考點(diǎn)一 線面平行的判斷
考點(diǎn)二 直線與平面平行的證明
利用三角形的中位線證明線面平行
（二） 構(gòu)造平行四邊形證明線面平行
（三） 利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線面平行
（四） 利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行
（五） 通過面面平行證線面平行
（六） 利用空間向量法證線面平行
考點(diǎn)三 直線與平面平行的探索性問題
考點(diǎn)四 利用線面平行的性質(zhì)證線線平行
考點(diǎn)五 由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置
考點(diǎn)六 由線面平行求線段長(zhǎng)度
考點(diǎn)七 面面平行的判斷
考點(diǎn)八 平面與平面平行的證明
（一）利用面面平行的判定證明面面平行
（二）利用空間向量法證明面面平行
考點(diǎn)九 平面與平面平行的探索性問題
考點(diǎn)十 利用面面平行證線線平行或線面平行
考點(diǎn)十一 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)十二 翻折類問題
1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

2．線面平行的判定定理必須具備三個(gè)條件
(1)直線a在平面α外，即a?α；
(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；
(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可．
3．應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟
上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：
①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；
②三角形中位線法；
③平行四邊形法；
④線段成比例法．
提醒：線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)
(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．
(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．
4．線面平行的證明方法
（1）定義法：一般用反證法；
（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語言敘述證明過程；
（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.
5．線面平行性質(zhì)的應(yīng)用
證明線線平行，常常將線面平行轉(zhuǎn)化為該線與過該線的一個(gè)平面和已知平面的交線平行.在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．
利用面面平行的性質(zhì)證明直線與平面平行
關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．
7．證明方法“一找二作三證明”
“一找二作三證明”是證明線面平行的常用方法，此證明方法分為三步，具體的操作流程如下：
第一步，就是“一找”：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個(gè)平面內(nèi)“找”出一條直線與已知直線平行即可.其次是“一找”的原則：一是要“找”的是線線平行，二是要在一個(gè)平面圖形中“找”.
第二步，就是“二作”：在分析題意之后，若不能直接“找”到所需要證明的線線平行的關(guān)系，則進(jìn)入“二作”的程序.從三個(gè)方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作輔助線或輔助平面，有簡(jiǎn)單的“作”或復(fù)雜的“作”；第二方面，每一次"作"的時(shí)候都要圍繞證明所需去"作"，要證平行關(guān)系就去“作”線線平行；第三方面，要把線線平行的關(guān)系“作”在一個(gè)平面圖形中.
第三步，就是"三證明"：經(jīng)過第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫出證明命題的整體過程.在"三證明"中要注意三點(diǎn)，第一，數(shù)學(xué)符號(hào)要標(biāo)準(zhǔn)，幾何語言表述要規(guī)范；第二，書寫要有層次性；第三，最后表述證明結(jié)果時(shí)要嚴(yán)格遵守判定定理的條件.
8．線線平行的常見找法依據(jù)：
9．尋找線線平行技巧：
（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；
（3）此時(shí)剛好經(jīng)過點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點(diǎn)，連接，如圖三；
（4）此時(shí)長(zhǎng)度有長(zhǎng)有短，連接并延長(zhǎng)剛好交于一點(diǎn)，剛好構(gòu)成型模型（為中點(diǎn)，則也為中點(diǎn)，若為等分點(diǎn)，則也為對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)），，如圖四．
圖一圖二圖三圖四
10．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理
11．平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)
(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行.
(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.
(4)如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.
(5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.
(6)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．
(7)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
(8)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等.
12．證明面面平行的常用方法
（1）利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合
（2）利用面面平行的判定定理；
（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（l⊥α，l⊥β?α∥β）；
（4）利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行（α∥β，β∥γ?α∥γ）.
13．面面平行條件的應(yīng)用
(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行；
(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行．
注：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.
14．線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
判定
判定
判定
線∥面
線∥線
面∥面
15．空間位置平行關(guān)系的向量表示
考點(diǎn)一 線面平行的判斷
1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如果平面外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面的距離都是a，則直線和平面的位置關(guān)系是_________．
2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面，那么這樣的平面（ ）
A．不存在B．只有一個(gè)C．有無數(shù)個(gè)D．不能確定
3．（2023·北京·101中學(xué)校考三模）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
4．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的為（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
5．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)校考三模）如圖所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A．存在平面與直線垂直
B．四邊形可能是正方形
C．不存在平面與直線平行
D．任意平面與平面垂直
考點(diǎn)二 直線與平面平行的證明
（一）利用三角形的中位線證明線面平行
7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的三棱錐中，已知，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.
8．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)．
(1)求證：∥平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出與長(zhǎng)度的比值，若不存在，說明理由．
9．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，E為PB的中點(diǎn)，已知，.

(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)C到平面的距離；
(3)若平面平面，求直線EC與平面所成角的正弦值.
10．（2023·上海普陀·曹楊二中?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，正方形的邊長(zhǎng)為2，平面平面，且，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面；
(2)求直線與平面所成角的大小.
11．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點(diǎn)，求證：直線平面；
(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)C到平面的距離．
（二） 構(gòu)造平行四邊形證明線面平行
12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，，.

