1.設(shè)集合A=0,1,2,3,B=xx2?x?60，縱坐標(biāo)不變，所得圖象恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心在區(qū)間0, π3內(nèi)，則( )
A. fx在區(qū)間0, π12上單調(diào)遞增
B. fx在區(qū)間π12, 13π12內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)
C. 直線y=x2+ 34是曲線y=fx的一條切線
D. ω的取值范圍為1, 74
11.若數(shù)列an滿足an+1=an2，則稱an為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列bn滿足：b1=99，點(diǎn)bn, bn+1在函數(shù)fx=x2+2x的圖象上.設(shè)Tn=b1+1b2+1? ? ?bn+1, Sn=i=1nlgTilgbi+1，則( )
A. bn+1為平方遞推數(shù)列
B. bn=100n?1
C. lgTn=2n+1?2
D. 使得Sn>4048成立的n的最小值為2026
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知一組數(shù)據(jù)1，3，5，x的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ．
13.已知lg2025m+m?2026=0, 2025n+n?2026=0，則lg2025m+2025n= ．
14.把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，A′B′，AB分別是橢圓柱OO′的上、下底面橢圓的長(zhǎng)軸，AB=AA′=4，且底面橢圓的離心率為12，F(xiàn)1,F2分別為下底面橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為母線BB′上的動(dòng)點(diǎn)，Q為線段A′B′上的動(dòng)點(diǎn)，CD為過(guò)點(diǎn)F2的下底面橢圓的一條動(dòng)弦(不與長(zhǎng)軸重合)，則三棱錐Q?PCD體積的最大值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在?ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a, b, c，sinA+sinCsinB=b?ac?a．
(1)求C；
(2)若點(diǎn)P在線段AB上，且AP=2BP=CP，求ab．
16.(本小題15分)
記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=3，Sn+1=Sn+an+2．
(1)求an的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列2an4+1Sn的前n項(xiàng)和Tn．
17.(本小題15分)
已知函數(shù)fx=2alnx+x22?a+2x, a∈R．
(1)討論fx的單調(diào)性；
(2)若fx1?fx2x1?x2>1?a對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1, x2恒成立，求a的取值范圍．
18.(本小題17分)
如圖，四棱錐P?ABCD的底面為正方形，∠PAB=60 °, ∠PAD=45 °，且AP=2AB=2．

(1)求證：平面ABP⊥平面BCP．
(2)若PQ=μABμ>0，且三棱錐Q?BCP的體積是四棱錐P?ABCD體積的一半．
(i)求點(diǎn)C到平面APQ的距離；
(ii)求平面APQ與平面BCQ夾角的余弦值．
19.(本小題17分)
已知M是拋物線C1:y2=2pxp>0與橢圓C2:x24+y2=1的一個(gè)交點(diǎn)，C1的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于MF?2，求C1的方程；
(2)若點(diǎn)S滿足MS=2SF，求直線OS斜率的最大值；
(3)若存在過(guò)點(diǎn)M但不過(guò)點(diǎn)O的直線l，與C1交于另一點(diǎn)R，與C2交于另一點(diǎn)N，且R為線段MN的中點(diǎn)，求p的最大值．
參考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.B
6.D
7.C
8.A
9.ABD
10.ACD
11.AC
12. 5
13.2026
14.8
15.解：(1)根據(jù)正弦定理得：sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
將其代入sinA+sinCsinB=b?ac?a得：a2R+c2Rb2R=b?ac?a；
化簡(jiǎn)得：a+cb=b?ac?a，即a2+b2?c2=ab；
根據(jù)余弦定理得：csC=ab2ab=12；因?yàn)?fx2?1?ax2．
設(shè)gx=fx?1?ax，則gx在0,+∞上單調(diào)遞增，
∴g′x=f′x?1?a=2ax+x?3≥0在0,+∞上恒成立，
則2a≥?x2+3x在0,+∞上恒成立，
設(shè)?x=?x2+3x，x∈0,+∞，
函數(shù)的對(duì)稱軸為x=32，則x=32時(shí)，?x取得最大值，最大值?xmax=94．
所以2a≥94，則a≥98
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為98,+∞．

