1．（4分）|﹣2019|的相反數(shù)是（ ）
A．2019B．﹣2019C．D．﹣
2．（4分）將數(shù)據(jù)0.000000007米用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．7×10﹣6米B．7×10﹣7米C．7×10﹣8米D．7×10﹣9米
3．（4分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則k的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
4．（4分）下列說法中：①﹣a一定是負(fù)數(shù)；②|a|一定是正數(shù)；③倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1；④絕對值等于它本身的數(shù)是1．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
5．（4分）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，分別以AB、CD為直徑作圓，這兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切B．外切C．相交D．外離
6．（4分）高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作[x]，表示不超過x的最大整數(shù)．例如[2.2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．已知函數(shù)y＝x﹣[x]，若關(guān)于x的方程x﹣[x]＝k（x+1）有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．或
二.填空題（共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）一元二次方程x2﹣5＝0的根是 ．
8．（4分）方程的根是 ．
9．（4分）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為 ．
10．（4分）若分式的值為零，則x的值為 ．
11．（4分）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝ m．
12．（4分）一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
13．（4分）2023年亞洲杯足球聯(lián)賽將在中國舉行，掀起學(xué)校足球運(yùn)動(dòng)熱潮，某校足球隊(duì)計(jì)劃吸收一名新球員，組織了4輪技能考試，其中A和B的成績（百分制）較為突出，具體如下：若教練要從中選出一名技術(shù)穩(wěn)定的球員，則被選中的是 ．（填寫序號）
14．（4分）如圖在Rt△ABC中，∠A＝90°，斜邊上的高AD交BC于D，若BD＝9，CD＝4，則AD的長度等于 ．
15．（4分）若菱形的兩對角線長分別為a、b，且滿足，則該菱形的面積為 ．
16．（4分）若矩形的一個(gè)內(nèi)角的平分線把矩形的一條邊分成3cm和5cm的兩段，則該矩形的周長為 ．
17．（4分）定義：把二次函數(shù)y＝a（x+m）2+n與y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常數(shù)）稱作互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．如果二次函數(shù)y＝x2+bx﹣2與y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，寫出點(diǎn)P（b，c）的坐標(biāo) ．
18．（4分）在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在直線BC和CD上運(yùn)動(dòng)，連接AN，DM，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，連接OM，ON，得OM⊥ON，當(dāng)CM＝4時(shí)，MN＝ ．
三.解答題（滿分78分）
19．（10分）計(jì)算：（結(jié)果保留帶分?jǐn)?shù)形式）．
20．（10分）解不等式組：并在數(shù)軸上表示它的解集．
21．（10分）半馬，即半程馬拉松，又稱二分之一馬拉松，目前國際上從眾增長最快的賽跑項(xiàng)目，路程長度大約是21公里．如圖為某次半馬的路線，DE＝10公里，E，E為折返點(diǎn)，拐彎路段EF的長度忽略不計(jì)，F(xiàn)G＝8公里，G→H為半圓路段，O為圓心，半徑為1公里．根據(jù)選手報(bào)名人數(shù)和賽道寬度等情況，為保證賽道暢通和補(bǔ)給有序，組委會(huì)決定采取分區(qū)檢錄、分槍起跑、同地出發(fā)的發(fā)令方式，具體發(fā)令時(shí)間如下：
◆第一槍發(fā)令時(shí)間7：30，A區(qū)選手出發(fā)；
◆第二槍發(fā)令時(shí)間7：35，B區(qū)選手出發(fā)；
◆第三槍發(fā)令時(shí)間7：40，C區(qū)選手出發(fā)．
若甲為B區(qū)選手，平均配速為5分鐘/公里；乙為A區(qū)選手，平均配速為5.5分鐘/公里．（平均配速是指每公里所需要的時(shí)間）
（1）在整個(gè)賽程中，甲、乙共有 次相遇，并求甲、乙在距離起點(diǎn)多少公里處相遇；
（2）此次比賽，冠軍用時(shí)1小時(shí)3分鐘．已知丙為C區(qū)選手，甲出發(fā)17分鐘時(shí)，甲、乙、丙三人所在的位置分別為S，R，T，當(dāng)S，R，T三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，求丙的平均配速．
