時(shí)量：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
★3．已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知命題甲：“實(shí)數(shù)x，y滿足”，乙“實(shí)數(shù)x，y滿足”，則甲是乙的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知，則（ ）
A． B． C． D．
6．將函數(shù)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
7．由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案．第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次買50元豬肉．下列說法正確的是（ ）
A．采用第一種方案劃算 B．采用第二種方案劃算
C．兩種方案一樣 D．采用哪種方案無法確定
8．表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，已知奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，，對(duì)于區(qū)間上的任意都有，若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．設(shè)向量，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若與的夾角為鈍角，則 B．的最小值為9
C．與共線的單位向量只有一個(gè)，為 D．若，則
10．隨機(jī)抽取8位同學(xué)對(duì)2024年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)如下：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說法正確的有（ ）
A．均值為101 B．極差為9 C．方差為8 D．第60百分位數(shù)為101
11．陽馬和鱉脂[biē nà]是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱謂，取一長(zhǎng)方體按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱（圖2，圖3），稱為塹堵．再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開（圖4），得四棱錐和三棱錐各一個(gè)．以矩形為底，有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬（圖5）．余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉膈（圖6）．若圖1中的長(zhǎng)方體是棱長(zhǎng)為1的正方體，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．鱉臑中的四個(gè)直角三角形全等 B．塹堵的表面積等于陽馬與鱉臑的表面積之和
C．鱉臑的體積等于陽馬體積的一半 D．鱉臑的內(nèi)切球表面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若A，B，C三點(diǎn)共線，對(duì)任意一點(diǎn)O，有（為銳角）成立，則__________．
13．已知函數(shù)，滿足，則 __________．
14．如圖已知點(diǎn)A，B在圓錐SO的底面圓周上，S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐的底面中心，且圓錐SO的底面積為，，若AB與截面SAO所成角為，則圓錐SO的側(cè)面積為___________．
四、解答題：本題共5小題共77分．解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟
15．（本小題滿分13分）
已知函數(shù)滿足．
（1）求；
（2）求在區(qū)間上的最小值．
16．（本小題滿分15分）
的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知．
（1）求A；
（2）若，求的面積．
17．（本小題滿分15分）
隨著時(shí)代不斷地進(jìn)步，人們的生活條件也越來越好，越來越多的人注重自己的身材，其中體脂率是一個(gè)很重要的衡量標(biāo)準(zhǔn)根據(jù)一般的成人體準(zhǔn)，女性體脂率的正常范圍是20%至25%，男性的正常范圍是15%至18%．這一范圍適用于大多數(shù)成年人，可以幫助判斷個(gè)體是否存在肥胖的風(fēng)險(xiǎn)．
某市有關(guān)部門對(duì)全市100萬名成年女性的體脂率進(jìn)行一次抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)，抽取了1000名成年女性的體脂率作為樣本繪制頻率分布直方圖如圖．
（1）求a；
（2）如果女性體脂率為25%至30%屬“偏胖”，體脂率超過30%屬“過胖”，那么全市女性“偏胖”，“過胖”各約有多少人？
（3）小王說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù).”小張說：“我的體脂率是調(diào)查所得數(shù)據(jù)的平均數(shù).”那么誰的體脂率更低？
★18．（本小題滿分17分）
如圖，四棱錐的底面為正方形，底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
（1）證明：平面PDC；
（2）已知，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
19．（本小題滿分17分）
在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)，猜是正面的概率為．猜是反面的概率為；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時(shí)，猜是反面的概率為，猜是正面的概率為．假設(shè)每次扔硬幣相互獨(dú)立．
（1）若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測(cè)全部正確與猜測(cè)全部錯(cuò)誤的概率分別為，試比較的大小；
（2）若不管扔硬幣是正面還是反面猜對(duì)的概率都大于猜錯(cuò)的概率，
（i）從下面①②③④中選出一定錯(cuò)誤的結(jié)論：
①；②；③，④
（ii）從（i）中選出一個(gè)可能正確的結(jié)論作為條件．用X表示猜測(cè)的正反文字串，將X中正面的個(gè)數(shù)記為，如 “正反正反”，則，有的四次硬幣分別為“正正反反”，求的取值范圍．

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