考點(diǎn)01 空間中的平行關(guān)系（第一問）
1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
2．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
3．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
4．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)求證平面；
5．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
6．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
7．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
8．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；
9．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
10．（2022·全國甲卷·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
(1)證明：平面；
11．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
12．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
13．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．
（I）求證：平面；
14．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
15．（2020·江蘇·高考真題）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面AB1C1；
16．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．
求證：（1）A1B1∥平面DEC1；
17．（2019·天津·高考真題） 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；
18．（2019·天津·高考真題）如圖，平面，，.
（Ⅰ）求證：平面；
19．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).
（1）證明：MN∥平面C1DE；
20．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面C1DE；
21．（2018·江蘇·高考真題）在平行六面體中，,．
求證：（1）；
22．（2017·天津·高考真題）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．
（1）求證：平面；
23．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).
（I）證明：CE∥平面PAB；
24．（2017·全國·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn)．
（1）證明：直線平面；
25．（2017·全國·高考真題）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面 ,
（1）證明：直線平面;
26．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；
27．（2016·四川·高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（Ⅰ）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；
28．（2016·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且 ，.

求證：（1）直線DE平面A1C1F；
29．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.
（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；
30．（2016·全國·高考真題）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;
31．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.
（Ⅰ）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC；
32．（2016·全國·高考真題）如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．
（I）證明平面；

33．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，.
求證：（1）；
34．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 點(diǎn)E,F分別是BC, 的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證:EF∥平面 ;
35．（2015·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
36．（2015·四川·高考真題）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為
(1)請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）
(2)證明：直線平面
37．（2015·山東·高考真題）如圖，三棱臺(tái)中， 分別為的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：平面 ；
38．（2015·山東·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中， 分別為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面 ；
39．（2015·安徽·高考真題）如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過的平面交于F.
（Ⅰ）證明：；
40．（2015·福建·高考真題）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，平面，，，，分別是線段，的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
41．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
考點(diǎn)02 空間中的垂直關(guān)系（第一問）
1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
2．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
3．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
4．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
5．（2022·全國甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
6．（2022·全國乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
7．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：；
8．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）證明：；
9．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．
（1）證明：平面平面；
10．（2021·全國甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．
（1）證明：；
11．（2021·全國乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．
（1）證明：平面平面；
12．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.
（1）證明：；
13．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．
（1）證明：平面PDC；
14．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面 ，，點(diǎn)分別在棱和棱 上，且為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
15．（2020·浙江·高考真題）如圖，三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．

（I）證明：EF⊥DB；
16．（2020·山東·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
（1）證明：l⊥平面PDC；
17．（2020·全國·高考真題）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：
（1）當(dāng)時(shí)，；
18．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．
（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；
19．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．
（1）證明：平面；
20．（2020·全國·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
21．（2020·全國·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
22．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．
求證：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
23．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；
24．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
25．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中， ，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.
（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；
26．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.
（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
27．（2019·天津·高考真題） 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
28．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).
（1）證明：；
29．（2019·全國·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
30．（2019·全國·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
31．（2018·江蘇·高考真題）在平行六面體中，,．
求證：（1）；
（2）．
32．（2018·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．

（1）求證：AC⊥平面BEF；
33．（2018·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，、分別為、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：平面平面；
34．（2018·全國·高考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
35．（2018·浙江·高考真題）如圖，已知多面體均垂直于平面．
（Ⅰ）求證：平面；
36．（2018·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
37．（2018·全國·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．
（1）證明：平面平面；

38．（2018·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
39．（2018·全國·高考真題）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
（1）證明：平面平面；
40．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求證：AD⊥BC；
41．（2018·全國·高考真題）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn).
(1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大??；
42．（2017·全國·高考真題）（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；
43．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
44．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.
（I）求異面直線與所成角的余弦值；
（II）求證：平面；
45．（2017·全國·高考真題）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）證明：AC⊥BD；
46．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐中，，且.
（1）證明：平面平面；
47．（2017·北京·高考真題）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證：PA⊥BD；
(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；
48．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
49．（2016·浙江·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；
50．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：；
51．（2016·全國·高考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折起到的位置.
（Ⅰ）證明：；
52．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.
（1）求證：平面；
53．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB．

（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求證：AC⊥FB；
54．（2016·浙江·高考真題）如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,.
（Ⅰ）求證：平面；
55．（2016·天津·高考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：FG||平面BED；
（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；
56．（2016·全國·高考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折到位置，.
（1）證明：平面；
57．（2016·全國·高考真題）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形為正方形，，，且二面角與二面角都是.