22．（10分）閱讀以下微信群聊，完成任務(wù)．
23．（12分）如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F和G分別是線段OA、OB和BC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形OEFG是平行四邊形；
（2）當(dāng)AC＝2AB時(shí)，求證；四邊形GCAF是等腰梯形．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C是拋物線上對稱軸左側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，將線段OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段OD，連接BD，過點(diǎn)C作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝ax2+bx﹣2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，點(diǎn)F在y軸上，連接CF且CF⊥BD，求線段CF的長；
（3）連接BE，將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BN，連接ON，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△BOD與△BON的面積之和為，且點(diǎn)D與點(diǎn)N分別位于x軸兩側(cè)時(shí)，請直接寫出m的值．
25．（14分）如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直徑AB的垂線交⊙O于C，D兩點(diǎn)．
（1）若⊙O的半徑為2，，連接CO，DO，求劣弧的長度；
（2）如圖2，點(diǎn)K是劣弧上一點(diǎn)，連接AK，BK，AK交CD于點(diǎn)Q，連接BQ，記∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；
（3）如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)K是劣弧上一點(diǎn)，連接AK，DK，AK交CD于點(diǎn)Q，DK交AB于點(diǎn)N，連接AD，QN．
①求證：△DAQ∽△AND；
②記∠OND＝θ，△ANQ的面積為S1，△DON的面積為S2，求的值（結(jié)果用含有θ的三角函數(shù)值的式子進(jìn)行表示）．
參考答案
一.選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）
1．（4分）|﹣2019|的相反數(shù)是（ ）
A．2019B．﹣2019C．D．﹣
【解答】解：|﹣2019|＝2019，
2019的相反數(shù)為﹣2019，
故選：B．
2．（4分）將數(shù)據(jù)0.000000007米用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．7×10﹣6米B．7×10﹣7米C．7×10﹣8米D．7×10﹣9米
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故選：D．
3．（4分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則k的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．D．2
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣6＝0，
解得x＝6，
原方程化為：，
﹣2k﹣x+6＝x﹣5，
將x＝6代入得：﹣2k﹣6+6＝6﹣5，
解得．
故選：B．
4．（4分）下列說法中：①﹣a一定是負(fù)數(shù)；②|a|一定是正數(shù)；③倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1；④絕對值等于它本身的數(shù)是1．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解答】解：①﹣a不一定是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②|a|是非負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1，正確；
④絕對值等于它本身的數(shù)是0和正數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
其中正確的個(gè)數(shù)有1個(gè)．
故選：A．
5．（4分）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝3，BC＝9，AB＝6，CD＝4，分別以AB、CD為直徑作圓，這兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切B．外切C．相交D．外離
【解答】解：分別取AB、DC中點(diǎn)M和N，連接MN，
∴MN是梯形ABCD的中位線，
∴MN＝（AD+BC）＝×（3+9）＝6，
∵分別以AB、CD為直徑的圓的圓心是M和N，
∴⊙M和⊙N的圓心距d＝MN＝6，
∵⊙M的半徑R＝AB＝×6＝3，⊙N的半徑r＝CD＝×4＝2，
∴d＞R+r，
∴這兩圓的位置關(guān)系是外離．
故選：D．