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若多面體的體積為32，求的值.
13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，E、F分別是、的中點(diǎn)，又二面角大小為.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)設(shè)，求點(diǎn)A到平面的距離.
14．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)當(dāng)=時(shí)，求證：平面⊥平面，并求點(diǎn)與到平面的距離.
16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．
17．（2023·安徽安慶·安慶一中校考三模）如圖,四棱錐中,底面為的中點(diǎn).

(1)若點(diǎn)在上,,證明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
18．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．
(1)求證：平面；
(2)若與所成的角為，求多面體的體積．
19．（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求證：直線EC與平面ABD沒有公共點(diǎn)；
(2)求點(diǎn)C到平面BED的距離.
（三） 利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線面平行20．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；
(2)已知，，若與平面所成角的正切值為，求到平面的距離.
21．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；
(2)已知，若到平面的距離為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．
(1)證明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
23．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)，已知點(diǎn)分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；
(2)若，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．
24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，，，沿將翻折到的位置，如圖2，.

(1)證明：平面；
(2)求平面和平面的夾角.
（四） 利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行
25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.
(1)求證：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.
26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，分別為的中點(diǎn)，平面與底面的交線為.
(1)證明：平面.
(2)若三棱錐的體積為，試問在直線上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿足？若存在，求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
27．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）四棱錐中，底面為矩形， ，，平面與平面的交線為.

(1)求證：直線平行于平面；
(2)求二面角的余弦值.
（五） 通過面面平行證線面平行
28．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
29．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，為點(diǎn)在平面上的射影，為的中點(diǎn)．
(1)證明：∥平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
30．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面．
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
31．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．
32．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.
（六） 利用空間向量法證線面平行
33．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點(diǎn)，，，.
(1)證明：平面；
(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.
34．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)求二面角的余弦值.
35．（2023·天津南開·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點(diǎn)，在線段上，且.

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
36．（2023·天津·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到直線的距離；
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由．
37．（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分別為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn).

(1)求證：//平面ABC；
(2)求平面CED與平面夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
38．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
考點(diǎn)三 直線與平面平行的探索性問題
39．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖（1），點(diǎn)E是直角梯形ABCD底邊CD上的一點(diǎn)，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，將沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，連接CD和BD，如圖（2）．
(1)求證：平面平面BCD；
(2)在線段BD上確定一點(diǎn)F，使得平面ADE.
40．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，與交于點(diǎn)M，，的中點(diǎn)分別為N，O，如圖所示.
(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使平面，并加以證明；
(2)求二面角的正弦值.
41．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，三棱臺(tái)中，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).
(1)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出的值；
(2)若，，點(diǎn)到平面的距離為，且點(diǎn)在底面的射影落在內(nèi)部，求直線與平面所成角的正弦值.
42．（2023·江西鷹潭·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，三棱錐中，底面與側(cè)面是全等三角形，側(cè)面是正三角形，，，，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，平面與平面相交于直線．

(1)求證：；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
43．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，，為中點(diǎn).
(1)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由；
(2)若平面，，求平面與平面所成角的余弦值.
考點(diǎn)四 利用線面平行的性質(zhì)證線線平行
44．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，已知是平行四邊形，點(diǎn)P是平面外一點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)G，過G和作平面交平面于，則與的位置關(guān)系是_________．

45．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，在三棱柱中，是中點(diǎn)，平面，平面與棱交于點(diǎn)，，
(1)求證：；
(2)若與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．
46．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為線段AD的中點(diǎn).PE⊥底面ABCD，點(diǎn)F是棱PC的中點(diǎn)，平面BEF與棱PD相交于點(diǎn)G.
(1)求證：；
(2)若PC與AB所成的角為，求直線PB與平面BEF所成角的正弦值.
47．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，三棱臺(tái)中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，平面平面．

(1)證明：；
(2)若平面平面，，，求直線與平面所成角的正弦值．
48．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；
(2)點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．
49．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，在為等腰直角三角形，，D、E分別是邊和的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使面面，H、F分別是邊和的中點(diǎn)，平面與、分別交于I、G兩點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求的長(zhǎng)．
考點(diǎn)五 由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置
50．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面與平面相交于直線，∥l．

(1)證明：是的中點(diǎn)；
(2)若平面平面，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)在直線上且不與重合，求平面與平面的夾角的余弦值．
51．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考二模）已知正方體，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；
(2)若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
52．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.
(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；
(2)若，求銳二面角的大小.
考點(diǎn)六 由線面平行求線段長(zhǎng)度
53．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)若平面，求的長(zhǎng)度；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．
54．（2023·全國(guó)·校考模擬預(yù)測(cè)）在底面為等邊三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中點(diǎn)，M是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面ABD，則線段長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
55．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┤鐖D，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，，點(diǎn)在上.

