1. 已知全集，集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列舉法表示出集合A，再利用補集、并集的定義求解即得.
【詳解】依題意，，而，則，又，
所以.
故選：B
2. 已知，則（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的模長公式及除法運算求解復(fù)數(shù)，然后求其共軛復(fù)數(shù)即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以.
故選：B
3. 在中，，則角的大小為（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理計算可得.
【詳解】因為，
由正弦定理，即，所以，
又，所以，則.
故選：A
4. 設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，，則，B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，結(jié)合線面平行、垂直的判定性質(zhì)逐項討論即可得答案．
【詳解】對于A，若，可以在或內(nèi)，當時，， A錯誤；
對于B，若，則或相交，B錯誤；
對于C，若，，則或異面，C錯誤；
對于D，由，得，當時，，D正確．
故選：D.
5. 現(xiàn)測得某放射性元素的半衰期為1500年（每經(jīng)過1500年，該元素的存品為原來的一半），某生物標本中該放射性元素面初始存量為m，經(jīng)檢測現(xiàn)在的存量，據(jù)此推測該生物距今約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：)
A. 2700年B. 3100年
C. 3500年D. 3900年
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意得，
兩邊取對數(shù)得.
故選：C
6. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩角和差公式以及倍角公式化簡求值可得答案.
【詳解】由題干得
所以 ，
故選：B.
7. 已知中，，，AD為BC上的高，垂足為，點為AB上一點，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運算律得可得答案.
【詳解】如圖所示，
由題意可知，，，，故，
因為，
所以，
則
.
故選：A.
8. 已知函數(shù)的定義域為R，滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 是偶函數(shù)B. 是奇函數(shù)
C. 是偶函數(shù)D. 是奇函數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】通過對的賦值，結(jié)合奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念逐項判斷額.
【詳解】由題意知，在函數(shù)中，2023，
當時，，解得，
若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則該函數(shù)的圖象必過原點，即有，故B錯誤.
當時，，解得，
無法得到，故A錯誤.
在函數(shù)中，，
所以是奇函數(shù)，故C錯誤，D正確.
故選：D.
二、多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分． 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求． 全部選對得 6 分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 數(shù)據(jù)1，3，5，7，9，11，13的第60百分位數(shù)為9
B. 投擲一枚均勻硬幣和一個均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件，“骰子向上的點數(shù)大于4”為事件，則事件，中至少有一個發(fā)生的概率是．
C. 用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是
D. 若樣本，，…，的平均數(shù)和方差分別為2和3，則，，…，的平均數(shù)和方差分別為8和27
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)百分位數(shù)的定義計算判斷；對于B，根據(jù)樣本的定義分析判斷；對于C，根據(jù)隨機抽樣的性質(zhì)分析判斷；對于D，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)和方差性質(zhì)分析判斷．
【詳解】對于A：因為，所以第百分位數(shù)為第個數(shù)是，所以正確；
對于：由題意得事件，中至少有一個發(fā)生的對立事件是事件，都不發(fā)生，
而事件不發(fā)生的概率為，事件不發(fā)生的概率為，
所以事件，都不發(fā)生的概率為，
故事件，中至少有一個發(fā)生的概率是．所以錯誤；
對于：用簡單隨機抽樣的方法從個個體中抽取個個體，則每個個體被抽到的概率都是，所以錯誤；
對于，若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差為，
則，，，的平均數(shù)為，方差為，所以正確．
故選：．
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 若，且，
B. 已知正數(shù)、滿足，則的最小值為
C. 若，則的最大值是
D. 若，，，則的最小值是
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式逐項判斷，注意不等成立的前提條件．
【詳解】對于選項，若均為負數(shù)，不等式不成立，所以錯誤；
對于選項，，所以，
則，
所以，，當且僅當，即當時，等號成立，故正確；
對于選項，因為，，當且僅當即時，等號成立，所以，故正確；
對于選項，因為，所以，
所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值是，故錯誤．
故選：．
11. 如圖，在正方體中，為線段的中點，為線段上的動點．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若為中點，則平面
B. 若為中點，則平面
C. 不存在點，使得
D. PQ與平面所成角的正弦值的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A；利用線面垂直的判定定理可判斷B；當Q與B重合時，結(jié)合平面，可證，判讀C；利用線面角的定義求出PQ與平面所成角的正弦值的最值，可判斷D.