6．（4分）高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作[x]，表示不超過x的最大整數(shù)．例如[2.2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．已知函數(shù)y＝x﹣[x]，若關(guān)于x的方程x﹣[x]＝k（x+1）有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．或
【解答】解：當(dāng)0≤x＜1時(shí)，[x]＝0，
∴y＝x﹣[x]＝x；
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，[x]＝1，
∴y＝x﹣[x]＝x﹣1；
當(dāng)2≤x＜3時(shí)，[x]＝2，
∴y＝x﹣[x]＝x﹣2；
當(dāng)3≤x＜4時(shí)，[x]＝3，
，
∴y＝x﹣[x]＝x﹣3；
當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)，[x]＝﹣1，
∴y＝x﹣[x]＝x+1；
當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時(shí)，[x]＝﹣2，
∴y＝x﹣[x]＝x+2；
當(dāng)﹣3≤x＜﹣2時(shí)[x]＝﹣3，
y＝x﹣[x]＝x+3；
，
∴函數(shù)y＝x﹣[x]的圖象如圖所示：
y＝kx+k表示恒過A （﹣1，0 ）點(diǎn)斜率為k的直線若方程x﹣[x]＝k（x+1）有3個(gè)相異的實(shí)根，
則函數(shù)y＝x﹣[x]與函數(shù)y＝kx+k的圖象有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，
由圖可得：
當(dāng)y＝kx+k過（2，1）點(diǎn)時(shí)，k＝；
當(dāng)y＝kx+k過（3，1）點(diǎn)時(shí)，k＝；
當(dāng)y＝kx+k過（﹣2，l）點(diǎn)時(shí)，k＝l；
當(dāng)y＝kx+k過（﹣3，l）點(diǎn)時(shí)，k＝﹣，
則實(shí)數(shù)k滿足﹣≤k≤1．
故選：C．
二.填空題（共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）一元二次方程x2﹣5＝0的根是 x1＝，x2＝﹣ ．
【解答】解：∵x2﹣5＝0，
∴x2＝5，
則x＝±，即x1＝，x2＝﹣，
故答案為：x1＝，x2＝﹣．
8．（4分）方程的根是 4 ．
【解答】解：兩邊平方得到：2x﹣4＝4，
解得x＝4，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝4是原方程的解，
故答案為4．
9．（4分）關(guān)于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為 ．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝0，即9﹣8m＝0，
解得m＝；
故答案為：．
10．（4分）若分式的值為零，則x的值為 2 ．
【解答】解：依題意，x2﹣4＝0且x+2≠0
解得：x＝2，
故答案為：2．
11．（4分）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝ 10 m．
【解答】解：令y＝0，則﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合題意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案為：10．
12．（4分）一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，3） ．
【解答】解：∵令x＝0，則y＝3，
∴一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
故答案為：（0，3）．
13．（4分）2023年亞洲杯足球聯(lián)賽將在中國舉行，掀起學(xué)校足球運(yùn)動(dòng)熱潮，某校足球隊(duì)計(jì)劃吸收一名新球員，組織了4輪技能考試，其中A和B的成績（百分制）較為突出，具體如下：若教練要從中選出一名技術(shù)穩(wěn)定的球員，則被選中的是 A ．（填寫序號）
【解答】解：A的平均成績?yōu)椋海?br>A成績的方差為：，
B的平均成績?yōu)椋海?br>B成績的方差為：，
∵2＜7.5，
∴被選中的是A，
故答案為：A．
14．（4分）如圖在Rt△ABC中，∠A＝90°，斜邊上的高AD交BC于D，若BD＝9，CD＝4，則AD的長度等于 6 ．
【解答】解：由射影定理得，AD2＝BD?CD，
則AD2＝9×4＝36，
∴AD＝6，
故答案為：6．
15．（4分）若菱形的兩對角線長分別為a、b，且滿足，則該菱形的面積為 1 ．
【解答】解：∵≥0，|b﹣2|≥0，且+|b﹣2|＝0，
∴＝0，|b﹣2|＝0，
∴|a﹣1|＝0，b＝2，
∴a＝1，
∵菱形的兩條對角線互相垂直，且兩條對角線長分別為a＝1，b＝2，
∴該菱形的面積為S＝ab＝×1×2＝1，
故答案為：1．
16．（4分）若矩形的一個(gè)內(nèi)角的平分線把矩形的一條邊分成3cm和5cm的兩段，則該矩形的周長為 22cm或26cm ．
【解答】解：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
當(dāng)AE＝3cm時(shí)，AB＝AE＝3＝CD，AD＝3cm+5cm＝8cm＝BC，
∴此時(shí)矩形ABCD的周長是AB+BC+CD+AD＝3cm+8cm+3cm+8cm＝22cm；
當(dāng)AE＝5cm時(shí)，AB＝AE＝5cm＝CD，AD＝3cm+5cm＝8cm＝BC，