(1)若平面，求；
(2)若是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.
56．（2023·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，上有點(diǎn)，平面.
(1)求的值；
(2)若平面，，，求二面角的正弦值.
考點(diǎn)七 面面平行的判斷
57．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，則∥的一個(gè)充分條件是（ ）
A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B．，垂直于同一個(gè)平面
C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一條直線
58．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是空間兩個(gè)不同的平面，命題：“”，命題：“平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行”，則是的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
59．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎獌蓷l不同的直線l，m及三個(gè)不同的平面α，β，γ，下列條件中能推出的是（ ）
A．l與α，β所成角相等B．，
C．，，D．，，
60．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）正方體的平面展開圖如圖所示，在這個(gè)正方體中，
①與平行；
②與是異面直線；
③與平面平行；
④平面與平面平行．
以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_________．

61．（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出下面六個(gè)命題：
①，，則；②若，，則；
③，，則；④若，，則；
⑤若，，則；⑥若，，則.
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
考點(diǎn)八 平面與平面平行的證明
（一）利用面面平行的判定證明面面平行
62．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．

(1)求證：平面平面PCD；
(2)求二面角P－EF－O的正弦值．
63．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在幾何體中，四邊形是等腰梯形，四邊形是正方形，且平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
64．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，連接OE，OF，EF．
(1)求證：平面平面PCD；
(2)求三棱錐的體積．
65．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，如圖1，在直角梯形中，．把沿對(duì)角線折起到的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面上的正投影H恰好落在線段上，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面//平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一點(diǎn)M，使得M到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說明理由．
66．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖所示，已知是圓錐底面的兩條直徑，為劣弧的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)若，為線段上的一點(diǎn)，且，求證：平面平面．
67．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.

(1)求證：平面平面；
(2)設(shè)，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.
（二）利用空間向量法證明面面平行
68．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，AA1中點(diǎn)為E，CC1中點(diǎn)為F．
(1)求證：平面BDE∥平面B1D1F；
(2)連結(jié)B1D，求直線B1D與平面BDE所成的角的大?。?br>69．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在八面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，二面角與二面角的大小都是，，．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)為的重心，是否在棱上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求到平面的距離，若不存在，說明理由．
考點(diǎn)九 平面與平面平行的探索性問題
70．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面．
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請(qǐng)說明理由．
71．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說明理由．
72．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是平行四邊形，分別為棱的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)在底面四邊形內(nèi)部（包括邊界）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在求點(diǎn)的位置，并求的最大值，如果不存在請(qǐng)說明理由.
73．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面.
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說明理由．
74．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤鐖D，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分別是，的中點(diǎn)，H是AB邊上一動(dòng)點(diǎn).

(1)是否存在點(diǎn)使得平面平面，若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.
(2)求多面體的體積.
考點(diǎn)十 面面平行性質(zhì)的應(yīng)用
75．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖所示，平面平面，，則_________．

76．【多選】（2023春·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（ ）
A．夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等
B．三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直
C．如果直線平面，，那么過點(diǎn)且平行于直線的直線有無數(shù)條，且一定在內(nèi)
D．已知，為異面直線，平面，平面，若直線滿足，，，，則與相交，且交線平行于
考點(diǎn)十一 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
77．【多選】（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方體的棱長(zhǎng)為3，E為AB的中點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則（ ）
A．若∥平面，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為
B．平面與平面ABCD的夾角的正切值為
C．平面截正方體所得的截面多邊形的周長(zhǎng)為
D．不存在一條直線l，使得l與正方體的所有棱所成的角都相等
78．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）

A．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值
B．若平面，則的最小值為
C．若的外心為，則為定值2
D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
79．【多選】（2023·河北滄州·滄縣中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱中，分別是棱的中點(diǎn)，連接是線段的中點(diǎn)，是線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）

A．平面平面
B．三棱錐的體積與正三棱柱的體積之比為
C．直線與平面所成的角為
D．若，則過三點(diǎn)作平面，截正三棱柱所得截面圖形的面積為
80．【多選】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，P，Q分別為棱，BC的中點(diǎn)，則（ ）

A．平面B．平面平面
C．三棱柱的側(cè)面積為D．三棱錐的體積為
考點(diǎn)十二 翻折類問題
81．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.

(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；
(2)若，求四棱錐的體積.
82．（2023·北京·高三專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，，M為BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折，構(gòu)成四棱錐，N為的中點(diǎn)，則在翻折過程中，
①對(duì)于任意一個(gè)位置總有平面；
②存在某個(gè)位置，使得；
③存在某個(gè)位置，使得；
④四棱錐的體積最大值為．
上面說法中所有正確的序號(hào)是____________．
83．（2023·廣東梅州·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．
84．【多選】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使B點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．存在點(diǎn)P，使得
C．存在點(diǎn)P，使得D．三棱錐的體積最大值為
85．【多選】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，、分別為、的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿問上翻折，使點(diǎn)移到點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．存在點(diǎn)，使得
B．存在點(diǎn)，使得
C．三棱錐的體積最大值為
D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球表面積為
86．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正三角形中，、、分別是、、邊上的點(diǎn)，滿足：：：：如圖將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連結(jié)如圖