（1）證明：平面平面；
58．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．
（1）證明：PE⊥FG；
59．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，.
求證：（1）；
（2）.
60．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF//BC．
(Ⅰ)證明：AB平面PFE.

61．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐中，平面
，，．分別為線段上的點(diǎn)，且．
(1)證明：平面；
62．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).
（1）證明：；
63．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱柱-中， ，， ，在底面 的射影為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn).
（1）證明：D 平面；
64．（2015·全國·高考真題）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，，
（I）證明：平面平面；
65．（2015·全國·高考真題）（2015新課標(biāo)全國Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；
66．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 點(diǎn)E,F分別是BC, 的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證:EF∥平面 ;
（Ⅱ）求證:平面平面.
67．（2015·陜西·高考真題）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．
（Ⅰ）證明：平面；
68．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)．
（１）證明：平面平面；
69．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形， ，且底面 ，點(diǎn)分別在棱 上．
（1）若是 的中點(diǎn)，證明：；
70．（2015·湖北·高考真題）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
如圖，在陽馬中，側(cè)棱 底面，且 ，過棱的中點(diǎn) ，作交 于點(diǎn)，連接
（Ⅰ）證明：．試判斷四面體 是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫
出結(jié)論）；若不是，說明理由；
71．（2015·福建·高考真題）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．
（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；
72．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
73．（2015·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，，，，為的中點(diǎn)．
（）求證：．
考點(diǎn)03 求空間中的線段長(zhǎng)度、點(diǎn)面距的值及最值或范圍
1．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到的距離.
2．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
3．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，求四棱錐的高．
4．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
5．（2021·全國乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
6．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．
7．（2018·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．
考點(diǎn)04 求空間中的體積、表面積的值及最值或范圍
1．（2024·上?！じ呖颊骖}）如圖為正四棱錐為底面的中心．
(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；
(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?br>2．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
3．（2022·全國甲卷·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
(1)證明：平面；
(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．
4．（2022·全國乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面ACD；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．
5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
6．（2021·全國甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.
（1）求三棱錐的體積；
（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.
7．（2021·全國乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．
（1）證明：平面平面；
（2）若，求四棱錐的體積．
8．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．
（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.
9．（2020·全國·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．
10．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中， ，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.
（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；
（2）求圖2中的四邊形的面積.
11．（2019·全國·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．
12．（2018·全國·高考真題）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．
（1）證明：平面平面；
（2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積．

13．（2017·上?！じ呖颊骖}）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱的長(zhǎng)為5.
（1）求三棱柱的體積；
（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小.
14．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐中，，且.
（1）證明：平面平面；
（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．
15．（2017·北京·高考真題）如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證：PA⊥BD；
(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；
(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E－BCD的體積．
16．（2017·全國·高考真題）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面 ,
（1）證明：直線平面;
（2）若△面積為，求四棱錐的體積.
17．（2016·江蘇·高考真題）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.

（1）若則倉庫的容積是多少？
（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則當(dāng)為多少時(shí)，倉庫的容積最大？
18．（2016·全國·高考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折起到的位置.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ)若，求五棱錐的體積.
19．（2016·上?！じ呖颊骖}）將邊長(zhǎng)為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè).
(1)求三棱錐的體積；
(2)求異面直線與所成的角的大小.
20．（2016·上?！じ呖颊骖}）將邊長(zhǎng)為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)．
（1）求圓柱的體積與側(cè)面積；
（2）求異面直線O1B1與OC所成的角的大?。?br>21．（2016·全國·高考真題）如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．
（I）證明平面；
（II）求四面體的體積.
22．（2016·全國·高考真題）如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.
（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；
（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．
23．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF//BC．
(Ⅰ)證明：AB平面PFE.
(Ⅱ)若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長(zhǎng).