∴此時(shí)矩形ABCD的周長是AB+BC+CD+AD＝5cm+8cm+5cm+8cm＝26cm；
故答案為：22cm或26cm．
17．（4分）定義：把二次函數(shù)y＝a（x+m）2+n與y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常數(shù)）稱作互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．如果二次函數(shù)y＝x2+bx﹣2與y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常數(shù)）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，寫出點(diǎn)P（b，c）的坐標(biāo) （﹣，2） ．
【解答】解：根據(jù)題意得，
解得．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，2），
故答案為：（﹣，2）．
18．（4分）在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在直線BC和CD上運(yùn)動(dòng)，連接AN，DM，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，連接OM，ON，得OM⊥ON，當(dāng)CM＝4時(shí)，MN＝ 或． ．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)M在線段CB的延長線上時(shí)，
∵CM＝4，BC＝2，
∴BM＝2，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，
∴AO＝CO＝BO，∠ABO＝∠ACB＝45°，OB⊥AC，
∴∠OCN＝∠OBM＝135°，∠BOC＝∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠BOM，
∴△OCN≌△OBM（ASA），
∴BM＝CN＝2，
∴MN＝；
當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長線上時(shí)，
同理可得：∴MN＝；
綜上所述：MN的長為或．
故答案為：或．
三.解答題（滿分78分）
19．（10分）計(jì)算：（結(jié)果保留帶分?jǐn)?shù)形式）．
【解答】解：
＝
＝．
20．（10分）解不等式組：并在數(shù)軸上表示它的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤1，
在數(shù)軸上表示不等式的解集為：
，
所以不等式組的解集為：﹣1＜x≤1．
21．（10分）半馬，即半程馬拉松，又稱二分之一馬拉松，目前國際上從眾增長最快的賽跑項(xiàng)目，路程長度大約是21公里．如圖為某次半馬的路線，DE＝10公里，E，E為折返點(diǎn)，拐彎路段EF的長度忽略不計(jì)，F(xiàn)G＝8公里，G→H為半圓路段，O為圓心，半徑為1公里．根據(jù)選手報(bào)名人數(shù)和賽道寬度等情況，為保證賽道暢通和補(bǔ)給有序，組委會(huì)決定采取分區(qū)檢錄、分槍起跑、同地出發(fā)的發(fā)令方式，具體發(fā)令時(shí)間如下：
◆第一槍發(fā)令時(shí)間7：30，A區(qū)選手出發(fā)；
◆第二槍發(fā)令時(shí)間7：35，B區(qū)選手出發(fā)；
◆第三槍發(fā)令時(shí)間7：40，C區(qū)選手出發(fā)．
若甲為B區(qū)選手，平均配速為5分鐘/公里；乙為A區(qū)選手，平均配速為5.5分鐘/公里．（平均配速是指每公里所需要的時(shí)間）
（1）在整個(gè)賽程中，甲、乙共有 1 次相遇，并求甲、乙在距離起點(diǎn)多少公里處相遇；
（2）此次比賽，冠軍用時(shí)1小時(shí)3分鐘．已知丙為C區(qū)選手，甲出發(fā)17分鐘時(shí)，甲、乙、丙三人所在的位置分別為S，R，T，當(dāng)S，R，T三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，求丙的平均配速．
【解答】解：（1）設(shè)甲、乙在距離起點(diǎn)x公里處相遇，則
5.5x﹣5x＝5，
解得：x＝10，
故甲、乙在距離起點(diǎn)10公里處相遇，且甲乙共有1次相遇．
故答案為：1．
（2）∵冠軍用時(shí)1小時(shí)3分鐘，
∴冠軍的平均配速約為3分鐘/公里，
∴丙的平均配速≥3分鐘/公里，
設(shè)丙的平均配速為y分鐘/公里，
∵DS＝×17＝3.4，DR＝×（17+5）＝4，
∴SR＝DR﹣DS＝0.6，
①如圖，
當(dāng)S為中點(diǎn)時(shí)，得DT＝DR﹣2SR＝2.8，
即2.8y＝17﹣5，
解得：y＝，
故丙的平均配速為分鐘/公里；
②如圖，
當(dāng)T為中點(diǎn)時(shí)，得DT＝DR﹣SR＝3.7，
即3.7y＝17﹣5，
解得：y＝，
故丙的平均配速為分鐘/公里；
③如圖，
當(dāng)R為中點(diǎn)時(shí)，得DT＝DR+SR＝4.6，
即4.6y＝17﹣5，
解得：y＝＜3（舍去），
綜上丙的平均配速為分鐘/公里或分鐘/公里．
22．（10分）閱讀以下微信群聊，完成任務(wù)．
【解答】解：（任務(wù)一）由微信聊天記錄可知，小駱家5人，小紅家6人，小雷家6人，小綠家4人，“我”家5人，共26人．
∵420÷（5﹣1）＝105（元/人），650÷（7﹣1）≈108.33（元/人），
∴盡可能坐五座車更劃算．
26÷4＝6（輛）…2（人）．
打車方案為：
①7輛5座車，0輛7座車，費(fèi)用為7×420＝2940（元）；
