知識(shí)梳理
空間中勻強(qiáng)磁場的分布是三維的，帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況可以是三維的．現(xiàn)在主要討論兩種情況：
(1)空間中只存在勻強(qiáng)磁場，當(dāng)帶電粒子的速度方向與磁場的方向不平行也不垂直時(shí)，帶電粒子在磁場中就做螺旋線運(yùn)動(dòng)．這種運(yùn)動(dòng)可分解為平行于磁場方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于磁場平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
(2)空間中的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場(或重力場)平行時(shí)，帶電粒子在一定的條件下就可以做旋進(jìn)運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)可分解為平行于磁場方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直于磁場平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
例1 如圖所示，質(zhì)子以初速度v進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B且足夠大的勻強(qiáng)磁場中，速度方向與磁場方向的夾角為θ.已知質(zhì)子的質(zhì)量為m、電荷量為e.質(zhì)子重力不計(jì)，則下列說法正確的是( )
A．質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的軌跡為螺旋線，螺旋線的中軸線方向垂直于紙面向里
B．質(zhì)子在垂直于磁場平面做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為eq \f(mvcs θ,eB)
C．質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期為eq \f(2πm,eBsin θ)
D．一個(gè)周期內(nèi)，質(zhì)子沿著螺旋線軸線方向運(yùn)動(dòng)的距離(即螺距)為eq \f(2πmvcs θ,eB)
答案 D
解析 將質(zhì)子的初速度分解為垂直于磁場方向的速度v1＝vsin θ，沿磁場方向的速度v2＝vcs θ，質(zhì)子沿垂直磁場方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿磁場方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的軌跡為螺旋線，螺旋線的中軸線方向平行磁場方向，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動(dòng)的半徑為r＝eq \f(mv1,eB)＝eq \f(mvsin θ,eB)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；質(zhì)子做螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期為T＝eq \f(2πr,v1)＝eq \f(2πm,eB)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；一個(gè)周期內(nèi)，質(zhì)子沿著螺旋線軸線方向運(yùn)動(dòng)的距離(即螺距)為x＝v2T＝eq \f(2πmvcs θ,eB)，選項(xiàng)D正確．
變式訓(xùn)練1 (2023·山東菏澤市模擬)在空間中存在水平向右的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，電場強(qiáng)度大小為E，方向均沿x軸水平向右．在O點(diǎn)，一個(gè)α粒子(氦原子核)以速度v0沿與x軸夾角為60°的方向射入電、磁場，已知質(zhì)子質(zhì)量為m、電荷量為q，不計(jì)α粒子的重力．求：
(1)α粒子離x軸的最遠(yuǎn)距離；
(2)α粒子從O點(diǎn)射出后，第3次與x軸相交時(shí)的動(dòng)能．
答案 (1)eq \f(2\r(3)mv0,qB) (2)2mv02＋eq \f(12πmE,B)(v0＋eq \f(6πE,B))
解析 (1)由題意可知α粒子的質(zhì)量為mα＝4m、電荷量為qα＝2q，將α粒子的初速度分解成沿x軸方向的分速度vx與垂直x軸方向的分速度vy，則有
vx＝v0cs 60°＝eq \f(1,2)v0，vy＝v0sin 60°＝eq \f(\r(3),2)v0
由于vx與磁場方向平行，不受洛倫茲力影響，電場方向沿著x軸方向，只影響vx，不影響vy，故α粒子在電、磁場中的運(yùn)動(dòng)可分解為：垂直于x軸的平面
內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿x軸方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．對于垂直于x軸平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qαvyB＝mαeq \f(vy2,r)，解得圓周運(yùn)動(dòng)半徑r＝eq \f(mαvy,qαB)＝eq \f(4mvy,2qB)＝eq \f(\r(3)mv0,qB)，故α粒子離x軸的最遠(yuǎn)距離是直徑的長度，即為eq \f(2\r(3)mv0,qB)；
(2)α粒子從O點(diǎn)射出后，第3次與x軸相交時(shí)，由于在垂直于x軸的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可知此過程經(jīng)歷的時(shí)間t＝3T＝3×eq \f(2πmα,qαB)＝eq \f(12πm,qB)，沿x軸方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)所通過的位移x＝vxt＋eq \f(1,2)at2，又加速度a＝eq \f(qαE,mα)＝eq \f(qE,2m)，解得x＝eq \f(6πm,qB)(v0＋eq \f(6πE,B))
α粒子從O點(diǎn)射出后到第3次與x軸相交的過程，由動(dòng)能定理有qαEx＝Ek－eq \f(1,2)mαv02
聯(lián)立解得α粒子從O點(diǎn)射出后，第3次與x軸相交時(shí)的動(dòng)能Ek＝2mv02＋eq \f(12πmE,B)(v0＋eq \f(6πE,B))．
題型二 帶電粒子在立體空間中的偏轉(zhuǎn)
知識(shí)梳理
分析帶電粒子在立體空間中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要發(fā)揮空間想象力，確定粒子在空間的位置關(guān)系．帶電粒子依次通過不同的空間，運(yùn)動(dòng)過程分為不同的階段，只要分析出每個(gè)階段上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，再利用兩個(gè)空間交界處粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和關(guān)聯(lián)條件即可解決問題．有時(shí)需要將粒子的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)(比如螺旋線運(yùn)動(dòng)和旋進(jìn)運(yùn)動(dòng))來求解．
例3 (2022·山東卷·17)中國“人造太陽”在核聚變實(shí)驗(yàn)方面取得新突破，該裝置中用電磁場約束和加速高能離子，其部分電磁場簡化模型如圖所示，在三維坐標(biāo)系Oxyz中，0

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