授課題目
4.1 角的概念的推廣
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（基礎(chǔ)模塊上冊）
授課
時(shí)長
2 課時(shí)
授課
類型
新授課
教學(xué)提示
本課通過熟悉的情境，感知推廣角的必要性，從運(yùn)動(dòng)的角度定義角， 并引進(jìn)正角、負(fù)角和零角，從而將角的概念推廣到任意角，進(jìn)而學(xué)習(xí)終邊相同的角、象限角以及界限角等；在學(xué)習(xí)推廣角的意義和任意角所在的象限的基礎(chǔ)上進(jìn)而識別終邊相同的角，學(xué)習(xí)用集合語言表示終邊相同
的角．
教學(xué)目標(biāo)
會(huì)結(jié)合熟悉的實(shí)例描述角的相關(guān)概念，能舉例說明正角、負(fù)角、零角、象限角、終邊相同的角等，能根據(jù)圖像判斷角是正角、負(fù)角還是零角，并能根據(jù)給出的角的度數(shù)和角的始邊確定角的終邊的位置，并判斷角是第幾象限的角，逐步提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象等核心素養(yǎng)；知道象限角的概念，并能用集合語言表示出來，逐步提升數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)； 能寫出與角 α 終邊相同角的集合，并能找出給定范圍內(nèi)與已知角終邊相
同的角，提升直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．
教學(xué)重點(diǎn)
角的概念推廣的必要性；終邊相同的角組成的集合；角所在象限的
判斷．
教學(xué)難點(diǎn)
終邊相同的角的理解和表示；角所在象限的判斷；各象限的角的表
示．
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
設(shè)計(jì)
意圖
引入
在義務(wù)教育階段我們學(xué)習(xí)過，角是有公共端點(diǎn)的兩條射線構(gòu)成的圖形.
角是平面內(nèi)由一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位
置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.
講解介紹提問
回憶思考作答
借助原有知識為新知學(xué)習(xí)做好鋪墊

已經(jīng)學(xué)習(xí)過的角包括銳角、直角、鈍角、平角 、周角等，它們都在 0°~ 360°范圍內(nèi).