24．（2015·全國·高考真題）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，，
（I）證明：平面平面；
（II）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.
25．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)．
（１）證明：平面平面；
（２）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．
26．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形， ，且底面 ，點(diǎn)分別在棱 上．
（1）若是 的中點(diǎn)，證明：；
（2）若平面 ，二面角的余弦值為 ，求四面體的體積．
27．（2015·湖北·高考真題）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑． 在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．
（Ⅰ）證明：平面． 試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值．
28．（2015·福建·高考真題）如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．
（Ⅰ）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；
（Ⅱ）求三棱錐體積的最大值；
（Ⅲ）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值．
29．（2015·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求三棱錐的體積．
考點(diǎn)05 異面直線所成角及最值或范圍
1．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求證：AD⊥BC；
（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．
2．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.
（I）求異面直線與所成角的余弦值；
（II）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.
3．（2016·上?！じ呖颊骖}）將邊長(zhǎng)為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè).
(1)求三棱錐的體積；
(2)求異面直線與所成的角的大小.
4．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．
（1）證明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．
5．（2015·全國·高考真題）（2015新課標(biāo)全國Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．

（1）證明：平面AEC⊥平面AFC；
（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值．
6．（2015·上?！じ呖颊骖}）如圖，圓錐的頂點(diǎn)為，底面的一條直徑為，為半圓弧的中點(diǎn)，為劣弧的中點(diǎn).已知，，求三棱錐的體積，并求異面直線與所成角的大小.
7．（2015·山東·高考真題）如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．
（1）求與所成角的余弦值；
（2）求證：．
考點(diǎn)06 求線面角及最值或范圍
1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
2．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．
(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；
(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小．
3．（2023·全國甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
4．（2022·全國甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
5．（2022·全國乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面平面；
(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
6．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
7．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面夾角的余弦值．
8．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
9．（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．
（1）證明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為上的點(diǎn)，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．
10．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面 ，，點(diǎn)分別在棱和棱 上，且為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
11．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
12．（2020·浙江·高考真題）如圖，三棱臺(tái)ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．

（I）證明：EF⊥DB；
（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．
13．（2020·山東·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
14．（2020·全國·高考真題）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.
15．（2019·天津·高考真題） 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.
16．（2019·浙江·高考真題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求直線與平面所成角的余弦值.
17．（2018·江蘇·高考真題）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)。
（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；
（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值
18．（2018·浙江·高考真題）如圖，已知多面體均垂直于平面．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．
19．（2018·全國·高考真題）如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.
（1）證明：平面平面；
（2）求與平面所成角的正弦值.
20．（2018·天津·高考真題）如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求證：AD⊥BC；
（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．
21．（2017·上海·高考真題）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱的長(zhǎng)為5.
（1）求三棱柱的體積；
（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小.
22．（2017·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.
（I）求異面直線與所成角的余弦值；
（II）求證：平面；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.
23．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).
（I）證明：CE∥平面PAB；
（II）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值
24．（2017·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，平面，，．

（1）求證：為的中點(diǎn)；
（2）求二面角的大小；
（3）求直線與平面所成角的正弦值．
25．（2016·浙江·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.

（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.
26．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.
（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角O?EF?C的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
27．（2016·全國·高考真題）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).
（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
28．（2016·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
29．（2016·天津·高考真題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60o，G為BC的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：FG||平面BED；
（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；
（Ⅲ）求直線EF與平面BED所成角的正弦值.
30．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．
（1）證明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．
31．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）求直線和平面所成的角的正弦值.
32．（2015·天津·高考真題）如圖,已知平面ABC, AB=AC=3,,, 點(diǎn)E,F分別是BC, 的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證:EF∥平面 ;
（Ⅱ）求證:平面平面.
（Ⅲ）求直線 與平面所成角的大小.
33．（2015·上?！じ呖颊骖}）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，、分別是、的中點(diǎn)．證明、、、四點(diǎn)共面，并求直線與平面所成的角的大小.
34．（2015·全國·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體中, ， ， ，點(diǎn) ， 分別在 ， 上， ．過點(diǎn) ， 的平面 與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形．
（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說出畫法和理由）；
（Ⅱ）求直線與平面 所成角的正弦值．
考點(diǎn)07 求二面角及最值或范圍
1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
3．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
4．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．

