山東省濟南市高新區(qū)第一實驗中學2024-2025學年九年級上學期數(shù)學開學測試試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1. 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2. 答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．答非選擇題時，用0.5mm黑色簽字筆在答題卡上題號提示的區(qū)域作答．在本試題上作答無效．
3. 不允許使用計算器．考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回．
1. 下列交通標志中，是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查中心對稱圖形的識別，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．在平面內(nèi)，把一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形，據(jù)此進行判斷即可．
【詳解】解：A中，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B中，是中心對稱圖形，故符合題意；
C中，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D中，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
故選：B．
2. 代數(shù)式4m2﹣n2因式分解的結(jié)果是（）
A. （2m﹣n）（2m＋n）B. 4 （m﹣n）（m＋n）
C. （4m﹣n）（m＋n）D. （m﹣2n）（m＋2n）
【答案】A
【解析】
【分析】直接根據(jù)平方差公式分解因式得出答案；
【詳解】，
故選：A．
【點睛】本題考查了因式分解的方法，正確掌握運算方法是解題的關(guān)鍵．
3. 若正多邊形的一個內(nèi)角是，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）
A. 12B. 10C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本題需先根據(jù)已知條件設(shè)出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)正多邊形的計算公式得出結(jié)果即可．
【詳解】解：設(shè)這個正多邊形是正n邊形，根據(jù)題意得：
（n-2）×180°÷n=144°，
解得：n=10．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角，在解題時要根據(jù)正多邊形的內(nèi)角公式列出式子是本題的關(guān)鍵．
4. 如圖，點，分別在的，邊上，且，如果，那么等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)果．
【詳解】∵DE∥BC，
∴DE:BC=AD:AB=2:3.
故答案選：C.
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線分線段成比例.
5. 如圖，在中，、分別為、的中點，平分，交于點，若，則的長為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理得到，進而證明，根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的判定定理解答即可．
【詳解】解：∵、分別為、的中點，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
6. 如圖，兩個轉(zhuǎn)盤被分成幾個面積相等的扇形，分別自由轉(zhuǎn)動一次，當轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個數(shù)字所在的扇形（如果指針恰好指在分格線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一數(shù)字為止）．將兩指針所指的兩個扇形中的數(shù)相加，和為6的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】畫樹狀圖，共有6個等可能的結(jié)果，兩指針所指的兩個扇形中的數(shù)相加，和為6的結(jié)果有2個，再由概率公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖如圖：
共有6個等可能的結(jié)果，兩指針所指的兩個扇形中的數(shù)相加，和為6的結(jié)果有2個，
∴兩指針所指的兩個扇形中的數(shù)相加，和為6的概率為＝，
故選B．
【點睛】本題主要考查概率的計算，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握概率計算公式.
7. 每天比原計劃多生產(chǎn)臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)臺機器所需時間與原計劃生產(chǎn) 臺機器所需時間相同，設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)臺機器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系列式．設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)臺機器，則實際平均每天生產(chǎn)臺機器，利用“現(xiàn)在生產(chǎn)臺所需時間與原計劃生產(chǎn)臺機器所需時間相同”列方程即可．
【詳解】解：設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)臺機器，則實際平均每天生產(chǎn)臺機器，
