1．（3分）下列標(biāo)志是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
3．（3分）下列圖形中，有穩(wěn)定性的是（ ）
A．長(zhǎng)方形B．梯形
C．平行四邊形D．三角形
4．（3分）若如圖中的兩個(gè)三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（3分）如圖，已知直線(xiàn)PC是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，∠APC＝50°，則∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
6．（3分）如圖是3×3的正方形網(wǎng)格，其中已有2個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從編號(hào)為①?④的小方格中選出1個(gè)也涂成黑色，使黑色部分依然是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不能選擇的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．（3分）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形
B．如果兩個(gè)三角形全等，則它們必是關(guān)于某條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的圖形
C．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等
D．所有的等邊三角形都是全等三角形
8．（3分）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：
如圖1，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AB+CD＝AD．
小明是這樣想的：要證明AB+CD＝AD，只需要在AD上找到一點(diǎn)F，再試圖說(shuō)明AF＝AB，DF＝CD即可．如圖2，經(jīng)過(guò)思考，小明給出了以下3種輔助線(xiàn)的添加方式．
①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AD于點(diǎn)F；
②作EF＝EC，交AD于點(diǎn)F；
③在AD上取一點(diǎn)F，使得DF＝DC，連接EF；
上述3種輔助線(xiàn)的添加方式，可以證明“AB+CD＝AD”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空題
9．（3分）如圖，圖中以BC為邊的三角形的個(gè)數(shù)為 ．
10．（3分）頤和園坐落在北京西郊，是第一批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位之一．小萬(wàn)去頤和園參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)有的窗戶(hù)造型是正八邊形，如圖所示，則∠1＝ °．
11．（3分）如圖，小明不小心將書(shū)上的一個(gè)三角形用墨跡污染了一部分，但他很快就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫(huà)出了一個(gè)和書(shū)上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)可簡(jiǎn)寫(xiě)為 ．
12．（3分）如圖，△ABC的外角平分線(xiàn)AM與邊BC平行，則∠B ∠C（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
13．（3分）三角形紙片ABC，AB＝AC，將其折疊，如圖，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為ED，點(diǎn)E，D分別在AB，AC上，若AB＝6，BC＝4，那么△BDC的周長(zhǎng)為 ．
14．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6，AD是BC邊上的中線(xiàn)．點(diǎn)E在AC邊上，且∠EDA＝30°，則ED的長(zhǎng)為 ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠ACE＝100°，則∠A＝ ．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D沿CB自點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D與點(diǎn)C，B不重合），作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BE+CF的值逐漸 （填“增大”，“減小”或“不變”）．
三、解答題
17．計(jì)算：．
18．解方程組：；
19．解不等式組，并寫(xiě)出其所有整數(shù)解．
20．下面是小東設(shè)計(jì)的“作△ABC中BC邊上的高線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC邊上的高線(xiàn)AD．
作法：如圖，
①以點(diǎn)B為圓心，BA的長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在BC下方交于點(diǎn)E；
②連接AE交BC于點(diǎn)D．
所以線(xiàn)段AD是△ABC中BC邊上的高線(xiàn)．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵ ＝BA， ＝CA，
∴點(diǎn)B，C分別在線(xiàn)段AE的垂直平分線(xiàn)上（ ）（填推理的依據(jù)）．
∴BC垂直平分線(xiàn)段AE．
∴線(xiàn)段AD是△ABC中BC邊上的高線(xiàn)．
21．如圖，AB，CD交于點(diǎn)O，AD∥BC．請(qǐng)你添加一個(gè)條件 ，
使得△AOD≌△BOC，并加以證明．
22．已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在圖中畫(huà)出△AOB關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△A1OB1，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)；
（2）直接寫(xiě)出△A1OB1的面積為 ．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度數(shù)．
25．我們學(xué)習(xí)過(guò)：“如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)”．請(qǐng)按要求完成下面三道小題：
（1）如圖1，AB＝AC．這兩條線(xiàn)段一定關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)作出對(duì)稱(chēng)軸a（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，已知線(xiàn)段AB和點(diǎn)C．求作線(xiàn)段CD（不要求尺規(guī)作圖），使它與AB成軸對(duì)稱(chēng)．且A與C是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
請(qǐng)作出線(xiàn)段CD并標(biāo)明對(duì)稱(chēng)軸b；