(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
6．（2023·全國乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
7．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>8．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
9．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
10．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
11．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面夾角的余弦值．
12．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．
（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
13．（2021·全國甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?
14．（2021·全國乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
15．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．
（I）求證：平面；
（II）求直線與平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
16．（2020·天津·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面 ，，點(diǎn)分別在棱和棱 上，且為棱的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．
17．（2020·江蘇·高考真題）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．
（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；
（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．
18．（2020·全國·高考真題）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．
（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
19．（2020·全國·高考真題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（2019·北京·高考真題）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．
21．（2019·全國·高考真題）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.
（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.
22．（2019·全國·高考真題）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）證明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
23．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
24．（2018·北京·高考真題）如圖，在三棱柱ABC?中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．

（1）求證：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B?CD?C1的余弦值；
（3）證明：直線FG與平面BCD相交．
25．（2018·全國·高考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．
26．（2017·山東·高考真題）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點(diǎn).
(1)設(shè)P是上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時(shí)，求二面角E－AG－C的大小.
27．（2017·全國·高考真題）（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
28．（2017·全國·高考真題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.
29．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．
30．（2016·天津·高考真題）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.
（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角O?EF?C的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
31．（2016·山東·高考真題）在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.
（Ⅰ）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=AC= ，AB=BC．求二面角 的余弦值.
32．（2016·浙江·高考真題）如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
33．（2016·全國·高考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，將沿折到位置，.
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
34．（2016·全國·高考真題）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形為正方形，，，且二面角與二面角都是.