(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求直線與平面所成角的大小．
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判
定
定
理
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α
性
質(zhì)
定
理
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b
（1）構(gòu)造三角形的中位線
證明線面平行，通常需運(yùn)用線面平行的判定定理：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.那么在證明線面平行時(shí)，需找到一組平行線，使得其中一條直線在平面外，另一條直線在平面內(nèi).若已知一條線段的中點(diǎn)，且平面內(nèi)或外的一條直線為三角形的底邊，則可過三角形的中點(diǎn)作三角形的中位線，那么就可以根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)：中位線平行且等于底邊的一半，來證明線面平行.在構(gòu)造三角形的中位線時(shí)，要注意關(guān)注中點(diǎn)、線段的垂直平分線、三角形的重心等信息，結(jié)合圖形的特征尋找中位線。
（2）構(gòu)造平行四邊形
我們知道，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.在證明線面平行時(shí)，可根據(jù)圖形的特點(diǎn)，找到一組對(duì)邊平行且相等的線段，分別將這四點(diǎn)連接，便可構(gòu)造出平行四邊形，使另一組對(duì)邊分別為平面內(nèi)外的一條直線，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理證明線面平行.通過直觀觀察，若平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線長(zhǎng)度相等，一般猜想構(gòu)造平行四邊形，這時(shí)利用平行四邊形對(duì)邊平行得出線線平行，進(jìn)而得到線面平行。
（3）利用相似比尋找線平行
如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工具。題目中出現(xiàn)比值關(guān)系時(shí)，可考慮利用比值關(guān)系，尋找線線平行，進(jìn)而得到線面平行。
（4）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行
利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到直線與直線平行，進(jìn)而得到直線與平面平行。先證明線面平行（或題目已知線面平行），再利用線面平行的性質(zhì)定理，得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行。
（5）構(gòu)造平行平面
面面平行的性質(zhì)有很多，常見的有：（1）若兩個(gè)平面平行，則在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面；（2）若兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行.在證明線面平行時(shí)，只要證明直線所在的平面和平面平行，那么就可以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證明直線和平面平行.當(dāng)構(gòu)造三角形和平行四邊形困難時(shí)，可以考慮構(gòu)造平行平面.若要證明平面，只需構(gòu)造一個(gè)平面//平面，且，那么根據(jù)平行平面的性質(zhì)，即可證明平面.在構(gòu)造平行平面時(shí)，可在平面內(nèi)作一條直線，使其平行于.也可直接根據(jù)正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱的性質(zhì)構(gòu)造平行平面.
（6）利用線面垂直的性質(zhì)定理
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
（7）平行線的傳遞性
平行于同一條直線的兩條直線平行.
文字語言
圖形語言
符號(hào)語言
判定
定理
如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β
性質(zhì)
定理
兩個(gè)平面平行如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b)) ?a∥b
位置關(guān)系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝kn2（k∈R）
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?n·m＝0
平面α，β的法向量分別為n，m
α∥β
n∥m?n＝km（k∈R）
考點(diǎn)35 空間直線、平面的平行12種常見考法歸類
考點(diǎn)一 線面平行的判斷
考點(diǎn)二 直線與平面平行的證明
利用三角形的中位線證明線面平行
（二） 構(gòu)造平行四邊形證明線面平行
（三） 利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線面平行
（四） 利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行
（五） 通過面面平行證線面平行
（六） 利用空間向量法證線面平行
考點(diǎn)三 直線與平面平行的探索性問題
考點(diǎn)四 利用線面平行的性質(zhì)證線線平行
考點(diǎn)五 由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置
考點(diǎn)六 由線面平行求線段長(zhǎng)度
考點(diǎn)七 面面平行的判斷
考點(diǎn)八 平面與平面平行的證明
（一）利用面面平行的判定證明面面平行
（二）利用空間向量法證明面面平行
考點(diǎn)九 平面與平面平行的探索性問題
考點(diǎn)十 利用面面平行證線線平行或線面平行
考點(diǎn)十一 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)十二 翻折類問題
1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