（3）如圖3，任意位置的兩條線(xiàn)段AB，CD，AB＝CD．你能通過(guò)對(duì)其中一條線(xiàn)段作有限次的軸對(duì)稱(chēng)使它們重合嗎？如果能，請(qǐng)描述操作方法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
26．如圖，過(guò)等邊△ABC的頂點(diǎn)B在∠ABC內(nèi)部作射線(xiàn)BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），點(diǎn)A關(guān)于射線(xiàn)BP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，直線(xiàn)CD交BP于點(diǎn)E，連接BD，AE．
（1）依據(jù)題意，在圖1中補(bǔ)全圖形；
（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）α≠30°）的變化過(guò)程中，∠AEB的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)直接用含α的式子表示∠AEB的度數(shù)；若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AEB的度數(shù)；
（3）用等式表示線(xiàn)段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
27．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l為一、三象限角平分線(xiàn)．點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)稱(chēng)為P的一次反射點(diǎn)，記作P1，P1關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)P的二次反射點(diǎn)，記作P2，例如，點(diǎn)P（﹣2，5）的一次反射點(diǎn)為P1（2，5），二次反射點(diǎn)為P2（5，2）．根據(jù)定義，回答下列問(wèn)題：
（1）點(diǎn)（2，5）的一次反射點(diǎn)為 ，二次反射點(diǎn)為 ；
（2）若點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)A1，A2分別是點(diǎn)A的一次、二次反射點(diǎn)，∠A1OA2＝50°，求射線(xiàn)OA與x軸所夾銳角的度數(shù)．
（3）若點(diǎn)A在y軸左側(cè)，點(diǎn)A1，A2分別是點(diǎn)A的一次、二次反射點(diǎn)，△AA1A2是等腰直角三角形，請(qǐng)直接在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出由符合題意的點(diǎn)A所構(gòu)成的圖形．
2023-2024學(xué)年北京市人大附中朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).）
1．（3分）下列標(biāo)志是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
C．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意．
D．不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
【分析】已知兩邊，則第三邊的長(zhǎng)度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長(zhǎng)的范圍．
【解答】解：第三邊m的取值范圍是5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8．，只有m＝2適合，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．
3．（3分）下列圖形中，有穩(wěn)定性的是（ ）
A．長(zhǎng)方形B．梯形
C．平行四邊形D．三角形
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性進(jìn)行判斷．
【解答】解：因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，所以下面圖形中穩(wěn)定性最好的是三角形．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的穩(wěn)定性，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性解答．
4．（3分）若如圖中的兩個(gè)三角形全等，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】在左圖中，先利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出邊a所對(duì)的角為50°，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1的度數(shù)．
【解答】解：在左圖中，邊a所對(duì)的角為180°﹣60°﹣70°＝50°，
因?yàn)閳D中的兩個(gè)三角形全等，
所以∠1的度數(shù)為50°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．
5．（3分）如圖，已知直線(xiàn)PC是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，∠APC＝50°，則∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A＝∠B，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出即可．
【解答】解：∵直線(xiàn)PC是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，
∴PC⊥AB，PA＝PB，
∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，
∵∠APC＝50°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟記線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解此題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖是3×3的正方形網(wǎng)格，其中已有2個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從編號(hào)為①?④的小方格中選出1個(gè)也涂成黑色，使黑色部分依然是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不能選擇的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)分別得出符合題意的答案．
【解答】解：要從編號(hào)為①?④的小方格中選出1個(gè)也涂成黑色，使黑色部分依然是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不能選擇的是④，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案，正確把握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題關(guān)鍵．
7．（3分）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形
B．如果兩個(gè)三角形全等，則它們必是關(guān)于某條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的圖形
