：，故D正確；
故選：ACD
32．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測(cè)）的值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)和差公式和二倍角公式化簡(jiǎn),即可求解.
【詳解】解：，
，
故，
故選：D.
33．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及輔助角公式可化簡(jiǎn)所求代數(shù)式.
【詳解】原式
.
故選：B.
34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為，若，___________.
【答案】2
【分析】由平方關(guān)系結(jié)合倍角公式得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>故答案為：
35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用輔助角公式以及二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得的值.
【詳解】由已知可得
.
故選：A.
（二）給值（式）求值
36．【多選】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，其中，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】對(duì)于A：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系來計(jì)算判斷；
對(duì)于B：利用倍角公式來計(jì)算判斷；
對(duì)于C：利用倍角公式來計(jì)算判斷；
對(duì)于D：利用兩角差的余弦公式來計(jì)算判斷.
【詳解】對(duì)于A：若，其中，則，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，且，則，故B正確；
對(duì)于C：，故C正確；
對(duì)于D：，故D正確．
故選：BCD.
37．（2023·福建泉州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系先求出，再用二倍角公式求出、，最后再利用余弦的和角公式求．
【詳解】∵，，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：．
38．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？计谥校┮阎瑒t________．
【答案】
【分析】平方，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系即正弦二倍角公式求解.
【詳解】?jī)蛇吰椒降茫?br>，
解得：.
故答案為：
39．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，其中，為銳角，則以下命題正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和與差的余弦公式和積化和差公式即可求解.
【詳解】因?yàn)? ( 為銳角),
故 , 故 正確;
因?yàn)?,
所以

,
故 B 錯(cuò)誤;
由
,
故 ,
故 C 正確;
且 ,
所以 ,
故 D 錯(cuò)誤.
故選: AC.
40．（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習(xí)）已知，，則__________．
【答案】/
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合降冪公式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：由，，得，
所以．
故答案為：
41．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知，，則的值為（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】將已知條件化簡(jiǎn)后兩邊平方，由此求得的值，進(jìn)而求得的值.
【詳解】由于，所以，所以
由化簡(jiǎn)得，
兩邊平方得，
即，解得（負(fù)根舍去），
由于，所以.
故選：A.
42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．－1C．D．
【答案】C
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式、商數(shù)關(guān)系可得，再由和角正切公式展開求得，最后由求值即可.
【詳解】由，
所以，則，
所以，則，故，
由.
故選：C
43．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用降冪公式，化簡(jiǎn)求值.
【詳解】，解得：.
故選：B
（三）給值求角
44．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知且，則=（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件利用三角恒等變換求出的值，再判斷的范圍即可得解.
【詳解】因，則，
，
因，，則，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故選：C
45．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)即可求值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以或，
又，
所以，
故答案為：
（四）與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系綜合
46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則_________
【答案】/
【分析】方法1,、利用正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式化為齊次式，求得，結(jié)合，即可求解；
方法2、利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得和的值，進(jìn)而求得的值.
【詳解】解法1、因?yàn)椋?br>則，
解得或，
又因?yàn)?，所以?br>所以．
解法2、因?yàn)?，可得?br>所以，
，
所以且，
解得，，所以．
故答案為：.
47．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則_________．
【答案】/0.5
【分析】由平方關(guān)系及二倍角公式可得，代入，求解即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以原式．
故答案為：
48．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式，結(jié)合商數(shù)關(guān)系式弦化切，再代入可解得結(jié)果．
【詳解】．
故選：B．
（五）與誘導(dǎo)公式的綜合
49．（2023春·江西南昌·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得到，再利用二倍角公式和商數(shù)關(guān)系求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
，
故選：D．
50．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的值為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用倍角公式以及誘導(dǎo)公式，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.
【詳解】∵，
∴，
∵，
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換解決給值求值問題，屬基礎(chǔ)題.
51．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角余弦公式，化簡(jiǎn)求值，即得答案.
【詳解】由題意得
,
故選：B
52．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考二模）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.
【詳解】
.
故選：D
（六）利用二倍角公式化簡(jiǎn)求值
53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則__________．
【答案】
【分析】根據(jù)和、差角的正、余弦公式與商數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】
．
故答案為：．
54．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則（ ）
A．5B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先求得，然后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】，
所以，則，
所以
故選：A
55．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，最后代入數(shù)值即可；
（2）由，結(jié)合倍角公式即可求得
（1）．∴．
（2）由，得．
考點(diǎn)三 輔助角公式的應(yīng)用
56．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為________，最小值為________.
