河南省鄭州市鄭中國際學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)測數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（共10道，每題3分）
1. 下列說法中正確的是（）
A. 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形
B. 有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
C. 有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形
D. 對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了菱形、矩形、正方形的判定，根據(jù)菱形、矩形、正方形的判定進(jìn)行判斷即可.
【詳解】A. 有一組鄰邊相等平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B. 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C. 有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D. 對角線互相平分、垂直且相等的四邊形是正方形，故選正確，符合題意；
故選：D
2. 在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若∠ABC＝90°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A. AC＝BDB. OA＝OBC. AC⊥BDD. AB＝CD
【答案】C
【解析】
【分析】本題根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，加之∠ABC=90°進(jìn)行矩形的證明，最后根據(jù)矩形性質(zhì)求解本題．
【詳解】根據(jù)題意作圖，如下所示：
∵，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD為矩形．
∵矩形ABCD，
∴AB=CD，OA=OB，AC=BD．
∵條件不足無法判定四邊形為菱形，
∴AC⊥BD無法判定，故C錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于深刻理解矩形的判定方法以及其各條性質(zhì)，幾何題目解答，對于基本概念的理解要求極高．
3. 若是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（）
A. 1B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查二次方程的定義．利用二次方程的定義列方程及不等式解題即可．
【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，
∴且，
解得：．
故選：C
4. 根據(jù)下表：
確定方程的解的取值范圍是（）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】觀察已知表格，根據(jù)代數(shù)式的值的變化確定出方程解的范圍即可．
【詳解】解：由表格得：時(shí)，，時(shí)，；
時(shí)，，時(shí)，，
可得方程的解取值范圍是或．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．
5. 若m是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（）
A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程解的定義得到，再由，利用整體代入法求解即可．
【詳解】解：∵m是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
6. 若方程的左邊可以寫成一個(gè)完全平方式，則的值為( )
A. 或B. C. 10D. 10或
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查完全平方公式的運(yùn)用，根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，
∴，
∴或，
∴或；
故選D．
7. 若三角形的兩邊長分別是2和5，第三邊的長是方程的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長是（）
A. 11B. 10C. 10或11D. 10或12
【答案】A
【解析】
【分析】利用因式分解法求出方程的兩根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到符合題意的邊，進(jìn)而求得三角形周長即可．
【詳解】解：解方程得x=3或4，
∴第三邊長為3或4．
邊長為2，3，5不能構(gòu)成三角形；
而2，4，5能構(gòu)成三角形，
∴三角形的周長為2+4+5=11，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三邊關(guān)系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否成三角形的好習(xí)慣．
8. 如圖，一根木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（OM）上，當(dāng)木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行時(shí)，AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離（）
A. 變大B. 變小
C 先變小后變大D. 不變
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得出即可得出答案．
【詳解】在木棍滑動(dòng)的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不發(fā)生變化，理由是：
連接OP，
∵，P為AB中點(diǎn)，
∴
即在木棍滑動(dòng)的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不發(fā)生變化，永遠(yuǎn)是.
故選D.
【點(diǎn)睛】考查直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.