C．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等
D．所有的等邊三角形都是全等三角形
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．
【解答】解：A、全等三角形是指形狀和大小完全相同的兩個(gè)三角形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、如果兩個(gè)三角形全等，它們不一定關(guān)于某條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)的圖形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等，正確，符合題意；
D、只有邊長(zhǎng)相等的等邊三角形是全等三角形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：
如圖1，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：AB+CD＝AD．
小明是這樣想的：要證明AB+CD＝AD，只需要在AD上找到一點(diǎn)F，再試圖說(shuō)明AF＝AB，DF＝CD即可．如圖2，經(jīng)過(guò)思考，小明給出了以下3種輔助線(xiàn)的添加方式．
①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD交AD于點(diǎn)F；
②作EF＝EC，交AD于點(diǎn)F；
③在AD上取一點(diǎn)F，使得DF＝DC，連接EF；
上述3種輔助線(xiàn)的添加方式，可以證明“AB+CD＝AD”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】①如圖1，過(guò)作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，證明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，證明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF＝AB，則得出結(jié)論；②作EF＝EC，交AD于點(diǎn)F，不能證明結(jié)論；③在AD上取一點(diǎn)F，使得DF＝DC，連接EF，證明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE＝EF，∠ECD＝∠EFD＝90°，證明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF＝AB．則可得出結(jié)論．
【解答】解：①如圖1，過(guò)作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，
可得∠DFE＝90°，
則∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠CDE，
在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DCE（AAS）；
∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
②如圖2，作EF＝EC，交AD于點(diǎn)F；
∵EF＝EC，DE＝DE，∠FDE＝∠CDE，
∴根據(jù)SSA不能證明△DEF≌△DCE，
∴這種輔助線(xiàn)的添加方式不能證明結(jié)論AD＝AB+CD．
③如圖3，在AD上取一點(diǎn)F，使得DF＝DC，連接EF，
在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DCE（SAS）；
∴CE＝EF，∠ECD＝∠EFD＝90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．（3分）如圖，圖中以BC為邊的三角形的個(gè)數(shù)為 4 ．
【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵以BC為公共邊的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了學(xué)生對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)．注意要審清題意，按題目要求解題．
10．（3分）頤和園坐落在北京西郊，是第一批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位之一．小萬(wàn)去頤和園參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)有的窗戶(hù)造型是正八邊形，如圖所示，則∠1＝ 45 °．
【分析】利用正八邊形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8＝45°，
故答案為：45．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多邊形的外角和定理，明確任何一個(gè)多邊形的外角和都是360°是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，小明不小心將書(shū)上的一個(gè)三角形用墨跡污染了一部分，但他很快就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫(huà)出了一個(gè)和書(shū)上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)可簡(jiǎn)寫(xiě)為 ASA ．
【分析】根據(jù)圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據(jù)“角邊角”畫(huà)出．
【解答】解：根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“ASA”定理作出完全一樣的三角形．
故答案為：ASA．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定的實(shí)際運(yùn)用，熟練掌握判定定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，△ABC的外角平分線(xiàn)AM與邊BC平行，則∠B ＝ ∠C（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】依據(jù)AM∥BC，即可得到∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，再根據(jù)AM平分∠DAC，即可得到∠DAM＝∠CAM，進(jìn)而得出∠B＝∠C．
【解答】解：如圖，∵AM∥BC，
∴∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAM＝∠CAM，
∴∠B＝∠C．
故答案為：＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
13．（3分）三角形紙片ABC，AB＝AC，將其折疊，如圖，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為ED，點(diǎn)E，D分別在AB，AC上，若AB＝6，BC＝4，那么△BDC的周長(zhǎng)為 10 ．
【分析】由折疊得BD＝AD，所以BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，于是得到問(wèn)題的答案．
【解答】解：由折疊得BD＝AD，
∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝6，BC＝4，