情境導(dǎo)入
任意角
公園里的摩天輪，選定一個(gè)機(jī)械臂的起始位置作為始邊，如果機(jī)械臂從這個(gè)起始位置旋轉(zhuǎn)一周，就說它轉(zhuǎn)過了 360°，那么當(dāng)它轉(zhuǎn)過一周半或者轉(zhuǎn)過兩周時(shí)，它轉(zhuǎn)過了多少度呢？
摩天輪的機(jī)械臂從起始位置,旋轉(zhuǎn)了一周， 則說它轉(zhuǎn)過了 360°，旋轉(zhuǎn)一周半,則說它轉(zhuǎn)過了540°，旋轉(zhuǎn)了兩周，則說它轉(zhuǎn)過了 720°.
如果時(shí)鐘快 2h，應(yīng)該如何校準(zhǔn)？校準(zhǔn)過程中分針相對起始位置轉(zhuǎn)過了多少度？如果時(shí)鐘慢了 2h 呢？
如果時(shí)鐘快了 2h，則需要將分針相對于起始位置逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 720°，如果時(shí)鐘慢了 2h，則
需要將分針相對于起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 720°.
提問
啟發(fā)
引導(dǎo)
思考
作答
交流
用學(xué)生熟悉的情境引發(fā)學(xué)生思考
激發(fā)求知欲調(diào)動(dòng)積極性
探索新知
規(guī)定：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角稱為正角，如下圖(1)所示；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角稱為負(fù)角，如圖(2)所示．
如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),也認(rèn)為形成
講解
作圖
說明
理解
觀察
思考
數(shù)形結(jié)合說明問題幫助學(xué)生理解動(dòng)態(tài)定義角的方
了一個(gè)角,這個(gè)角稱為零角.
分針按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 2 周形成的角，記作 720°，如下圖(1)所示；分針按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 2 周形成的角，記作
-720°，如下圖(2)所示.
例
理解
式提升直觀想象核心素養(yǎng)
顯然，這兩個(gè)角是不一樣的.
這樣，我們不僅能表示 0°~360°范圍內(nèi)的角，也能表示 0°~360°范圍之外的角．也就是把角的概念推廣到了任意角．
講解
觀察
通常使用角的頂點(diǎn)或頂點(diǎn)與始邊、終邊上
的字母來表示角.例如,下圖中的角,可以記作“∠
AOB”或“∠O”.
說明
思考
也經(jīng)常使用小寫的希臘字母 α,β, γ,…來表示角,記作“角 α”.在不引起混淆的情況下,可以簡記成“α”.
例如，α=420°， β= ?135°.
加深認(rèn)
舉例
識
探究與發(fā)現(xiàn)
設(shè)角 α 與角 β 是兩個(gè)任意角，如何理解角-α 、角 α + β 和角 α-β ？
提問引導(dǎo)
理解
通過觀察思考
思考
參與概
為了方便,通常在平面直角坐標(biāo)系中討論
角. 將角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合,此時(shí)角的終邊在第幾象限,就稱這個(gè)角為第幾象限角．
如圖，α=420°，所以角 α 是第一象限角，
β=?135°，所以角 β 是第三象限角．
如果角的終邊在坐標(biāo)軸上, 就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，稱為界限角．如，0°，90°， 180°，360°，?90°角都是界限角．
講解
交流
念形成
感受知
思考
識發(fā)現(xiàn)
舉例
的樂趣
觀察
說明
思考
例 1 在平面直角坐標(biāo)系中，敘述下列各角的形
提問
思考
讓學(xué)生
成過程，并指出它們是第幾象限角. (1) 490° ；
直觀感
(2)?650° ．
受角的
解將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與 x
引導(dǎo)
分析
動(dòng)態(tài)形
軸的非負(fù)半軸重合.
成過程，
(1) 490°角是射線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 490°形成
感悟“總
的, 終邊落在第二象限, 所以 490°為第二象限
講解
解決
有一個(gè)
例題辨析
角;
(2) ?650°角是射線繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 650°形
周角內(nèi)
的角與
成的, 終邊落在第一象限, 所以?650°為第一象
強(qiáng)調(diào)
交流
已知角
限角.
終邊相
同”
落實(shí)知識實(shí)際
(1)(2)
應(yīng)用
例 2 求時(shí)鐘從 8 點(diǎn)到 9 點(diǎn) 15 分, 如圖所示, 分針和時(shí)針旋轉(zhuǎn)所成的角.
解 時(shí)鐘 8 點(diǎn)到 9 點(diǎn) 15 分, 分針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)450° , 因此, 分針旋轉(zhuǎn)形成的角為?450°；而時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 37.5° , 因此， 時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成
的角為?37.5°.
提問
提示
舉例
思考交流
解決問題
練習(xí) 4.1.1
填空題：
(1) ?15°是第 象限角；
(2) 795°是第 象限角；
(3) 163°是第 象限角； (4) ?458°是第 象限角．
判斷題(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)： (1)第四象限角一定是負(fù)角；()
