四川省自貢市旭川中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)（A卷）試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 在等差數(shù)列中，，則
A. 8B. 12C. 16D. 20
【答案】A
【解析】
【詳解】由題意，數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)得，，則，所以.故選A.
2. 設(shè)為實(shí)數(shù)，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知條件，分析橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，列出不等式，求解即可.
【詳解】表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得.
故選：D
3. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若是和的等比中項(xiàng)，則（）
A. 398B. 388
C. 189D. 199
【答案】C
【解析】
【分析】數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，由是和的等比中項(xiàng)，可得，解得即可得出．
【詳解】解：數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，是和的等比中項(xiàng)，
，
化為，．
所以，
則．
故選：C．
4. 與橢圓：共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先設(shè)出雙曲線方程，求出的值即焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)雙曲線的定義、平方關(guān)系求出的值即可求解.
【詳解】由題意不妨設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，即橢圓與所求雙曲線的公共焦點(diǎn)為，
由雙曲線的定義可知，
所以，
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
5 已知數(shù)列滿足，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可．
【詳解】解：因?yàn)?，則，又，則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以，
則．
故選：D.
6. 設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上一點(diǎn)，且，若的面積為4，則雙曲線C的離心率為（）
A. B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用雙曲線的定義和三角形的面積公式，列出方程組求得的值，結(jié)合離心率的定義，即可求解.
【詳解】由題意，雙曲線，可知，
設(shè)，可得，
又因?yàn)?，若的面積為，所以，且，
聯(lián)立方程組，可得，所以雙曲線的離心率為.
故選：D.
7. 已知，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是（）
A. B. C. D. n
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，再利用累乘法計(jì)算可得；
【詳解】由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
8. 北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)隙積術(shù)，是研究某種物品按一定規(guī)律堆積起來(lái)求其總數(shù)問(wèn)題.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，發(fā)展了隙積術(shù)的成果，對(duì)高階等差數(shù)列求和問(wèn)題提出了一些新的垛積公式.高階等差數(shù)列的前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23…則該數(shù)列的第41項(xiàng)為（）
A. 782B. 822C. 780D. 820
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和累加法求通項(xiàng)可求解.
【詳解】設(shè)該數(shù)列為,
由題可知,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
所以,
所以,
所以所以
所以
故選:B.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的不得分）
9. 記為等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和.已知，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由求出，再由可得公差為，從而可求得其通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式
【詳解】由題可知，，即，所以等差數(shù)列{an}的公差，
所以，.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，考查運(yùn)算求解能力.
10. 數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，且，則下列正確的是（）
A. 是數(shù)列中的項(xiàng)
B. 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列
C. 數(shù)列的前項(xiàng)和
D. 數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】BCD
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求得，由數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，求得，結(jié)合數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減法求和，可得結(jié)論．
【詳解】解：數(shù)列滿足，，
可得，即有，即，
由，可得，解得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
兩式相減可得，
即為，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，故B正確；
令，解得，不為整數(shù)，故A錯(cuò)誤；
，則，故C正確；
，，，
兩式相減可得，
化為，故D正確．
故選：BCD．
11. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，等比數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)中，可得據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)于等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，由題意可得 ,，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得的表達(dá)式，據(jù)此依次分析選項(xiàng)，即可得答案
【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于數(shù)列，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
則有，即①﹔
由①可得∶，②,
①-②可得：,③
時(shí)，,
驗(yàn)證可得∶時(shí)，符合③式,
則，
對(duì)于等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，
等比數(shù)列滿足，時(shí)，有④，
時(shí)，有⑤，
聯(lián)立④⑤，解可得，則，
則有;
據(jù)此分析選項(xiàng)：
對(duì)于A、,則有，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B、，，故，故B正確；
對(duì)于C、時(shí)，不成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D、，，則有，D正確；
故選：BD
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）
12. 若數(shù)列滿足，則________，前8項(xiàng)的和________.
【答案】 ①. 8 ②. 255
【解析】
【分析】由已知條件可得數(shù)列是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式分別求出和.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，
所以數(shù)列是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
所以，.
故答案為：8，255
13. 已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項(xiàng)和，若，是方程的兩個(gè)根，則__________．
【答案】63
【解析】
【詳解】試題分析：因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，且等比數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即，則；故填63．
考點(diǎn)：1．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；2．等比數(shù)列．
14. 《孫子算經(jīng)》中提到“物不知數(shù)”問(wèn)題.如：被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，即，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為_(kāi)_______.
【答案】19
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得到，再由基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知數(shù)列滿足且.
（1）求證：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，構(gòu)造出，再求出，可得結(jié)論；
（2）由（1）和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得解.
詳解】（1）證明：，
又，
是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；
（2）由（1）知
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)遞推公式證明數(shù)列是等比數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵在于構(gòu)造出所需的表達(dá)式，屬于中檔題.
16. 已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，，．
（1）求an的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法，即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由，，
得，解得，
故；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
故
.
17. 2015年推出一種新型家用轎車，購(gòu)買時(shí)費(fèi)用為16.9萬(wàn)元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共1.2萬(wàn)元，汽車的維修費(fèi)為：第一年無(wú)維修費(fèi)用，第二年為0.2萬(wàn)元，從第三年起，每年的維修費(fèi)均比上一年增加0.2萬(wàn)元.
（I）設(shè)該輛轎車使用n年的總費(fèi)用（包括購(gòu)買費(fèi)用、保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)及維修費(fèi)）為f(n)，求f(n)的表達(dá)式；
（II）這種汽車使用多少報(bào)廢最合算（即該車使用多少年，年平均費(fèi)用最少）？
【答案】(1) （萬(wàn)元）.
(2) 13年報(bào)廢最合算.
【解析】
【詳解】分析：（1）先根據(jù)等差數(shù)列求和公式得維修總費(fèi)用，再加上購(gòu)買費(fèi)用、保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)得f(n)的表達(dá)式；（2）先列年平均費(fèi)用，再根據(jù)基本不等式求最值,最后根據(jù)等號(hào)取法得結(jié)果.
詳解：（I）由題意得：每年的維修費(fèi)構(gòu)成一等差數(shù)列，n年的維修總費(fèi)用為
（萬(wàn)元）
所以（萬(wàn)元）
（II）該輛轎車使用n年的年平均費(fèi)用為

=3.7（萬(wàn)元）
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n=13
答：這種汽車使用13年報(bào)廢最合算.
點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.
18. 已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，且，，數(shù)列滿足．
（1）試求，的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
（3）若數(shù)列為遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1），
（2）答案見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)，可得，兩式相除可得，兩邊取對(duì)數(shù)并構(gòu)造常數(shù)列，即可求得，進(jìn)一步得到答案.
（2）由（1）的分析可得答案.
（3）由（1）的結(jié)論，求出，再根據(jù)單調(diào)數(shù)列的意義列式求解即得.
【小問(wèn)1詳解】
由為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積，得，由，得，
于是，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，
即，整理得，
因此數(shù)列是常數(shù)列，即，于是，所以.
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【小問(wèn)3詳解】
由（1）知，，
由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，
即，而數(shù)列是遞減數(shù)列，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
19. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（3）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，即可解出，則可寫出其通項(xiàng)公式；
（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合第（1）問(wèn)，即可求得；
（3）利用錯(cuò)位相減，化簡(jiǎn)解可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)公差為d，中，令得，
又，則，解得，
故；
【小問(wèn)2詳解】
；
小問(wèn)3詳解】
，
則①，
故②，
故①－②得
，
故．

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