∴BD+CD+BC＝6+4＝10，
∴△BDC的周長(zhǎng)為10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查三角形的周長(zhǎng)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，證明BD+CD+BC＝AC+BC是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6，AD是BC邊上的中線(xiàn)．點(diǎn)E在AC邊上，且∠EDA＝30°，則ED的長(zhǎng)為 3 ．
【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出BC和∠C＝90°，證明AD垂直平分BC，從而求出CD和∠ADC＝90°，然后根據(jù)已知條件中的角，求出∠EDC的度數(shù)，從而證明△DEC是等邊三角形，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠BAC＝∠C＝90°，
∵AD是等邊三角形BC邊上的中線(xiàn)，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝30°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠EDA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EDC＝∠DEC＝∠C＝60°，
∴△DEC為等邊三角形，
∴ED＝CD＝3，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握和應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠ACE＝100°，則∠A＝ 50° ．
【分析】根據(jù)平角的定義可求∠ACB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵∠ACE＝100°，
∴∠ACB＝80°，
在△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝（180°﹣∠ACB）÷2＝50°．
故答案為：50°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉等腰三角形的兩個(gè)底角相等的知識(shí)點(diǎn)．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D沿CB自點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D與點(diǎn)C，B不重合），作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BE+CF的值逐漸 增大 （填“增大”，“減小”或“不變”）．
【分析】根據(jù)點(diǎn)D沿BC自點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，Rt△ABC的面積不變，但是AD會(huì)增大，由面積公式可得BE+CF的值逐漸減小．
【解答】解：∵BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，
∴S△ABC＝S△ABD+SACD＝AD?BE+AD?CF＝AD（BE+CF），
∵Rt△ABC的面積不變，但是點(diǎn)D沿CB自點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，AD會(huì)減小，
∴BE+CF的值逐漸增大，
故答案為：增大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，利用三角形的面積轉(zhuǎn)換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．計(jì)算：．
【分析】利用立方根的定義及絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝2+﹣1＝+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
18．解方程組：；
【分析】方程組利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
把①代入②得：5+y﹣2y＝2，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：x＝8，
則方程組的解為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
19．解不等式組，并寫(xiě)出其所有整數(shù)解．
【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，即可求出不等式組的解集，再寫(xiě)出其所有整數(shù)解．
【解答】解：
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣，
故不等式組的解集是﹣≤x＜2，
它的所有整數(shù)解有x＝﹣2，﹣1，0，1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．
20．下面是小東設(shè)計(jì)的“作△ABC中BC邊上的高線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC邊上的高線(xiàn)AD．
作法：如圖，
①以點(diǎn)B為圓心，BA的長(zhǎng)為半徑作弧，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在BC下方交于點(diǎn)E；
②連接AE交BC于點(diǎn)D．
所以線(xiàn)段AD是△ABC中BC邊上的高線(xiàn)．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵ BE ＝BA， EC ＝CA，
∴點(diǎn)B，C分別在線(xiàn)段AE的垂直平分線(xiàn)上（ 到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上 ）（填推理的依據(jù)）．
∴BC垂直平分線(xiàn)段AE．
∴線(xiàn)段AD是△ABC中BC邊上的高線(xiàn)．
【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；
（2）根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定即可解決問(wèn)題；
【解答】解：（1）圖形如圖所示：
（2）理由：連接BE，EC．
∵AB＝BE，EC＝CA，
∴點(diǎn)B，點(diǎn)C分別在線(xiàn)段AE的垂直平分線(xiàn)上（到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上），
∴直線(xiàn)BC垂直平分線(xiàn)段AE，
∴線(xiàn)段AD是△ABC中BC邊上的高線(xiàn)．
故答案為：BE，EC，到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
21．如圖，AB，CD交于點(diǎn)O，AD∥BC．請(qǐng)你添加一個(gè)條件 OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC ，
使得△AOD≌△BOC，并加以證明．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可判斷．
【解答】解：添加條件：OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC．