【答案】
【分析】利用兩角差的余弦公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)合并得到，即可得到最大最小值.
【詳解】
，
，，.
故答案為：；.
57．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若，則函數(shù)的值域?yàn)開_____.
【答案】
【分析】利用誘導(dǎo)公式、三角恒等變換化簡(jiǎn)，再應(yīng)用正弦型函數(shù)性質(zhì)求值域即可.
【詳解】
，
∴時(shí)，，得：.
故答案為：
58．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.
【答案】
【分析】利用輔助角公式求得，根據(jù)倍角公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)目標(biāo)式，即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，故可得?br>則
故答案為：.
59．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，則__________.
【答案】/
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可得，從而求，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，即.
所以，解得.
所以.
故答案為:.
60．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用二倍角公式化簡(jiǎn)已知得到，其中．再求出即得解.
【詳解】由，
得．
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
于是，其中．
所以.
所以
從而．
故選：D
61．（2023秋·福建莆田·高三校考期中）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間的值域；
【答案】(1)最小正周期為，遞增區(qū)間為，；
(2)
【分析】（1）由二倍角公式，結(jié)合輔助角公式得，再利用周期、正弦型函數(shù)單調(diào)性求結(jié)果；
（2）由的范圍求的范圍，進(jìn)而可求出的范圍，從而可求的值域.
【詳解】（1），
∴函數(shù)的最小正周期為.
令，，則，，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）∵，則，∴，
∴，故函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?
考點(diǎn)四 簡(jiǎn)單的三角恒等變換
（一）半角公式的應(yīng)用
62．（2023秋·河北石家莊·高三統(tǒng)考期末）已知，則__________.
【答案】
【分析】利用半角公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，且?br>所以，
故答案為：.
63．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系，半角公式化簡(jiǎn)得到，結(jié)合角的范圍，求出，從而求出正切值.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
又因?yàn)?，所以，?br>故選：B．
64．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，是第三象限的角，則＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
【答案】C
【分析】將表達(dá)式中的正切化成正余弦，由，求出，代入即可求解．
【詳解】由且是第三象限的角，可得，
又由，即.
故選：C.
65．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Prfwithutwrds，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時(shí)被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數(shù)公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直角三角形中的定義寫出，用表示出，然后分析可得．
【詳解】由已知，則，，
又，，，，
因此，
故選：C．
（二）三角恒等式的證明
66．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且滿足．
(1)證明：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）由兩角和的余弦公式展開后變形，再由商數(shù)關(guān)系可證；
（2）由（1）利用平方關(guān)系化右側(cè)為關(guān)于的二次齊次式，再弦化切，然后利用基本不等式得最大值．
【詳解】（1）由已知，
，
∴；
（2），則，，
由（1）得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值是．
67．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）小明在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．
①；
②；
③；
④；
⑤．
(1)請(qǐng)依據(jù)②式求出這個(gè)常數(shù)；
(2)相據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將小明的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)
(2)三角恒等式為，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)②式，由平方公式、倍角公式及特殊角的三角函數(shù)值即可得解；
（2）發(fā)現(xiàn)推廣三角恒等式為 ，由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用展開即可證明．
【詳解】（1）解：由②得；
（2）解：三角恒等式為．
證明如下：
．
68．（2023春·江蘇宿遷·高三?？茧A段練習(xí)）已知為斜三角形．
(1)證明：；
(2)若為銳角三角形，，求的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和的正切公式可證得結(jié)論成立；
（2）推導(dǎo)出，利用（1）中的結(jié)論結(jié)合基本不等式可求得的最小值.
【詳解】（1）證明：，所以．
因?yàn)椋?，所以?br>由，可得．
（2）解：因?yàn)椋?br>所以，可得．
由（1）得
．
因?yàn)闉殇J角三角形，由可知，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，再由（1）可得，
此時(shí)，解得或時(shí)，
即當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
（三） 三角恒等變換的綜合問題
69．（2023春·北京·高三清華附中?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，并求相應(yīng)的的值.
【答案】(1)最小正周期；單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期、單調(diào)區(qū)間的求法可求得結(jié)果；
（2）由的范圍可求得的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可確定最值點(diǎn)和最值.
【詳解】（1），
的最小正周期；
令，解得：，
的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，.