由題意得：，
故選：A．
8. 如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線，，，為的中點，E為邊上一點，直線交于點F，連結(jié)，．下列結(jié)論不成立的是（）
A. 四邊形為平行四邊形
B. 若，則四邊形為矩形
C. 若，則四邊形為菱形
D. 若，則四邊形為正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理進行逐一判斷即可得解．
【詳解】A.∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴
∴
∵為的中點
∴
在與中
∴
∴
又∵
∴四邊形為平行四邊形，
故A選項正確；
B.假設(shè)
∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
則當時，
∵四邊形為平行四邊形
∴四邊形為矩形，
故B選項正確；
C.∵，
∴E是AB中點
∵
∴
∵四邊形為平行四邊形
∴四邊形為菱形，
故C選項正確；
D.當時與時矛盾，則DE不垂直于AB，則四邊形不為矩形，則也不可能為正方形，故D選項錯誤，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理的幾何證明方法是解決本題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在矩形中，，連接，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，，直線分別交，于點，．下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②；③；④若平分，則．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合作圖方法可知是的中垂線，結(jié)合矩形的性質(zhì)易證四邊形是菱形，，利用等積法可知③錯誤；利用含角的直角三角形的性質(zhì)易證④錯誤．
【詳解】解：設(shè)交于點
由作圖知，垂直平分
在矩形中，
四邊形是菱形
∴①正確
四邊形是菱形
∴②正確
∴③錯誤
平分
∴④錯誤．
故選C．
【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，垂直平分線的作法及菱形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的作法，矩形和菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
10. 已知多項式，多項式．
①若，則代數(shù)式的值為；
②當，時，代數(shù)式的最小值為；
③當時，若，則關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根；
④當時，若，則x的取值范圍是．
以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【答案】B
【解析】
【分析】①把代入解方程即可求解；②把代入，再配方求最小值即可；③把代入解方程即可求解；④根據(jù)絕對值的意義求解即可．
【詳解】解：①若，則，解得，或，
∴的值為；故①錯誤；
②當時，
，∴當時，代數(shù)式的最小值為；故②錯誤；
③由題意得，，
∴或，
解得，或；
解，即，沒有實數(shù)解，
∴關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，故③正確；
④當時，
∴，解得；故④錯誤；
綜上，只有③正確；
故選：B．
【點睛】本題考查了配方法的應用，解一元二次方程、解不等式組、絕對值的意義，理解絕對值的性質(zhì)和一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
11. 當x______時，分式有意義．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0進行求解即可．
【詳解】解：∵分式有意義，
∴，
∴，
故答案為：．
12. 如圖，已知?ABCD中，點E在CD上，，BE交對角線AC于點F．則＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出CD∥AB，CD＝AB，由可得出CE＝AB，由CD∥AB，可得出△CEF∽△ABF，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的值．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，CD＝AB．
∵點E在CD上，
∴
∵CD∥AB，
∴△CEF∽△ABF
∴
故答案為．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)找出△CEF∽△ABF及CE＝AB是解題的關(guān)鍵．
13. 如圖，在寬為，長為的矩形地面上修建兩條寬均為的小路（陰影），余下部分作為草地，草地面積為，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得小路寬的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．剩余部分可合成長為，寬為的矩形，利用矩形的面積公式結(jié)合草地面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，求解并注意檢驗．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
化簡得：，
解得：，，
∵當時，，
∴舍去，
故答案為：．