理由：當(dāng)添加OA＝OB時(shí)，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA）．
添加OD＝OC或AD＝BC同法可證．
故答案為OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
22．已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
【分析】多邊形的外角和是360°，內(nèi)角和是它的外角和的3倍，則內(nèi)角和是3×360＝1080度．n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)．
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
∵n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°，多邊形的外角和為360°，
∴（n﹣2）?180°＝360°×3，
解得n＝8．
∴此多邊形的邊數(shù)為8．
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)正多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)是常用的一種方法，需要熟記．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在圖中畫(huà)出△AOB關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的△A1OB1，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A1，B1的坐標(biāo)；
（2）直接寫(xiě)出△A1OB1的面積為 ．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1OB1即為所求．
由圖可得，點(diǎn)A1（﹣1，﹣2），B1（2，﹣1）．
（2）△A1OB1的面積為＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱(chēng)變換，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度數(shù)．
【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，利用等角對(duì)等邊得出DB＝DC．再根據(jù)SSS證明△ABD≌△ACD，那么∠BAD＝∠CAD；
（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠ADB＝∠ADC，再利用周角的定義即可求出∠ADB的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝DC．
在△ABD與△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝（360°﹣90°）＝135°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，周角的定義．證明出△ABD≌△ACD是解題的關(guān)鍵．
25．我們學(xué)習(xí)過(guò)：“如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)”．請(qǐng)按要求完成下面三道小題：
（1）如圖1，AB＝AC．這兩條線(xiàn)段一定關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)作出對(duì)稱(chēng)軸a（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，已知線(xiàn)段AB和點(diǎn)C．求作線(xiàn)段CD（不要求尺規(guī)作圖），使它與AB成軸對(duì)稱(chēng)．且A與C是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
請(qǐng)作出線(xiàn)段CD并標(biāo)明對(duì)稱(chēng)軸b；
（3）如圖3，任意位置的兩條線(xiàn)段AB，CD，AB＝CD．你能通過(guò)對(duì)其中一條線(xiàn)段作有限次的軸對(duì)稱(chēng)使它們重合嗎？如果能，請(qǐng)描述操作方法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）作∠ABC的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)即可；
（2）先連接AC；作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，即為對(duì)稱(chēng)軸b；作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D；連接CD即為所求．
（3）先類(lèi)比（2）的步驟畫(huà)圖，通過(guò)一次軸對(duì)稱(chēng)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（1）的情況，再做一次軸對(duì)稱(chēng)即可滿(mǎn)足條件．
【解答】解：（1）如圖1，作∠ABC的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)a．（答案不唯一）
（2）如圖2所示：
①連接AC；
②作線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，即為對(duì)稱(chēng)軸b；
③作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D；
④連接CD即為所求．
（3）如圖3所示，連接BD；作線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)，即為對(duì)稱(chēng)軸c；作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E；連接BE；作∠ABE的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)d即為對(duì)稱(chēng)軸，
故其中一條線(xiàn)段作2次的軸對(duì)稱(chēng)即可使它們重合．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)變換進(jìn)行作圖，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，過(guò)等邊△ABC的頂點(diǎn)B在∠ABC內(nèi)部作射線(xiàn)BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），點(diǎn)A關(guān)于射線(xiàn)BP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，直線(xiàn)CD交BP于點(diǎn)E，連接BD，AE．
（1）依據(jù)題意，在圖1中補(bǔ)全圖形；
（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）α≠30°）的變化過(guò)程中，∠AEB的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)直接用含α的式子表示∠AEB的度數(shù)；若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AEB的度數(shù)；