2．線面平行的判定定理必須具備三個(gè)條件
(1)直線a在平面α外，即a?α；
(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；
(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可．
3．應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟
上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：
①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；
②三角形中位線法；
③平行四邊形法；
④線段成比例法．
提醒：線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)
(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．
(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．
4．線面平行的證明方法
（1）定義法：一般用反證法；
（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語言敘述證明過程；
（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面.
5．線面平行性質(zhì)的應(yīng)用
證明線線平行，常常將線面平行轉(zhuǎn)化為該線與過該線的一個(gè)平面和已知平面的交線平行.在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．
利用面面平行的性質(zhì)證明直線與平面平行
關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．
7．證明方法“一找二作三證明”
“一找二作三證明”是證明線面平行的常用方法，此證明方法分為三步，具體的操作流程如下：
第一步，就是“一找”：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個(gè)平面內(nèi)“找”出一條直線與已知直線平行即可.其次是“一找”的原則：一是要“找”的是線線平行，二是要在一個(gè)平面圖形中“找”.
第二步，就是“二作”：在分析題意之后，若不能直接“找”到所需要證明的線線平行的關(guān)系，則進(jìn)入“二作”的程序.從三個(gè)方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作輔助線或輔助平面，有簡(jiǎn)單的“作”或復(fù)雜的“作”；第二方面，每一次"作"的時(shí)候都要圍繞證明所需去"作"，要證平行關(guān)系就去“作”線線平行；第三方面，要把線線平行的關(guān)系“作”在一個(gè)平面圖形中.
第三步，就是"三證明"：經(jīng)過第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫出證明命題的整體過程.在"三證明"中要注意三點(diǎn)，第一，數(shù)學(xué)符號(hào)要標(biāo)準(zhǔn)，幾何語言表述要規(guī)范；第二，書寫要有層次性；第三，最后表述證明結(jié)果時(shí)要嚴(yán)格遵守判定定理的條件.
8．線線平行的常見找法依據(jù)：
9．尋找線線平行技巧：
（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移動(dòng)，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；
（3）此時(shí)剛好經(jīng)過點(diǎn)（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點(diǎn)），此時(shí)直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點(diǎn)，連接，如圖三；
（4）此時(shí)長(zhǎng)度有長(zhǎng)有短，連接并延長(zhǎng)剛好交于一點(diǎn)，剛好構(gòu)成型模型（為中點(diǎn)，則也為中點(diǎn)，若為等分點(diǎn)，則也為對(duì)應(yīng)等分點(diǎn)），，如圖四．
圖一圖二圖三圖四
10．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理
11．平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)
(1)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行.
(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.
(4)如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.
(5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.
(6)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．
(7)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
(8)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等.
12．證明面面平行的常用方法
（1）利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合
（2）利用面面平行的判定定理；
（3）利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（l⊥α，l⊥β?α∥β）；
（4）利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行（α∥β，β∥γ?α∥γ）.
13．面面平行條件的應(yīng)用
(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行；
(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行．
注：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.
14．線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．
性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)
判定
判定
判定
線∥面
線∥線
面∥面
15．空間位置平行關(guān)系的向量表示
考點(diǎn)一 線面平行的判斷
1．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如果平面外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面的距離都是a，則直線和平面的位置關(guān)系是_________．
【答案】平行或相交
【分析】若在平面的同側(cè)，可判斷直線和平面平行；若在平面的兩側(cè)，可判斷直線和平面相交；
【詳解】若在平面的同側(cè)，因?yàn)槠矫嫱庥袃牲c(diǎn)到平面的距離相等，所以直線和平面平行；
若在平面的兩側(cè)，因?yàn)槠矫嫱庥袃牲c(diǎn)到平面的距離相等，所以直線和平面相交；
綜上所述:直線和平面的位置關(guān)系一定是平行或相交
故答案為：平行或相交.
2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面，那么這樣的平面（ ）
A．不存在B．只有一個(gè)C．有無數(shù)個(gè)D．不能確定
【答案】D
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)所在的直線與已知直線的位置關(guān)系分類分析即可得結(jié)論.
【詳解】過直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面，
如果兩點(diǎn)所在的直線與已知直線相交,則這樣的平面不存在;
如果兩點(diǎn)所在的直線與已知直線平行,則這樣的平面有無數(shù)個(gè);
如果兩點(diǎn)所在的直線與已知直線異面,則這樣的平面只有一個(gè).
因此只有D正確.
故選：D.
3．（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎莾蓷l不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)空間中線面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】由是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，
若，則與可能相交、平行或，A錯(cuò)；
若，則或，B錯(cuò)；
若，則或相交，C錯(cuò)；
若，則確定一個(gè)平面，設(shè)為，
又，所以，
則由面面平行的判定定理得，D正確.
故選：D
4．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知三條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的為（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)A；求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)B；求得位置關(guān)系判斷選項(xiàng)C，D.
【詳解】選項(xiàng)A：若，則或異面或相交.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：若，則或.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：若，則或相交.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：若，則必有，
又，則，則.判斷正確.
故選：D
5．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，
所以直線平面ABC，能滿足；

對(duì)于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿足；

對(duì)于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，
所以直線平面ABC，能滿足；

對(duì)于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.

故選：D.
6．（2023·上海長(zhǎng)寧·上海市延安中學(xué)校考三模）如圖所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A．存在平面與直線垂直
B．四邊形可能是正方形
C．不存在平面與直線平行
D．任意平面與平面垂直
【答案】D
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再由，即可判斷B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)為的中點(diǎn)，即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法說明D.
【詳解】對(duì)于A：在正方體中平面，
顯然平面與平面不平行，故直線不可能垂直平面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：在正方體中，是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，
由平面平面， 并且四點(diǎn)共面，
平面平面，平面平面，
∴， 同理可證，故四邊形是平行四邊形，
在正方體中，由幾何知識(shí)得，平面，
∵平面，∴，
若是正方形，有，
此時(shí)與重合時(shí)，但顯然四邊形不是正方形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，所以且，
所以為平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