18.解：(1)在?ABP中，cs∠PAB=4+1?PB24=12，得PB= 3，
則AB2+BP2=AP2，即AB⊥BP，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，則AB⊥BC，
又因BP∩BC=B，BP?平面BCP，BC?平面BCP，則AB⊥平面BCP，
又因AB?平面ABP，則平面ABP⊥平面BCP．
(2)(i)以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC分別為x、y軸，過(guò)點(diǎn)D且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D0,0,0,A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0，
設(shè)Pa,b,c，則AB=0,1,0,AP=a?1,b,c,AD=?1,0,0,AC=?1,1,0，
則AB?AP=b=1×2×12=1AD?AP=1?a=1×2× 22= 2AP= a?12+b2+c2=2，得b=1a=1? 2c=1，即P1? 2,1,1，
因VQ?BCP=13S?BPC?PQ=13×12×1×1×PQ=PQ6，
VP?ABCD=13S?ABCD×1=13，且VP?ABCD=2VQ?BCP，
則PQ=1，
因PQ=μABμ>0，則μ=1，即PQ=AB，
設(shè)平面APQ的法向量m=x1,y1,z1，
則AP?m=0PQ?m=0，即? 2x1+y1+z1=0y1=0，取x1=1，則m=1,0, 2，
則點(diǎn)C到平面APQ的距離為AC?mm=1 1+2= 33．

(ii)BC=?1,0,0,BQ=? 2,1,1，
設(shè)平面BCQ的法向量n=x2,y2,z2，
則BC?n=0BQ?n=0，即? 2x2+y2+z2=0?x2=0，取y2=1，則n=0,1,?1，
所以csm,n=m?nmn=? 2 3× 2=? 33，
則平面APQ與平面BCQ夾角的余弦值為 33．

19.解：(1)設(shè)點(diǎn)Mx1,y1，則根據(jù)題意有x1=MF?2?MF=x1+2，
由拋物線的定義有MF=x1+p2，所以p2=2?p=4，
所以C1的方程為y2=8x；
(2)設(shè)點(diǎn)Sx,y，由題意可得Fp2,0，則有MS=x?x1,y?y1,SF=p2?x,?y，
由MS=2SF有x=x1+p3,y=y13，點(diǎn)Mx1,y1在拋物線C1:y2=2pxp>0上，
所以y12=2px1，
所以kOS=yx=y13x1+p3=y1x1+p=y1y122p+p=1y12p+py1≤12 y12p?py1= 22，
當(dāng)且僅當(dāng)y12p=py1時(shí)，即y1= 2p，等號(hào)成立，
所以直線OS斜率的最大值為 22；
(3)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)R和點(diǎn)N重合，不滿足題意，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+t，Rx0,y0,Nx2,y2，
由x24+y2=1y=kx+t?1+4k2x2+8ktx+4t2?4=0,
Δ=8kt2?41+4k24t2?4=164k2?t2+1>0，
所以x1+x2=?8kt1+4k2，x0=x1+x22=?4kt1+4k2,y0=kx0+t=t1+4k2，
所以R?4kt1+4k2,t1+4k2，又點(diǎn)R在拋物線C1上，
所以t1+4k22=2p×?4kt1+4k2?t=?8kp1+4k2?p=t?8k1+4k2，
又因?yàn)閥=kx+ty2=2px?k2x2+2kt?px+t2=0,
所以x1x0=t2k2?x1=t2k2x0=?1+4k2t4k3,y1=kx1+t=?t4k2，
所以M?1+4k2t4k3,?t4k2，又點(diǎn)M在橢圓C2上，
所以14?1+4k2t4k32+?t4k22=1?t2=64k61+4k22+4k2，
所以p2=t264k21+4k22=k41+4k221+4k22+4k2，
又1+4k2≥2 1×4k2=4k，當(dāng)且僅當(dāng)1=4k2時(shí)，即k=±12時(shí)等號(hào)成立，
所以p2=k41+4k221+4k22+4k2≤k416k216k2+4k2=116×20，
所以p≤ 540，所以p的最大值為 540．

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