②6輛5座車，1輛7座車，費(fèi)用為6×420+650＝3170（元）；
③5輛5座車，1輛7座車，費(fèi)用為5×420+650＝2750（元）；
④4輛5座車，2輛7座車，費(fèi)用為4×420+2×650＝2980（元）；
⑤3輛5座車，3輛7座車，費(fèi)用為3×420+3×650＝3210（元）；
⑥2輛5座車，3輛7座車，費(fèi)用為2×420+3×650＝2790（元）；
⑦1輛5座車，4輛7座車，費(fèi)用為420+4×650＝3020（元）；
⑧0輛5座車，5輛7座車，費(fèi)用為5×650＝3250（元）．
∴有8種打車方案．打5輛5座車，1輛7座車比較劃算．
（任務(wù)二）根據(jù)題意可知，小綠家要2間“親子家庭房”，“我”家要2間“親子家庭房”，共4間“親子家庭房”，花費(fèi)3000元．
∴每間“親子家庭房”的價(jià)格是3000÷4＝750（元），
∴小胡家的兩間“親子家庭房”共花費(fèi)750×2＝1500（元）．
（任務(wù)三）設(shè)該“旅行團(tuán)”購買了“380”的門票x張，則購買了“580”的門票為（26﹣x）張．設(shè)“我”朋友一家6人，每人的票價(jià)為m元．
∴380x+580（26﹣x）＝6m，
∴x＝（x為整數(shù)，且x≤26）．
①當(dāng)m＝380時(shí)，x＝＝64（不符合題意）；
②當(dāng)m＝580時(shí)，x＝＝58（不符合題意）；
③當(dāng)m＝880時(shí)，x＝＝49（不符合題意）；
④當(dāng)m＝1280時(shí)，x＝＝37（不符合題意）；
⑤當(dāng)m＝1880時(shí)，x＝＝19（符合題意）；
⑥當(dāng)m＝2880時(shí)，x＝＝﹣11（不符合題意）；
⑦當(dāng)m＝3880時(shí)，x＝＝﹣41（不符合題意）．
∴該“旅行團(tuán)”分別購買了“380”和“580”這兩種票價(jià)的門票各19張和7張．
23．（12分）如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F和G分別是線段OA、OB和BC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形OEFG是平行四邊形；
（2）當(dāng)AC＝2AB時(shí)，求證；四邊形GCAF是等腰梯形．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∵點(diǎn)E、F和G分別是線段OA、OB和BC的中點(diǎn)．
∴CG＝BG，OE＝AE，OF＝BF，
∴OG是△ABC的中位線，
∴OG＝，OG∥AB，
同理，EF＝AB，EF∥AB，
∴OG＝EF，OG∥EF，
∴四邊形OEFG是平行四邊形；
（2）如圖，連接AF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AC＝2AB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△ABO是等邊三角形，
∴AF⊥OB，AF＝AB，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝AB，
∴CG＝AB，
∴AF＝CG，
∵四邊形OEFG是平行四邊形，
∴FG∥AC，
∴四邊形GCAF是等腰梯形．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C是拋物線上對稱軸左側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，將線段OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段OD，連接BD，過點(diǎn)C作x軸的平行線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）求拋物線y＝ax2+bx﹣2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，點(diǎn)F在y軸上，連接CF且CF⊥BD，求線段CF的長；
（3）連接BE，將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段BN，連接ON，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△BOD與△BON的面積之和為，且點(diǎn)D與點(diǎn)N分別位于x軸兩側(cè)時(shí)，請直接寫出m的值．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），
∴，
解得：，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣2；
（2）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣2，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝×（﹣2）2﹣×（﹣2）﹣2＝，
∴C（﹣2，），
將線段OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段OD，
則OC＝OD，∠COD＝90°，
如圖，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)CE交y軸于點(diǎn)G，
則∠DHO＝90°，
∵CE∥x軸，
∴∠CGO＝90°＝∠DHO，
∵∠COG+∠DOG＝90°，∠DOH+∠DOG＝90°，
∴∠COG＝∠DOH，
∴△COG≌△DOH（AAS），
∴CG＝DH＝2，OG＝OH＝，
∴BH＝OH﹣OB＝﹣3＝，
在Rt△BDH中，BD＝＝＝，