由幾何知識(shí)得，,
∴,
∵，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴任意平面與平面垂直，故D正確.
故選：D
考點(diǎn)二 直線與平面平行的證明
（一）利用三角形的中位線證明線面平行
7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的三棱錐中，已知，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可證結(jié)論正確；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可求出結(jié)果.
【詳解】（1）證明：因?yàn)槭堑闹形痪€，所以.
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，得，，則.
設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?br>所以，得，取，得，則，
所以，
所以平面與平面所成銳角的余弦值為.
8．（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)．
(1)求證：∥平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出與長(zhǎng)度的比值，若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；
（2）建系，利用空間向量求線面夾角.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，
由于四邊形為矩形，所以O(shè)為的中點(diǎn)，又D是棱的中點(diǎn)，
故在中，是的中位線，因此//，
平面，平面，所以//平面
（2）由平面，可知，三棱柱為直三棱柱，且底面為直角三角形，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；
則，，，，，
由，得，
，，
設(shè)平面的法向量為，則
取，則，得，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
可得，
因?yàn)椋?br>整理得，解得或，
由于，所以，
所以棱上存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成角的余弦值為，此時(shí).
9．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，E為PB的中點(diǎn)，已知，.

(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)C到平面的距離；
(3)若平面平面，求直線EC與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用三角形的中位線得到線線平行，再通過線面平行的判定定理即可得證；
（2）利用等體積法轉(zhuǎn)化即可求解；
（3）通過面面垂直性質(zhì)定理，得出線面垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角正弦的向量計(jì)算方法即可求解.
【詳解】（1）連接，交于，連接，由條件得為的中點(diǎn)，
因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以是的中位線，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面；

（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以到平面的距離等于到平面的距離等于倍，
因?yàn)?，得?br>由，可得，
因?yàn)?，?br>所以，故點(diǎn)C到平面的距離為；
（3）作，交于，
因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>則平面，
過作，交于，則，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，平面平面，平面平面?br>所以平面，
所以即為到平面的距離，
由小問2可知點(diǎn)C到平面的距離為，即，
從而正方形邊長(zhǎng)為2，故，
因?yàn)?，所以?br>所以，，，，，
則，，;
設(shè)平面的法向量為，
由，，得，
取，即，
設(shè)直線EC與平面所成角為，則
，
所以直線EC與平面所成角的正弦值為.

10．（2023·上海普陀·曹楊二中?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，正方形的邊長(zhǎng)為2，平面平面，且，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

(1)求證：直線平面；
(2)求直線與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接可得為的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明；
（2）利用四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及線面垂直的判定定理，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量和線面角的位置關(guān)系，即可求得直線與平面所成角的大小為.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，連接，則交與；如下圖所示：

在中，為的中點(diǎn)，又點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
所以直線平面；
（2）由平面平面，且平面平面，
又四邊形是正方形，所以，又平面，
所以平面；
過點(diǎn)作直線平行于，又，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，直線，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系；如下圖所示：

由正方形的邊長(zhǎng)為2，，可得，；
所以；
；
又點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，所以；
即；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為；
所以，可得，令，解得；
即
設(shè)直線與平面所成的角為，則
，解得；
所以直線與平面所成角的大小為.
11．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點(diǎn)，求證：直線平面；
(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)C到平面的距離．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；
（2）根據(jù)題意可證平面，平面，建系，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.
【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，
平面，平面，
所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，
所以平面，
取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椤鰽BC是正三角形，則，
又因?yàn)槠矫?，平面，則，
，平面，
所以平面，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，即，
所以點(diǎn)C到平面的距離.

（二） 構(gòu)造平行四邊形證明線面平行
12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，，.

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若多面體的體積為32，求的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)2
【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；
（2）多面體ABCDEF的體積等于，分別求出代入化簡(jiǎn)即可得出答案.
【詳解】（1）證明：連接.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，
所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以.
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面.

（2）解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，AE⊥平面ABCD，
所以AB，AD，AE兩兩垂直，