【詳解】對于A，連接，由于為中點，為線段的中點，
故，而平面，平面，
故平面，A正確；
對于B，在正方體中，連接，則，
又平面，平面，故，
而平面，故平面，
由A的分析可知，故平面，B正確；
對于C，在正方體中，為線段的中點，也為為線段的中點，
當Q與B重合時，平面，
連接，則，
又平面，平面，故，
而平面，故平面，
而平面，故，即
即存在點，使得，C錯誤；
對于D，不妨設(shè)正方體棱長為2，作，垂足為H，則H為的中點，
由于平面平面，平面平面，
且平面，故平面，且，
則PQ與平面所成角，
當Q與B重合時，取到最大值BH，此時PB即為PQ的最大值，
此時PQ與平面所成角的正弦值取到最小值，為，
而,故；
作，垂足為G，則，，
當Q與G重合時，取到最小值即為HG，此時PG長即為PQ的最小值，
此時PQ與平面所成角的正弦值取到最大值，為，
即PQ與平面所成角的正弦值的取值范圍為，D正確，
故選：ABD
【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于選項D的判斷，解答時要能根據(jù)線面角的定義，確定角的正弦值取到最值時的點Q的位置，從而解直角三角形求出正弦值.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 若平面向量，，且，則__________.
【答案】10或2
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可得或，即可根據(jù)模長的坐標公式求解.
【詳解】，，且，
，即，即，
解得或，
當時，，，
則，；
當時，，，
則，
綜上可知，或2.
故答案為：10或2
13. 如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，，平面平面ABCD，中BC邊上的高，則該幾何體的體積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】先補全多面體ABCDEF，得到三棱柱，然后求出三棱錐的體積，從而求解．
【詳解】在多面體中，由，平面，平面，
得平面，延長FE到G，使得，連接DG、AG，如圖：
顯然，，幾何體為三棱柱，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，則三棱柱為直三棱柱，
于是三棱錐的體積為：，
所以原幾何體的體積為：.
故答案為：
14. 在，角，，所對的邊分別為，，，，交AC于點，且，則的最小值為___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)面積公式和，求出，故利用基本不等式“1”的代換求出最值，得到答案.
【詳解】，
，
，
，
，
∴，
當且僅當，即時，等號成立，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 從某學(xué)校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于和之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．

（1）求第七組的頻率，并估計該校的800名男生的身高的中位數(shù)；
（2）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為，事件，求．
【答案】（1）0.06，174.5
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得第六組的頻率，再利用所有小組的概率之和為1求解；先分析出中位數(shù)所在的組，再利用中位數(shù)所對應(yīng)的概率為0.5求解；
（2）易得第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為，然后利用古典概型的概率求解.
【小問1詳解】
解：第六組的頻率為，
第七組的頻率為．
由直方圖得，身高在第一組的頻率為，
身高在第二組頻率為，
身高在第三組的頻率為，
身高在第四組的頻率為，
由于，
設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為，則，
由得.
【小問2詳解】
第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為，
第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為，
則從中隨機抽取兩名男生有，共15種情況，
因事件發(fā)生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，所以事件包含的基本事件為共7種情況．所以．
16. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）證明：；
（2）若，，求a的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得，可得，或，分類討論即可證明；
（2）由，求解，利用，求解，結(jié)合正弦定理即可求解.
【小問1詳解】
由及正弦定理可得，，
，
即，
所以，
整理得，
即，
又，是的內(nèi)角，
所以，，
所以或（舍去），
即．
【小問2詳解】
由及可知，．
由可知，，．
由可得，．
中，由正弦定理
可得，，解得，
17. 已知函數(shù)，的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：
（2）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等變換公式化簡函數(shù)的解析式，接著依據(jù)題意求出，進而求出函數(shù)，再令，接著求解不等式即可得解.