∵CF⊥BD，x軸⊥y軸，即FG⊥BH，且∠CFG和∠DBH均為銳角，
∴∠CFG＝∠DBH，
∵∠AGF＝∠DHB＝90°，
∴△CFG≌△DBH（AAS），
∴CF＝BD＝；
（3）由題意得：C（m，m2﹣m﹣2），
∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1對稱，
∴E（2﹣m，m2﹣m﹣2），
當(dāng)m＜0時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于G，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，過點(diǎn)E作EK⊥x軸于K，過點(diǎn)N作NL⊥x軸于L，如圖2，
則CG＝EK＝m2﹣m﹣2，OG＝﹣m，BK＝2﹣m﹣3＝﹣m﹣1，
由旋轉(zhuǎn)得：OD＝OC，BN＝BE，∠COD＝∠EBN＝90°，
∴∠COG+∠DOH＝90°，
∵∠OGC＝∠DHO＝90°，
∴∠COG+∠OGC＝90°，
∴∠OGC＝∠DOH，
∴△COG≌△ODH（AAS），
∴DH＝OG＝﹣m，
同理可得：△BNL≌△EBK（AAS），
∴NL＝BK＝﹣m﹣1，
∴S△BOD+S△BON＝OB?（DH+NL）＝×3（﹣m﹣m﹣1）＝﹣3m﹣，
∵S△BOD+S△BON＝，
∴﹣3m﹣＝，
解得：m＝﹣；
當(dāng)0≤m＜1時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥x軸于G，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，過點(diǎn)E作EK⊥x軸于K，過點(diǎn)N作NL⊥x軸于L，如圖3，
則OG＝EK＝﹣m2+m+2，CG＝m，BK＝3﹣（2﹣m）＝m+1，
由旋轉(zhuǎn)得：OD＝OC，BN＝BE，∠COD＝∠EBN＝90°，
∵∠COG+∠DOG＝∠DOH+∠DOG＝90°，
∴∠COG＝∠DOH，
∵∠OGC＝∠OHD＝90°，
∴△COG≌△DOH（AAS），
∴DH＝CG＝m，
同理可得：△BNL≌△EBK（AAS），
∴NL＝BK＝m+1，
∴S△BOD+S△BON＝OB?（DH+NL）＝×3（m+m+1）＝3m+，
∵S△BOD+S△BON＝，
∴3m+＝，
解得：m＝；
綜上所述，m的值為﹣或．
25．（14分）如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直徑AB的垂線交⊙O于C，D兩點(diǎn)．
（1）若⊙O的半徑為2，，連接CO，DO，求劣弧的長度；
（2）如圖2，點(diǎn)K是劣弧上一點(diǎn)，連接AK，BK，AK交CD于點(diǎn)Q，連接BQ，記∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；
（3）如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)K是劣弧上一點(diǎn)，連接AK，DK，AK交CD于點(diǎn)Q，DK交AB于點(diǎn)N，連接AD，QN．
①求證：△DAQ∽△AND；
②記∠OND＝θ，△ANQ的面積為S1，△DON的面積為S2，求的值（結(jié)果用含有θ的三角函數(shù)值的式子進(jìn)行表示）．
【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴，，
∴，
∴∠AOC＝60°，∠COD＝120°，
∴，
∴劣弧的長度為；
（2）解：同理（1）可知QP⊥BP，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AKB＝90°，即QK⊥BK，
∵BQ平分∠ABK，
∴QP＝QK，
∵QB＝QB，QP＝QK，
∴Rt△BPQ≌Rt△BKQ（HL），
∴BP＝BK，
由題意知，
設(shè)BP＝BK＝3m，則AB＝5m，
由勾股定理得，
設(shè)QP＝QK＝n，則AQ＝4m﹣n，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴β的正切值為；
（3）①證明：由題意知CD⊥AB，
∵動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)O，
∴CD為直徑，
∴，
∴∠ADQ＝∠NAD＝∠AKD，
∵∠DAQ＝∠KAN+∠NAD，∠AND＝∠KAN+∠AKD，
∴∠DAQ＝∠AND，
∴△DAQ∽△AND；
②解：設(shè)⊙O的半徑為r，則AO＝DO＝r，
由勾股定理得，
∵∠OND＝θ，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∵△DAQ∽△AND，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴的值為tmnθ＝﹣1．序號
第1輪
第2輪
第3輪
第4輪
A
90
88
92
90
B
89
92
86
93
任務(wù)一：該“旅行團(tuán)”有幾種打車方案？哪種方案比較劃算？
任務(wù)二：小胡家的兩間“親子家庭房”共花費(fèi)多少錢？
任務(wù)三：該“旅行團(tuán)”分別購買了“380”和“580”這兩種票價(jià)的門票各多少張？


序號
第1輪
第2輪
第3輪
第4輪
A
90
88
92
90
B
89
92
86
93
任務(wù)一：該“旅行團(tuán)”有幾種打車方案？哪種方案比較劃算？
任務(wù)二：小胡家的兩間“親子家庭房”共花費(fèi)多少錢？
任務(wù)三：該“旅行團(tuán)”分別購買了“380”和“580”這兩種票價(jià)的門票各多少張？


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