連接AC，多面體ABCDEF的體積等于.
因?yàn)锳B=AE=2CF=2m，
所以四棱錐B-ACFE和四棱錐D-ACFE的高都為，
四邊形（直角梯形）ACFE的面積為，
所以多面體ABCDEF的體積等于，
因?yàn)槎嗝骟wABCDEF的體積為32，
所以4m3=32，解得m=2.
13．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，E、F分別是、的中點(diǎn)，又二面角大小為.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)設(shè)，求點(diǎn)A到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)1
【分析】（1）取PC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，借助中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)易得AFGE，即可證明；
（2）要證平面PEC⊥平面PCD，只需證EG⊥平面PCD，又AFEG，易知AF⊥平面PCD；
（3）由（1）（2）知AF平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC交PC于H，則FH⊥平面PEC，F(xiàn)H的長(zhǎng)度為F到平面PEC的距離.
【詳解】（1）取PC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，
因?yàn)镕為PD的中點(diǎn)，
所以GFCD，GFCD，
因?yàn)镃DAB，CDAB，又E為AB的中點(diǎn)，所以AEGF，AEGF，
所以四邊形AEGF為平行四邊形，
所以AFGE，且平面PEC，因此AF平面PEC.
（2）因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以PACD，
因?yàn)?，，平面PAD，平面PAD，所以CD平面PAD，
平面PAD，平面PAD，所以CDAF，CDPD，
所以二面角的平面角為，則，
又且F為斜邊PD的中點(diǎn)，所以，
又，平面PCD，平面PCD，所以AF⊥平面PCD，
由（1）知AFGE，所以EG⊥平面PCD.
因?yàn)镋G平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.
（3）由（2）知平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC交PC于H，
因?yàn)槠矫鍼CD平面PECPC，平面PCD，
則FH⊥平面PEC，所以FH的長(zhǎng)度為F到平面PEC的距離，
由（1）知AF平面PEC，所以FH的長(zhǎng)度點(diǎn)A到平面PEC的距離，
在與中，為公共角，，
所以∽，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以點(diǎn)A到平面的距離為1.
14．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.
【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，
于是，即，
則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）過作垂直的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
在中，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，
即三棱錐的高為，
因?yàn)?，所以?br>所以，
又，
所以.
15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)當(dāng)=時(shí)，求證：平面⊥平面，并求點(diǎn)與到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析，距離為
【分析】（1）利用線面平行判定定理即可證得平面；
（2）利用面面垂直判定定理即可證得平面⊥平面；利用三棱錐等體積法即可求得點(diǎn)與到平面的距離.
【詳解】（1）取線段的中點(diǎn),連接,
則為的中位線,∴
由題知,
∴,∴四邊形為平行四邊形.
∴
又∵平面,平面,
∴平面
（2）在中，∵,∴.
又∵,平面
∴平面，平面，
∴平面平面，
∵為的中點(diǎn)，
∴到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半.
∵平面，∴平面∴.
∴
取中點(diǎn)，連接，又為等邊三角形，
則.
∵平面平面，∴平面，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
由 ，得，解得.
∴點(diǎn)到平面的距離為

16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接．先證明，再證明平面．
（2）利用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值．
【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接．
因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以且，
又因?yàn)榍遥郧遥?br>所以四邊形為平行四邊形．
所以．
又平面平面，所以平面．
（2）在平面中，過作，在平面中，過作．
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平?br>所以平面．
所以，所以兩兩互相垂直．
以為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，
所以，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則即
取，得．
設(shè)直線與平面所成角為．
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┤鐖D,四棱錐中,底面為的中點(diǎn).

(1)若點(diǎn)在上,,證明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件證明四邊形是平行四邊形,即可證明;
（2）取中點(diǎn),根據(jù)條件可以證明,所以所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面的法向量和平面的法向量,再利用公式求解即可.
【詳解】（1）如圖所示:

取中點(diǎn),連接,
因?yàn)?所以,
又,所以,
因?yàn)?所以,
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以且,
即有且,
所以四邊形是平行四邊形,
所以,
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面.
（2）連接,因?yàn)?所以為等腰三角形,
取中點(diǎn),連接,則有,又因?yàn)?所以,
又因?yàn)榈酌?
如圖,以所在直線分別為軸,軸,軸建立空間坐標(biāo)系,

因?yàn)?
則有,
所以,
設(shè)平面的法向量為,
則有,則,
因?yàn)榈酌?取平面的法向量,
設(shè)二面角的大小為為鈍角,
則有,
即二面角的余弦值為.
18．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．
(1)求證：平面；
(2)若與所成的角為，求多面體的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，根據(jù)已知求得，易證為平行四邊形，有，則為平行四邊形，即，最后應(yīng)用線面平行的判定證結(jié)論；
（2）取的中點(diǎn)N，可得，在平面內(nèi)，過G作FB的平行線交AB于P，得，證明為的中位線，由棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征確定為棱臺(tái)，最后應(yīng)用棱錐體積公式求體積.
【詳解】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，則在面內(nèi)，
由，則，又，
所以，可得，
由，G在上且，故為平行四邊形，
則，且，又共線，
所以，且，故為平行四邊形，則，
由平面，平面，所以平面．
（2）
取的中點(diǎn)N，則，且，
所以為平行四邊形，則，
在平面內(nèi)，過G作FB的平行線交AB于P，
所以與所成的角，即為與所成角，則，
平面，平面，則，而，
設(shè)，則△中，，
，則為等邊三角形，
故，即，
所以在中，P為的中點(diǎn)，且，故為的中位線，
所以，易知多面體為棱臺(tái)，且，且，
體積．
19．（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求證：直線EC與平面ABD沒有公共點(diǎn)；
(2)求點(diǎn)C到平面BED的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面即可得解；
（2）在三棱錐中，利用等體積法即可求出點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，如圖，
依題意，在中，，則，
而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且，
因?yàn)槠矫妫?，則有，且，
從而得四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，
則平面，所以直線EC與平面ABD沒有公共點(diǎn)；
（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，，平面所以平?br>因?yàn)?，于是得平面?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，所以?br>則等腰底邊上的高，，
而，設(shè)點(diǎn)C到平面BED的距離為d，
由得，
即，解得，
所以點(diǎn)C到平面BED的距離為1
（三） 利用對(duì)應(yīng)線段成比例證明線面平行
20．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；
(2)已知，，若與平面所成角的正切值為，求到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用相似證明線線平行，再利用線面平行判定定理證明線面平行；
（2）利用線面角的正切值求出，利用已知條件求出與的關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
又，所以與相似，
所以，
因?yàn)闉榈闹匦?，所以?br>所以，所以與相似，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：連接，則，
因?yàn)槠矫妫?，平面?br>所以，，
所以，;
又，，平面，所以平面.
連接，則為與平面所成的角，且，
因?yàn)椋?，四邊形是矩形?br>易求，
又與平面所成角的正切值為，
因?yàn)椋?
所以，
設(shè)到平面的距離為，則,
由條件知，所以，
所以，即點(diǎn)到平面的距離為.
21．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)為的重心.