（2）先由三角變換規(guī)則結(jié)合（1）得，接著由得，再由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)即可求出函數(shù)y=gx在區(qū)間上的值域.
【小問1詳解】
因為
，
又由題，所以，
所以，
令，則，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
由（1），
故由題意可得，
當，，
故由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)可得，
所以即，
所以函數(shù)y=gx在區(qū)間上的值域為.
18. 如圖， 在三棱錐 中， 的中點分別為 ，點在上，．
（1）證明： 平面；
（2）證明： 平面；
（3）求長，并求直線PA和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答．
（2）由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直的判定推理作答．
（3）求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可．
【小問1詳解】
連接，設(shè)，
則，，
因為，，
則，
解得，則為中點，由分別為的中點，
于是，
所以，
則四邊形為平行四邊形，
所以，又平面平面，
所以平面；
【小問2詳解】
因為分別為中點，所以，
因為，所以，
因為，，，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
又因為平面，
所以平面；
【小問3詳解】
在中，，
在中，，
，
設(shè)AO與BF相交于點G，則G為重心，從而，
直線PA和平面BEF所成角的正弦值即直線PE和平面BEF所成角的正弦值，
設(shè)線PA和平面BEF所成角為，
由（2）知，平面，從而．
19. “難度系數(shù)”反映試題的難易程度，難度系數(shù)越大，題目得分率越高，難度也就越小，“難度系數(shù)”的計算公式為，其中L為難度系數(shù)，Y為樣本平均失分，W為試卷總分（一般為100分或150分）．某校高二年級的老師命制了某專題共5套測試卷（總分150分），用于對該校高二年級480名學(xué)生進行每周測試，測試前根據(jù)自己對學(xué)生的了解，預(yù)估了每套試卷的難度系數(shù)，如下表所示：
測試后，隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：
（1）根據(jù)試卷2的預(yù)估難度系數(shù)估計這480名學(xué)生第2套試卷的平均分；
（2）試卷的預(yù)估難度系數(shù)和實測難度系數(shù)之間會有偏差，設(shè)為第i套試卷的實測難度系數(shù)，并定義統(tǒng)計量， 若，則認為試卷的難度系數(shù)預(yù)估合理，否則認為不合理．以樣本平均分估計總體平均分，試檢驗這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理．
（3）聰聰與明明是學(xué)習(xí)上的好伙伴，兩人商定以同時解答上述試卷易錯題進行“智力競賽”，規(guī)則如下：雙方輪換選題，每人每次只選1道題，先正確解答者記1分，否則計0分，先多得2分者為勝方.若在此次競賽中，聰聰選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，明明選題時聰聰?shù)梅值母怕蕿?，各題的結(jié)果相互獨立，二人約定從0:0計分并由聰聰先選題，求聰聰3:1獲勝的概率 .
【答案】（1）96分；
（2）預(yù)估合理 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)考前預(yù)估難度系數(shù)即可求出平均分；
（2）計算出各試卷難度系數(shù)，求出統(tǒng)計量，即可預(yù)估這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估是否合理；
（3）根據(jù)規(guī)則即可求出聰聰3:1獲勝的概率.
【小問1詳解】
由題意，
由試卷2的難度系數(shù)，
解得平均失分：，
∴這480名學(xué)生第2套試卷的平均分為分；
【小問2詳解】
由題意及（1）得，
，，，
，，
則
，
∴這5套試卷難度系數(shù)的預(yù)估合理
【小問3詳解】
由題意及（1）（2）得，
聰聰先答對第一題：
聰聰沒先答對第一題：
∴聰聰3:1獲勝的概率聰聰3:1獲勝的概率：試卷序號i
1
2
3
4
5
考前預(yù)估難度系數(shù)
0.7
0.64
0.6
0.6
0.55
試卷序號i
1
2
3
4
5
平均分/分
102
99
93
93
87

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