70．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）已知向量，.設(shè).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，，三角形的面積為，求邊的長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式及二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，利用最小正周期公式求解即可；
（2）根據(jù)求出角A，結(jié)合條件及三角形面積公式求出c，利用余弦定理即可求解a.
【詳解】（1）由題意，
，
因此函數(shù)的最小正周期為；
（2）由得，
因?yàn)椋?，解得?br>因?yàn)?，所?
由余弦定理解得,
所以.
71．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，分別是角的對(duì)邊，且滿足.
(1)求角的大?。?br>(2)若是銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將已知等式配湊成的形式，由此可得；
（2）根據(jù)銳角三角形的特征可求得的范圍；利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可化簡(jiǎn)得到，結(jié)合的范圍可確定最值，由此可得結(jié)果.
【詳解】（1）由得：，
，則，
又，.
（2）是銳角三角形，，，解得：；
由正弦定理得：（其中，）；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
的取值范圍為.
72．（2023春·四川成都·高三成都外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┮阎蛄?，．設(shè)函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)減區(qū)間；
(2)若將的圖像上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像．當(dāng)（其中）時(shí)，記函數(shù)的最大值與最小值分別為與，設(shè)，且使對(duì)都有成立，求實(shí)數(shù)k的最小值．
【答案】(1)，，（）；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即得函數(shù)的解析式，再解不等式，，即得單調(diào)減區(qū)間；
（2）先求出，再對(duì)分類討論，求出的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.
【詳解】（1）由題意可知
，
∴．
由，，可得，，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，（）
（2）將的圖像上的所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，
可得函數(shù)，
再把所得圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)，
∴，
∵，∴
①若，，，
此時(shí)；
②若，，，
此時(shí)
∴綜上.
當(dāng)時(shí)，，所以，所以即
時(shí)，
當(dāng)時(shí)，有，所以，即
即時(shí)，所以
所以實(shí)數(shù)k的最小值為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)，其一是求函數(shù)的解析式，其二利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解三角函數(shù)的最值.
73．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）嘉祥教育秉承“為生活美好?社會(huì)吉祥而努力”的企業(yè)理念及“堅(jiān)韌不拔?創(chuàng)造第一”的企業(yè)精神，經(jīng)過30年的發(fā)展和積累，目前已建設(shè)成為具有高度文明素質(zhì)和良好社會(huì)信譽(yù)的綜合性教育集團(tuán).某市有一塊三角形地塊，因發(fā)展所需，當(dāng)?shù)卣F(xiàn)劃撥該地塊為教育用地，希望嘉祥集團(tuán)能幫助打造一所新的教育品牌學(xué)校.為更好地利用好這塊土地，集團(tuán)公司決定在高三年級(jí)學(xué)生中征集解決方案.如圖所示，是中點(diǎn)，分別在上，擬建成辦公區(qū)，四邊形擬建成教學(xué)區(qū)，擬建成生活區(qū)，和擬建成專用通道，，記.
(1)若，求教學(xué)區(qū)所在四邊形的面積；
(2)當(dāng)取何值時(shí)，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）在Rt中計(jì)算出，再分析出四邊形為直角梯形，利用梯形面積公式即可；
（2）利用正弦定理求得，寫出的表達(dá)式，利用三角恒等變換、換元以及函數(shù)單調(diào)性即可得到最值.
【詳解】（1）因?yàn)?，則在Rt中，；
為等邊三角形，，
則四邊形為直角梯形，.
（2）在中，由正弦定理得：.
在中，由正弦定理得：，
所以，
，
設(shè)快速通道的長(zhǎng)度為，
設(shè)，由題得，則，
則，則，
顯然在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
記憶口訣：1、余余正正符號(hào)反2、同名相乘、加減相反3、諧音：“吃吃睡睡，顛倒黑白”
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β(異名相乘、加減一致)
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β(異名相乘、加減一致)
記憶口訣：1、正余余正符號(hào)同2、異名相乘、加減一致3、諧音：“上錯(cuò)廁所，一一對(duì)應(yīng)”
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；(兩式相除、上同下異)．
變形：①tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)②tan α·tan β＝eq \f(tan α－tan β,tan(α－β))－1
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；(兩式相除、上同下異)．
變形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)②tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan(α＋β))
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α；
變形：sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α，csα＝eq \f(sin2α,2sinα)，
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
變形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）

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