(2) 第二象限角一定是正角；() (3)小于 90°的角一定是銳角；() (4)第一象限角一定是銳角；() (5)鈍角一定是第二象限角；() (6)第二象限角一定是鈍角．() 3．在平面直角坐標(biāo)系中, 分別作出下列各
角, 并指出它們是第幾象限角：
(1) 460° ；
(2) 945°；
(3) ?200° ；
(4) ?700° ．
提問
思考
通過練
習(xí)及時(shí)
掌握學(xué)
生的知
識掌握
情況，查
漏補(bǔ)缺
巡視
動(dòng)手
鞏固練習(xí)
求解
指導(dǎo)
交流
4.1.2 終邊相同的角
如圖, 30°, ?330°, 390°角之間有什么關(guān)系呢？
引發(fā)學(xué)
情境
提問
思考
生主動(dòng)
導(dǎo)入
觀察思
考發(fā)現(xiàn)
啟發(fā)
引導(dǎo)
作答
交流
規(guī)律， 激發(fā)求知欲調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性
不難發(fā)現(xiàn), 在平面直角坐標(biāo)系中,這三個(gè)角
的終邊相同, 并且都可以表示成 30°與 k 個(gè)(k∈
Z) 360°的和.如：
30° = 30°＋0×360°；
?330° = 30°＋ (?1)×360°；
390° = 30°＋1× 360°．
從上述角的形成過程可以看出，與 30°終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們與 30°角均相差 360° 的整數(shù)倍.
因此與 30°終邊相同的所有角可以表示為
β= 30°+k?360°，k∈Z．
一般地,與角 α 終邊相同的所有角構(gòu)成的集
合為
S={β|β=α+ k?360°, k∈Z}，
即，所有與角 α 終邊相同的角都可以表示成角 α 與 360°的整數(shù)倍的和.
講解
理解
發(fā)現(xiàn)規(guī)
律并學(xué)
習(xí)用集
說明
記憶
合語言
新知探索
表示
啟發(fā)
體會(huì)
例 3 寫出與?950°角終邊相同的所有角構(gòu)成的集合,并找出 0°~360°范圍內(nèi)與其終邊相同的角. 解 與?950°角終邊相同的所有角構(gòu)成的集合為
S={β|β＝?950°+ k? 360°,k∈Z }.
當(dāng) k=3 時(shí)，
β＝?950°+3? 360° = 130°,
故在 0°~360°范圍內(nèi), 與?950°角終邊相同的角
提問
思考
由特殊
到一般
分析問
例題辨析
引導(dǎo)
解決
題并得
到結(jié)論
多角度
講解
交流
思考問
題
是 130°角．
溫馨提示
因?yàn)?950°與 130°終邊相同，集合
S={β|β＝?950°+k?360°，k∈Z}
也可寫成
S={β|β＝130°+k?360°，k?Z}．
例4 寫出終邊在射線y=x(x≥0)上的角組成的集合.
解 在 0°~360°范圍, 終邊在射線 y=x(x≥0)上的角為 45°角, 因此終邊在射線 y=x(x≥0)上的角組成的集合為
S={β|β=450°+k?360°, k∈Z}.
例 5 寫出終邊在 y 軸上的角組成的集合.
解在 0°~360°范圍, 終邊在 y 軸上的角有 90°
角和 270°角.
所有與 90°角和 270°角終邊相同的角組成的集合分別為
S1={β|β=90°+ k?360°, k∈Z} 和S2={β|β=270°+ k?360°, k∈Z}.所以, S=S1∪S2
={β|β=90°+ k?360°, k∈Z}∪{β|β=270° +
k?360°, k∈Z}
={β|β=90°+2k?180°,k∈Z}∪
補(bǔ)充
思考
數(shù)形結(jié)
說明
理解
合找到
已知角
的特性
提問
思考
后應(yīng)用
知識解
決問題
引導(dǎo)
解決
進(jìn)一步
鞏固終
邊相同
講解
交流
的角、界
限角等
概念加
深深度
提升數(shù)
提問
思考
學(xué)運(yùn)算
核心素
養(yǎng)
引導(dǎo)
解決
適時(shí)鞏
固
講解
交流
{β|β=90°+(2k+1) ?180°, k∈Z}
= {β|β=90°+n?180°, n∈Z}．
探究與發(fā)現(xiàn)
若角 α 是第一象限角，試寫出角 α 的集合.
補(bǔ)充提問
思考交流
練習(xí) 4.1.2
1.已知角 α 是第一象限角，則角?α 的終邊在第 象限.
2 .與 1560°角終邊相同的角的集合中，最小的 正 角 是 .
寫出與下列角終邊相同的所有角組成的集合，并在 0°～360°范圍內(nèi)找出與其終邊相同的角.
(1) 420°； (2) ?510°； (3) ?73°； (4) 855°.
寫出終邊在 x 軸上的角組成的集合.
提問
思考
通過練
習(xí)及時(shí)
巡視
動(dòng)手
掌握學(xué)
鞏固練習(xí)
求解
生情況
查漏補(bǔ)
缺
指導(dǎo)
交流
引導(dǎo)
回憶
培養(yǎng)學(xué)
歸納
生總結(jié)
總結(jié)
提問
反思
學(xué)習(xí)過
程能力
1.書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和學(xué)習(xí)與訓(xùn)練；
說明
記錄
繼續(xù)探
布置作業(yè)
2.查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對課題學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回
顧;
究
延伸學(xué)
3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.
習(xí)

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）基礎(chǔ)模塊 上冊電子課本

4.1 角的概念的推廣

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 基礎(chǔ)模塊 上冊

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