14. 清朝數(shù)學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，是銳角的邊上的高，則，當,時，則的面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)公式計算得到，利用勾股定理求得，計算即可，本題考查了勾股定理，新定義，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴的面積為，
故答案為：．
15. 如圖，在菱形中，，，M，N分別是邊動點，滿足，連接，E是邊上的動點，F(xiàn)是上靠近C的四等分點，連接，當面積最小時，的最小值為______．

【答案】3
【解析】
【分析】連接，取的中點，連接，得到是等邊三角形，進而判斷當面積最小時，，根據(jù)為上的動點，當重合時，最小，進而可得的最小值．
【詳解】解：如圖，連接，取的中點，連接，

四邊形是菱形，，
，
是等邊三角形
，
為等邊三角形，
點是上靠近點的四等分點，
的面積最小時，的面積也最小
當最小時，的面積最小
當時，最小
是等邊三角形，
點是上的動點，
當點與點重合時，最小
的最小值為
故答案為：
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、等邊三角形的面積，將求三角形的面積最小值轉(zhuǎn)化為和的最小值是解題的關(guān)鍵．
16. 計算
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法是解題的關(guān)鍵．
（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接開平方法求解即可．
【小問1詳解】
解：，
變形為：，
∵，，，，
∴，，
故，；
【小問2詳解】
解：，
直接開平方，得或，
解得：，．
17. 先化簡，再求值：，請在2，，0，3當中選一個合適數(shù)代入求值．
【答案】，3
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的混合運算化簡分式，再選擇一個讓原式的所有分母都不為0的值代入求值即可．
【詳解】原式
，
∵
∴和0，
∴當時，
原式
【點睛】此題考查分式的性質(zhì)和混合運算，解題關(guān)鍵是利用因式分解將分式化簡，然后根據(jù)分式的性質(zhì)代值計算．
18. 的對角線的垂直平分線與邊、分別交于E，F(xiàn)，求證：四邊形是菱形？

【答案】是菱形，見解析
【解析】
【分析】根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形”證明即可．
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)題意推出，題目比較典型，難度適中．
19. 某班甲、乙兩名同學被推薦到學校藝術(shù)節(jié)上表演節(jié)目，計劃用葫蘆絲合奏一首樂曲，要合奏的樂曲是用游戲的方式在《月光下的鳳尾竹》與《彩云之南》中確定一首．
游戲規(guī)則如下：在—個不透明的口袋中裝有分別標有數(shù)字1，2，3，4的四個小球（除標號外，其余都相同），甲從口袋中任意摸出1個小球，小球上的數(shù)字記為a．在另一個不透明的口袋中裝有分別標有數(shù)字1，2的兩張卡片（除標號外，其余都相同），乙從口袋里任意摸出1張卡片卡片上的數(shù)字記為b．然后計算這兩個數(shù)的和，即a+b，若a+b為奇數(shù)，則演奏《月光下的鳳尾竹》，否則，演奏《彩云之南》．
（1）用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求（a，b）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；
（2）你認為這個游戲公平不？如果公平，請說明理由；如果不公平，哪一首樂曲更可能被選中？
【答案】（1）見解析，（a，b）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)有8種；
（2）游戲公平，理由見解析
【解析】
【分析】（1）列表列出所有等可能結(jié)果即可；
（2）由和為偶數(shù)的有8種情況，而和為奇數(shù)的有4種情況，即可判斷．
【小問1詳解】
解：列表如下：
由表格可知，（a，b）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)有8種；
【小問2詳解】
解：游戲公平，
由表格知a+b為奇數(shù)的情況有4種，為奇數(shù)的情況也有4種，
概率相同，都是，所以游戲公平．
【點睛】本題主要考查游戲的公平性及概率的計算，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=，注意本題是放回實驗．解決本題的關(guān)鍵是得到相應的概率，概率相等就公平，否則就不公平．
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）當m取何值時，這個方程有兩個不相等的實數(shù)根？
（2）若方程的兩根都是正數(shù)，求m的取值范圍；
（3）設(shè)是這個方程的兩個實數(shù)根，是否存在m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)計算即可；
（2）設(shè)是這個方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式計算即可；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷即可；
【詳解】解：（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根時，，解得；
（2）∵設(shè)是這個方程的兩個實數(shù)根，則，，
∴，解得，
又∵方程有兩個實根，
∴，
解得，
∴；
（3）不存在，理由：∵，，
∴，
整理，得，解得．
又由（2）可知，m的值不存在．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，準確計算是解題的關(guān)鍵．