(1)求證：平面；
(2)已知，若到平面的距離為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線線平行和線面平行的證法和線面平行的判定即可求解；（2）根據(jù)二面角的法向量求法即可求解.
【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
則為的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
又，
所以，
因?yàn)闉榈闹匦模?br>所以，
所以，
所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）由題意易知兩兩垂直，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線，分別為軸，軸，軸建立如圖所示坐標(biāo)系，

設(shè)，則，所以因?yàn)椋?br>所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則
即
令，
解得，
所以，
因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為，
所以，解得，
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則
即
令，
解得，
所以，.
設(shè)平面與平面所成的銳二面角大小為，
則，
即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
22．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．
(1)證明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）連接，利用平行線分線段成比例定理，及線面平行的判斷定理推理作答.
（2）由已知證明平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.
【詳解】（1）在三棱柱中，連接，交于點(diǎn)，連接，如圖，
四邊形為平行四邊形，有，而為的中點(diǎn)，則，
由，得，又分別為的中點(diǎn)，即有，
因此，則，而平面平面，
所以平面．
（2）因?yàn)?，則是菱形，又，即，是正三角形，
則，矩形中，，而，
平面，于是平面，令，
過作，則平面，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
，
設(shè)平面和平面的法向量分別為，，
則，令，得，
，令，得，
，令二面角的大小為，
則，于是，
所以二面角的正弦值為．
23．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測(cè)）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺(tái)，已知點(diǎn)分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；
(2)若，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)，
【分析】（1）構(gòu)造面面平行來推線面平行，作QE∥AB交AC于E，連接PE即證面PEQ∥面AB1即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出與平面所成最大角時(shí)的P點(diǎn)位置，求其正切，再求二面角即可.
【詳解】（1）
如圖所示，過Q作QE∥AB交AC于E，連接PE，過C1作C1F∥A1A，交AC于F，
∵，結(jié)合圓臺(tái)的特征知，
又∵，解三角形得，
故，即，
∵， 由題意易知四邊形為直角梯形，
∴，，故，
∵面，面，∴QE∥面，
同理PE∥面，
又面PQE，∴面∥面，
面，∴平面，得證；
（2）
如圖，結(jié)合圓臺(tái)的特征，當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩兩垂直，
故以A為中心，以AB、AC、AA1所在的直線分別為軸、軸、軸，
則，
設(shè)，則，，
易知軸⊥面，不妨取作為面的一個(gè)法向量，
設(shè)與平面所成角為，
則，
即當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為最大角，，
設(shè)此時(shí)面APQ的一個(gè)法向量為，
易得，則，
令，則，即，
由圖可知該二面角的平面角為銳角，設(shè)其為，故，
故與平面所成最大角的正切值為，此時(shí)二面角的余弦值為.
24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，，，沿將翻折到的位置，如圖2，.

(1)證明：平面；
(2)求平面和平面的夾角.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）確定為正三角形，，證明，得到證明.
（2）確定平面，，建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面和平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），，為正三角形，
，則為中點(diǎn)，
設(shè)，，，故，故為的三等分點(diǎn)，

，為的三等分點(diǎn)，即F為的中點(diǎn)，故，
平面，平面，故平面.
（2）由題設(shè)易得，，
，
故，即，，故，
，，PH、HF在面PHF內(nèi)，故平面.
PF在面PHF內(nèi)，故，又，，AC、AD在面ABCD內(nèi)，故平面.
在中，，
由題意易得∠ABC=60°，∠BAC=30°，則∠ACB=90°，故，
過點(diǎn)作平面的垂線為z軸，以分別為軸、軸正方向，建立如圖所示坐標(biāo)系.

則，，，，，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，，所以，
設(shè)平面和平面的夾角為，,
則，，
所以平面和平面的夾角為.
（四） 利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行
25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.
(1)求證：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)(8，12)
【分析】（1）通過證明平面，證得，由此證得平面.
（2）設(shè)，求得四邊形周長(zhǎng)的表達(dá)式，由此求得四邊形周長(zhǎng)的取值范圍.
【詳解】（1）∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）設(shè)，
∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴，
則＝＝＝1－，∴.
∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)l＝2＝12－x.
又∵0

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