（3）用等式表示線(xiàn)段AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，在判斷出AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，進(jìn)而得出BD＝BC，∠CBD＝60°+2α，∠BDC＝∠BCD＝60°+α，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△AME是等邊三角形，得出AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，在判斷出∠BAM＝∠CAE，進(jìn)而判斷出△ABM≌△ACE（SAS），得出BM＝CE，則可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，
（2）∠AEB不發(fā)生變化，∠AEB＝60°；
∵點(diǎn)A關(guān)于射線(xiàn)CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴BD＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣2α，
∴∠BDC＝∠BCD＝60°+α，
∵∠BDC＝∠BEC+∠DBE＝∠BEC+α＝60°+α，
∴∠BEC＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC＝60°，
∴∠AEB不發(fā)生變化，∠AEB＝60°；
（3）BE＝CE+AE．
證明：如圖2，在BE上取一點(diǎn)M，使EM＝AE，連接AM，
∵∠AEB＝60°，
∴△AME是等邊三角形，
∴AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，
∵∠BAM+∠CAM＝∠CAM+∠CAE＝60°，
∴∠BAM＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴BM＝CE，
∴BE＝BM+ME＝CE+AE．
【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
27．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l為一、三象限角平分線(xiàn)．點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)稱(chēng)為P的一次反射點(diǎn)，記作P1，P1關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)P的二次反射點(diǎn)，記作P2，例如，點(diǎn)P（﹣2，5）的一次反射點(diǎn)為P1（2，5），二次反射點(diǎn)為P2（5，2）．根據(jù)定義，回答下列問(wèn)題：
（1）點(diǎn)（2，5）的一次反射點(diǎn)為 （﹣2，5） ，二次反射點(diǎn)為 （5，﹣2） ；
（2）若點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)A1，A2分別是點(diǎn)A的一次、二次反射點(diǎn)，∠A1OA2＝50°，求射線(xiàn)OA與x軸所夾銳角的度數(shù)．
（3）若點(diǎn)A在y軸左側(cè)，點(diǎn)A1，A2分別是點(diǎn)A的一次、二次反射點(diǎn)，△AA1A2是等腰直角三角形，請(qǐng)直接在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出由符合題意的點(diǎn)A所構(gòu)成的圖形．
【分析】（1）根據(jù)一次反射點(diǎn)，二次反射點(diǎn)的定義求解；
（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)A靠近y軸在第二象限時(shí)，當(dāng) 點(diǎn)A靠近x軸在第二象限時(shí)，作出相應(yīng)圖形，然后利 用各角之間的關(guān)系及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解即可；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AA1⊥AA2 時(shí)，②當(dāng)AA1⊥A1A2 時(shí)，③當(dāng)AA2⊥A1A2 時(shí)；分別利用等腰直角三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解即可．
【解答】（1）∵點(diǎn) （2，5）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（﹣2，5），
∴一次反射點(diǎn)為 （﹣2，5），（﹣2，5）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 （5，﹣2），
∴二次反射點(diǎn)為（5，﹣2）；
故答案為：（﹣2，5），（5，﹣2）；
（2）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)A靠近y軸在第二象限時(shí)，如圖所示：
A1，A2 關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A、A1 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴∠AOE＝∠A1OE，∠A1OG＝∠A2OG，∠A1OE＝∠A2OF，∠A1OA2＝50°，
∴，
∴∠AOE＝∠A1OE＝20°，
∴∠AOF＝90°+20°＝110°，
∴OA與x軸所夾銳角的度數(shù)為 180°﹣110°＝70°；
同理當(dāng)點(diǎn)A靠近x軸在第二象限時(shí)，OA與x軸所夾銳角的度數(shù)為 20°，
綜上可得：OA與x軸所夾銳角的度數(shù)為20°或70°；
（3）設(shè)點(diǎn)A（x，y），則 A1（﹣x，y），A2（y，﹣x），
∵ΔAA1A2 是等腰直角三角形，
∴分三種情況：
①當(dāng)AA1⊥AA2時(shí)，x﹣y＝0，即x＝y(tǒng)，且 AA1＝AA2，即，
解得：x＝y(tǒng)，即y＝x（x＜0）上的點(diǎn)均滿(mǎn)足，
如圖所示：
②當(dāng) AA1⊥A1A2時(shí)，不存在；
③當(dāng) AA2⊥A1A2時(shí)，
∠A2AA1＝45°，且AA2＝A1A2，即 ，
解得y＝0，即在x軸的負(fù)半軸上，
如圖所示：
綜上所述，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上或直線(xiàn)y＝x（x＜0）上．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化——對(duì)稱(chēng)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解一次反射點(diǎn)、二次反射點(diǎn)的定義，學(xué)會(huì)利用圖象法解決問(wèn)題，同時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/11 13:46:53；用戶(hù)：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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這是一份2021-2022學(xué)年北京市清華附中朝陽(yáng)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】，共29頁(yè)。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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