21. 黨的二十大報告提出：“加快建設(shè)高質(zhì)量教育體系，發(fā)展素質(zhì)教育”．為扎實做好育人工作，某校深入開展“陽光體育”活動．該校計劃購買乒乓球拍和羽毛球拍用于“陽光體育大課間”和學生社團活動．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元購買乒乓球拍的數(shù)量和用2000元購買羽毛球拍的數(shù)量相等．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的價格；
（2）學校計劃采購乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的數(shù)量不超過羽毛球拍數(shù)量的2倍，要想花費的資金總額最少，則最多購買乒乓球拍多少副？資金總額最少為多少元？
【答案】（1）每副乒乓球拍的價格是30元，每副羽毛球拍的價格是60元
（2）要想花費的資金總額最少，則最多購買乒乓球拍66副，資金總額最少為4020元
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)和分式方程的應用．
（1）設(shè)每副乒乓球拍的價格是x元，則每副羽毛球拍的價格是元，根據(jù)題意列方程并求解即可；
（2）設(shè)購買乒乓球拍a副，則購買羽毛球拍副，根據(jù)題意列關(guān)于a的一元一次不等式并求解；設(shè)花費的資金總額為W元，寫出W關(guān)于a的函數(shù)，根據(jù)該函數(shù)的增減性，確定當a取何值時W取最小值，求出最小值即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)每副乒乓球拍的價格是x元，則每副羽毛球拍的價格是元．根據(jù)題意，得
，
解得，
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的根，
（元），
∴每副乒乓球拍的價格是30元，每副羽毛球拍的價格是60元．
【小問2詳解】
解：設(shè)購買乒乓球拍a副，則購買羽毛球拍副．根據(jù)題意，得：
，
解得，
設(shè)花費的資金總額為W元，則，
∵，
∴W隨a的增大而減小，
∵且x為整數(shù)，
∴當時，W取最小值，，
∴要想花費資金總額最少，則最多購買乒乓球拍66副，資金總額最少為4020元．
22. 如圖， Rt兩條直角邊cm，cm，點沿從向運動，速度是1cm/秒，同時，點沿從向運動，速度為2cm/秒．動點到達點時運動終止．連接、、．
（1）當動點運動幾秒時，．
（2）當動點運動幾秒時，的面積為？
（3）在運動過程中是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）運動秒或秒
（2）1秒（3）存在，秒
【解析】
【分析】設(shè)點運動時間為秒，則秒，秒，秒，秒；
（1）分類：當，即時，；當，即時，，然后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出的值；
（2）過作于，易證，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段用表示，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）先計算出，若，則易證得，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出．
【小問1詳解】
解：設(shè)點運動時間為秒，則秒，秒，秒，秒，
當，即時，，
，即，
；
當，即時，，
，即，
；
所以當動點運動秒或秒時，與相似；
【小問2詳解】
解：過作于，如圖，
，
，
，
，
即，
，
，
或（舍，
即當動點運動1秒時，的面積為cm；
【小問3詳解】
解：存在．
如圖，過點作于，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：兩組角對應相等的兩三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23. 閱讀材料，解答問題：
材料1
為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2
已知實數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
（1）直接應用：
方程的解為_______________________；
（2）間接應用：
已知實數(shù)a，b滿足：，且，求的值；
（3）拓展應用：
已知實數(shù)x，y滿足：，且，求的值．
【答案】（1），，，
（2）或
（3）15
【解析】
【分析】（1）利用換元法降次解決問題；
（2）模仿例題解決問題即可；
（3）令=a，-n=b，則+a-7=0， +b=0，再模仿例題解決問題．
【小問1詳解】
解：令y=，則有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案為：，，，；
【小問2詳解】
解：∵，
∴或
①當時，令，，
∴則，，
∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
此時；
②當時，，
此時；
綜上：或
【小問3詳解】
解：令，，則，，
∵，
∴即，
∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
故．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，冪的乘方與積的乘方，換元法，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會模仿例題解決問題．
24. 如圖所示，，為等腰三角形，．
（1）如圖1，點在上，點與重合，為線段的中點，則線段與的數(shù)量關(guān)系是；的度數(shù)為；
（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其中、、在一條直線上，為線段的中點，則線段與是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系? 證明你的結(jié)論；