9. 如圖，四邊形是菱形，，，于，則等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)菱形的面積等對角線乘積的一半和底乘以高列出方程求解即可．
【詳解】解： ∵AC=12，DB=16，
∴AO=6，BO=8，
由勾股定理的，AB==10，
∵AH⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC?AH=AC?BD，
即10AH=×12×16，
解得AH=，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用菱形的面積的兩種表示方法列出方程．
10. 如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于O，BE平分交AC于E, 于F，交BD于G，則下列結(jié)論①OE=OG；②CE=；③；④CF平分.其中正確的結(jié)論有（）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得OB⊥OC，BO=CO，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠EBO+∠BEO=90°，∠BEC+∠ECF=90°，再根據(jù)與角的關(guān)系，可得∠EBO=∠ECF，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)OE=OG，故①正確；根據(jù)角平分線的定義得到∠EBO=45°=22.5°，得到∠ECF=∠BCF，求得CF平分∠BCE，故④正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE=CB，故②正確；根據(jù)全等三角形的判定兩點(diǎn)得到△ABE≌△BCG（SAS），故③正確．
【詳解】證明：∵正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，
∴OB⊥OC，BO=CO，
∴∠EOB=∠COG=90°．
∵CF⊥BE于點(diǎn)F，
∴∠CFE=∠CFB=90°．
∴∠EBO+∠BEO=90°，∠BEC+∠ECF=90°，
∴∠EBO=∠ECF．
在△BEO和△CGO中，
，
∴△BEO≌△CGO（AAS），
∴OE=OG，故①正確；
∵∠ABO=∠BCO=45°，BE平分∠ABO交AC于E，
∴∠EBO=45°=22.5°，
∵∠EOF=∠EBO=22.5°，
∴∠BOF=45°-22.5°=22.5°，
∴∠ECF=∠BCF，
∴CF平分∠BCE，故④正確；
∵CF⊥BE，
∴CE=CB，故②正確；
∵∠ABE=∠BCG=22.5°，
∵△BEO≌△CGO，
∴BE=CG，
∵AB=BC，
∴△ABE≌△BCG（SAS），故③正確．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11. 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD、BC上一點(diǎn)，，只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形EBFD為菱形，這個(gè)條件可以是__________（寫出一個(gè)即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，證明，先判斷四邊形EBFD是平行四邊形，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：添加的條件是：，理由如下：
四邊形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
四邊形EBFD是平行四邊形，
，
四邊形EBFD為菱形，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和菱形的判定，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
12. 關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______．
【答案】a≥﹣且a≠1．
【解析】
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有實(shí)數(shù)根，∴a﹣1≠0，△=9+4×2（a﹣1）≥0，∴a≥﹣且a≠1．故答案為a≥﹣且a≠1．
13. 設(shè)a，b是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，且，則這個(gè)直角三角形的斜邊長為________.
【答案】
【解析】
【分析】此題實(shí)際上求的值．設(shè)t=a2+b2，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程t（t+1）=12，通過解方程求得t的值即可．
【詳解】設(shè)t=a2+b2，則由原方程，得
t（t+1）=12，
整理，得
（t+4）（t-3）=0，
解得t=3或t=-4（舍去）．
則a2+b2=3，
∵a，b是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，
∴這個(gè)直角三角形的斜邊長為．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟練運(yùn)用勾股定理是解本題的關(guān)鍵．
14. 《念奴嬌·赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年旱逝，欣賞下面改編的詩歌．“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．”若設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為x，則可列方程為__________________________（方程不用化成一般式）．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是x，根據(jù)“十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽同”知十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字=個(gè)位數(shù)字的平方，據(jù)此列出方程可得答案．
【詳解】解：假設(shè)周瑜去世時(shí)年齡的十位數(shù)字是x，則可列方程為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15. 如圖，有一個(gè)長方形紙片，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，將紙片沿折疊，的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)D，則線段的長為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理．
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，由勾股定理求出的長，則可得出的長，再在利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可求的長．
【詳解】解：∵四邊形是長方形，
∴，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
在中，，
∴，
解得．
故答案是：
16. 如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形為矩形，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為______
【答案】或或
【解析】
【分析】分和兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，，
∴，，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴；
①當(dāng)時(shí)，在中，，
∴；
②當(dāng)，點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為；
當(dāng)，點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，
同法可得：，
∴；
∴此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為；
綜上：或或．
故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
三、計(jì)算題（共7小題，共72分）
17. （1）以配方法解方程：
（2）以公式法解方程：
（3）
（4）
【答案】（1），；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程：
（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）利用公式法解答，即可求解；
（3）利用因式分解法解答，即可求解；
（4）利用配方法解答，即可求解．
【詳解】解：（1）
整理得：，
，
即，
∴，
解得：，；
（2）
整理得：，
