2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三年級(jí)期初學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案
1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D 7.B 8.A
9. AD 10.ABD 11.BCD 12.64 13. 14.
15.（1）根據(jù)題意，可得如下的的列聯(lián)表：
分
則分
所以有的把握認(rèn)為喜歡閱讀電子書與年齡有關(guān)．分
（2）由題意可得抽到喜歡閱讀電子書的年輕人數(shù)為4名，喜歡閱讀紙質(zhì)書的年輕人數(shù)為3名，
所以隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3
由超幾何分布的分布列可得
，，
，分
所以X的分布列為：
分
則期望為. 分
16.（1）取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)?，所以?br>又，，所以，
在正方形中，，所以，
所以，
又，所以，即，分
又，平面，平面，所以平面，分
所以四棱錐的體積為； 分
（2）過作交于，則，結(jié)合（1）中平面，
故可建以為原點(diǎn)，、、所在直線為、、軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
所以，，，，
故，，分
設(shè)平面的法向量為，
則，故，
取，則，，
故平面的一個(gè)法向量為， 分
因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，分
所以， 分
設(shè)二面角的大小為，由圖可知為銳角，
所以,所以
所以二面角的平面角的正弦值為．分
17.（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，得，, 分
當(dāng)時(shí)，，① ，②
①②得， 分
因?yàn)椋裕畡t， 分
∵，∴，
所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列. 分
所以，則. 分
（2）由，
則， 11分
所以的前項(xiàng)和：
. 15分
18.（1）由，，
得.
令，解得. 2分
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 4分
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增. 5分
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增. 7分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為 8分
（2）因?yàn)閷?duì)任意，均存在，使得，
所以. 9分
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為0. 10分
由（1）得，
Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減
即當(dāng)時(shí)，取得最大值，
解得，即. 12分
Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
，
，又因?yàn)?，所以無解； 14分
Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增區(qū)間，，
所以無解； 15分
Ⅳ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
又因?yàn)椋詿o解 16分
綜上所述，的取值范圍為. 17分
19.（1）由，得，所以橢圓E的方程為. 3分
（2）顯然直線l的的斜率存在且不為0，
設(shè)直線的方程為，，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
聯(lián)立方程，消去整理得
則，且， 分
又因?yàn)橹本€的方程為，
令，得的橫坐標(biāo)為
分
所以為定值. 分
（3）依題意，，設(shè)，直線斜率為.
若直線的斜率為0，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，必有，不合題意.
所以直線的斜率必不為0，設(shè)其方程為，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，可得，分
因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，滿足，
所以，
則，即.
因?yàn)?br>所以，此時(shí)，
故直線恒過軸上一定點(diǎn). 分
因此
所以 分
令，則，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值. 分
年長(zhǎng)者
年輕人
總計(jì)
喜歡閱讀電子書
6
24
30
喜歡閱讀紙質(zhì)書
12
18
30
總計(jì)
18
42
60
X
0
1
2
3
P

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