（3）若繞點任意旋轉(zhuǎn)一個角度到如圖3的位置，為線段的中點，連接、，請你完成圖3，請猜想線段與的關(guān)系，并驗證你的猜想．
【答案】（1）；
（2），，理由見解析
（3），，圖形和理由見解析
【解析】
【分析】本題為幾何變換的綜合應用，涉及知識點有等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和判定等．構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．
（1）證，結(jié)合中點，即可得；
（2）延長到，使，連接、、，易證，進而可以證明，即可證明，；
（3）基本方法同（2）．
【小問1詳解】
解：∵，為等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵為中點，，
∴，，
∴，
∴，，
故答案為：；；
【小問2詳解】
解：，，理由：
如圖，延長到，使，連接、、，
∵為中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
又為的中點，
∴，，
∴，；
【小問3詳解】
解：圖形如圖3，
結(jié)論：，，
證明如下：
如圖4，延長到，使，連接、，連接交延長交于，交于，
∵為中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
又為的中點，
∴，，
∴，．
25. 矩形AOBC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的正半軸上，連接AB，將△ABC沿AB折疊得△ABE，AE交y軸于點D，線段OD、OA的長是方程x2－7x＋12＝0的兩個根，且OA＞OD．
（1）請直接寫出點A的坐標為________，點D的坐標為________；
（2）點P為直線AB上一點，連接PO、PD，當△POD的周長最小時，求點P的坐標；
（3）點M在x軸上，點N在直線AB上，坐標平面內(nèi)是否在點Q，使以B、M、N、Q為頂點的四邊形為正方形?若存在，請直接寫出滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）(-4，0)，(0，3)
（2）P(-，)；
（3）點Q坐標為：（，）或（8，-16）或（24，16）或（-8，）或（8，-16）．
【解析】
【分析】（1）解一元二次方程即可求解；
（2）過D作AB的對稱點D1，連接OD1，交AB于點P，此時△POD的周長最小，利用待定系數(shù)法求得直線OD1的解析式和直線AB的解析式，解方程組即可求解；
（3）分BN為邊和BN為對角線兩種情況討論，利用正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)可求解．
【小問1詳解】
解：∵線段OD、OA的長是方程x2－7x＋12＝0的兩個根，且OA＞OD．
解方程x2－7x＋12＝0得：x=4或3，
∴OA=4，OD=3，
∴點A的坐標為(-4，0)，點D的坐標為(0，3)；
故答案為：(-4，0)，(0，3)；
【小問2詳解】
解：過D作AB的對稱點D1，連接OD1，交AB于點P，此時△POD的周長最小，
∵△ABE是將△ABC沿AB折疊得到的，
∴點D1在AC上，
∵OA=4，OD=3，
∴AD=5，
∴AD1=5，
∴D1(-4，5)，
設(shè)直線OD1的解析式為y=kx，
∴5=-4k，
∴k=-，
∴直線OD1的解析式為y=-x，
∵四邊形AOBC是矩形，且△ABE是將△ABC沿AB折疊得到的，
∴AC∥OB，∠CAB=∠BAD，
∴∠CAB=∠BAD=∠ABD，
∴AD=BD=5，則OB=8，
∴B(0，8)，
同理求得直線AB的解析式為y=2x+8，
解方程-x =2x+8，得x=-，
y=，
∴P(-，)；
【小問3詳解】
解：∵B(0，8)，A (-4，0)，
∴AB=4，
當BN為邊時，
如圖，若四邊形BNMQ是正方形，則BN=MN，過點Q作QG⊥x軸于G，過點N作NI⊥x軸于I，
∵∠OAB=∠NAM，∠AOB=∠ANM=90°，
∴△AOB∽△ANM，
∴，即，
∴NM=，AM=，AN=，
∴OM=-4=，
∵AM×IN=AN×MN，
∴IN=，
∵四邊形BNMQ是正方形，
∴QM=NM，∠QMN=90°，
∠QMG+∠NMI=90°，
又∵∠QMG+∠MQG=90°，
∴∠MQG=∠IMN，
又∵∠QGM=∠MIN=90°，
∴△QGM≌△MIN，
∴QG=IM=，MG=IN=，
OG=OM+MG=IN=，
點Q（，）；
如圖，若四邊形BNQM是正方形，
同理，△AOB∽△ABM，
∴，即，
∴AM=20，
∴OM=20-4=，
∴M(16，0)；
同理，點Q（8，-16）；
如圖，若四邊形BMQN是正方形，
同理可求M(16，0)；點Q（24，16）；
當BN是對角線時，若四邊形BMNQ是正方形，過點N作NF⊥x軸于F，
∵四邊形BMNQ是正方形，
∴BM=NM，∠BMN=90°，
∠BMO+∠FMN=90°，
又∵∠BMO+∠OBM=90°，
∴∠FMN=∠OBM，
又∵∠NFM=∠MOB=90°，
∴△NFM≌△MOB（AAS），
∴BO=FM=8，OM=NF，
設(shè)點M（a，0），
∴OF=8-a，F(xiàn)N=a，
∴點N（a-8，-a），
∵點P在AB上，y=2x+8
∴-a=2（a-8）+8，
∴a=，
∴點M（，0）；
過點Q作QH⊥y軸于H，
同理可證△QBH≌△BMO，
∴QH=BO=8，BH=OM=，
∴HO=，
∴點Q（-8，）；
如圖，若四邊形BMNQ是正方形，
同理可求點M（-24，0），則點Q（8，-16），
綜上所述：滿足條件的點Q的個數(shù)為5個，點Q坐標為：（，）或（8，-16）或（24，16）或（-8，）或（8，-16）．
【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)

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