∵，
∴，
∴，
解得：；
（3）
，
即，
解得：；
（4）
整理得：
即
∴，
解得：．
18. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣3=0（m為常數(shù)）．
（1）若方程的一個(gè)根為1，求m的值及方程的另一個(gè)根；
（2）求證：不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【答案】（1）3，3（2）不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【解析】
【分析】（1）把x=-1代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根；
（2）由方程根的情況可得到關(guān)于m的不等式，可求得m的取值范圍．
【詳解】（1）把x=1代入方程可得1﹣（m+1）+2m﹣3=0，
解得m=3，
當(dāng)m=3時(shí)，原方程為x2﹣4x+3=0
解得x1=1，x2=3，
即方程的另一根為3；
（2）∵a=1，b=﹣（m+1），c=2m﹣3，
∴△=b2﹣4ac=[=﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣3）=（m﹣3）2+4＞0，
∴不論m為何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)睛】本題主要考查方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，由方程根的情況得到判別式的符號是解題的關(guān)鍵．
19. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．設(shè)p是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，求m的值．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的根的定義以及根的判別式．利用一元二次方程的根的定義可得，再由，可得到關(guān)于m的方程，求出m的值，再利用根的判別式，可求出m的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：∵p是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，
∴．
20. 下面是小明設(shè)計(jì)的“在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過程．
已知：四邊形是平行四邊形．
求作：菱形（點(diǎn)上，點(diǎn)在上）．
作法：①以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)；
②以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)；
③連接．
所以四邊形為所求作的菱形．
（1）根據(jù)小明的做法，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明；
證明：，，
．
在中，，
即，
四邊形為平行四邊形（填推理的依據(jù)），
，
四邊形為菱形（填推理的依據(jù)）．
【答案】（1）見解析（2），，一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
【解析】
【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
（1）作圖見解答過程；
（2），，一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
【小問1詳解】
四邊形為所求作的菱形．
【小問2詳解】
，，
，
在中，．
即．
四邊形為平行四邊形（一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形）．
，
四邊形為菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
故答案為：，，一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
21. 如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園（圍墻最長可利用），現(xiàn)在已備足可以砌長的墻的材料．
（1）當(dāng)長度是多少時(shí)，矩形花園的面積為；
（2）能否圍成矩形花園面積為，為什么？
【答案】（1）米
（2）不能，理由見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)矩形花園的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合圍墻最長可利用，即可確定結(jié)論；
（2）設(shè)，則，根據(jù)矩形花園的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式，即可得出該方程無實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出不能圍成面積為的矩形花園．
【小問1詳解】
解：設(shè)，則，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，符合題意．
答：當(dāng)長度是時(shí)，矩形花園的面積為．
【小問2詳解】
不能，理由如下：
設(shè)，則，
依題意得：，
整理得：．
，
該方程無實(shí)數(shù)根，
不能圍成面積為的矩形花園．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根”．
22. 如圖，菱形ABCD對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．

【答案】(1)見解析；(2)OE=5，BG=2.
【解析】
【分析】(1)先證明EO是△DAB的中位線，再結(jié)合已知條件OG∥EF，得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF⊥AB，得到四邊形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理進(jìn)而得到AF=3，再由中位線定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【詳解】解：(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形，
∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，
∴OE為△ABD的中位線，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四邊形OEFG為平行四邊形
∵EF⊥AB，∴平行四邊形OEFG為矩形．
(2)∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四邊形OEFG為矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案為：OE=5，BG=2．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的性質(zhì)和判定屬于中考?？碱}型，需要重點(diǎn)掌握．
23. 如圖，平行四邊形中，，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)F，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）①直接寫出：當(dāng) 時(shí)，四邊形是菱形（不需要說明理由）；
②當(dāng) 時(shí)，四邊形是矩形，請說明理由．
【答案】（1）見解析（2）①4；②7，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)先證明，進(jìn)而證明，得到，再由，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，因此只需要保證是等邊三角形，即可證明，從而證明平行四邊形是菱形，據(jù)此求解即可；②當(dāng)cm時(shí)，平行四邊形是矩形，過A作于M，可證明，得到，即可證明平行四邊形是矩形．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵G是的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【小問2詳解】
解：①當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴平行四邊形是菱形，
故答案：4；
②當(dāng)cm時(shí)，平行四邊形是矩形，理由如下：
如圖，過A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴平行四邊形是矩形，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．…
4
5
6
13
5
…
5
13

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