（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
35．（2015·廣東·高考真題）如圖，三角形△PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB．
（1）證明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；
（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．
36．（2015·重慶·高考真題）如圖，三棱錐中，平面
，，．分別為線段上的點(diǎn)，且．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
37．（2015·浙江·高考真題）如圖，在三棱柱-中， ，， ，在底面 的射影為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn).
（1）證明：D 平面；
（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值.
38．（2015·四川·高考真題）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為
(1)請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說明理由）
(2)證明：直線平面
(3)求二面角的余弦值.
39．（2015·陜西·高考真題）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．
40．（2015·山東·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中， 分別為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面 ；
（Ⅱ）若平面 ,，
，求平面 與平面所成角（銳角）的大?。?br>41．（2015·安徽·高考真題）如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過的平面交于F.
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求二面角余弦值.
42．（2015·福建·高考真題）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，平面，，，，分別是線段，的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
43．（2015·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，，，，，為的中點(diǎn)．
（）求證：．
（）求二面角的余弦值．
（）若平面，求的值．
考點(diǎn)08 已知異面直線所成角、線面角、二面角求值或范圍（方程思想）
1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
(2)若，且二面角的正弦值為，求．
2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．
3．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.
4．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．
（1）求證：為的中點(diǎn)；
（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．
5．（2017·天津·高考真題）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．
6．（2017·全國·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn)．
（1）證明：直線平面；
（2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值．
7．（2015·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).
8．（2015·湖南·高考真題）如圖，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)．
（１）證明：平面平面；
（２）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積．
9．（2015·湖南·高考真題）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形， ，且底面 ，點(diǎn)分別在棱 上．
（1）若是 的中點(diǎn)，證明：；
（2）若平面 ，二面角的余弦值為 ，求四面體的體積．
10．（2015·湖北·高考真題）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
如圖，在陽馬中，側(cè)棱 底面，且 ，過棱的中點(diǎn) ，作交 于點(diǎn)，連接
（Ⅰ）證明：．試判斷四面體 是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫
出結(jié)論）；若不是，說明理由；
（Ⅱ）若面與面 所成二面角的大小為，求的值．
考點(diǎn)
十年考情（2015-2024）
命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 空間中的平行關(guān)系（第一問）
（10年10考）
2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·天津卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國甲卷、2022·天津卷、2022·北京卷
2021·天津卷、2020·北京卷、2020·江蘇卷、2019·江蘇卷、
2019·天津卷、2019·天津卷、2019·全國卷、2019·全國卷、
2018·江蘇卷2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·全國卷
2017·全國卷、2017·江蘇卷、2016·四川卷、2016·江蘇卷、
2016·天津卷、2016·全國卷、2016·山東卷、2016·全國卷、
2015·江蘇卷、2015·天津卷、2015·天津卷、2015·四川卷
2015·山東卷、2015·山東卷、2015·安徽卷
2015·福建卷、2015·北京卷
空間中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系依然是立體幾何大題第一問的命題熱點(diǎn)，要熟練掌握
空間中的距離及表面積、體積的計(jì)算同樣是命題熱點(diǎn)，異面直線所成角、線面角、二面角、及其最值范圍等內(nèi)容也是高頻考點(diǎn)，同時(shí)也需掌握方程思想的應(yīng)用
考點(diǎn)2 空間中的垂直關(guān)系（第一問）
（10年10考）
2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國甲卷、2023·北京卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2022·浙江卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2021·浙江卷
2020·海南卷、2020·天津卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、
2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、
2020·全國卷、2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·北京卷
2019·全國卷、2019·全國卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、
2019·全國卷、2019·全國卷、2018·江蘇卷、2018·北京卷、
2018·北京卷、2018·全國卷、2018·浙江卷、2018·全國卷
2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2018·天津卷、
2017·山東卷、2017·全國卷、2017·天津卷、2017·全國卷、
2017·全國卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷
2016·北京卷、2016·全國卷、2016·北京卷、2016·山東卷、
2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·全國卷、
2015·廣東卷、2015·江蘇卷、2015·重慶卷、2015·重慶卷
2015·浙江卷、2015·浙江卷、2015·全國卷、2015·全國卷、
2015全國卷、2015·天津卷、2015·陜西卷、2015·湖南卷、
2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·福建卷、2015·北京卷
2015·北京卷
考點(diǎn)3 求空間中的線段長(zhǎng)度、點(diǎn)面距的值及最值或范圍
（10年6考）
2024·全國甲卷、2024·天津卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷、2019·全國卷、2018·全國卷
考點(diǎn)4 求空間中的體積、表面積的值及最值或范圍
（10年10考）
2024·上海卷、2023·全國乙卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷
2017·上海卷、2017·全國卷、2017·北京卷、2017·全國卷、
2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·上海卷、2016·上海卷、
2016·全國卷、2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·全國卷
2015·湖南卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷
2015·福建卷、2015·北京卷
考點(diǎn)5 異面直線所成角及最值或范圍
（10年4考）
2018·天津卷、2017·天津卷、2016·上海卷、2015·廣東卷、
2015·全國卷、2015·上海卷、2015·山東卷
考點(diǎn)6 求線面角及最值或范圍
（10年10考）
2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全國甲卷、2022·全國甲卷、
2022·全國乙卷、2022·浙江卷、2022·天津卷、2021·浙江卷、
2020·海南卷、2020·天津卷、2020·北京卷、2020·浙江卷
2020·山東卷、2020·全國卷、2019·天津卷、2019·浙江卷、
2018·江蘇卷、2018·浙江卷、2018·全國卷、2018·天津卷、
2017·上海卷、2017·天津卷、2017·浙江卷、2017·北京卷
2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·北京卷、
2016·天津卷、2015·廣東卷、2015·浙江卷、2015·天津卷、
2015·上海卷、2015·全國卷
考點(diǎn)7 求二面角及最值或范圍
（10年10考）
2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國甲卷、2024·北京卷、2024·天津卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2023·北京卷、2023·天津卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·天津卷、2021·全國新Ⅱ卷
2021·全國甲卷、2021·全國乙卷、2021·天津卷、2020·天津卷、
2020·江蘇卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·北京卷、
2019·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·北京卷
2018·全國卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2016·天津卷、
2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·全國卷、2016·全國卷、
2015·廣東卷、2015·重慶卷、2015·浙江卷、2015·四川卷
2015·陜西卷、2015·山東卷、2015·安徽卷
2015·福建卷、2015·北京卷
考點(diǎn)8 已知異面直線所成角、線面角、二面角求值或范圍（方程思想）
（10年5考）
2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2017·天津卷、2017·全國卷、2015·天津卷、2015·湖南卷、
2015·湖南卷、2015·湖北卷

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專題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用）：

這是一份專題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用），共14頁。試卷主要包含了記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，等差數(shù)列{}中，.，設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題19 解三角形大題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用）：

這是一份專題19 解三角形大題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用），共10頁。試卷主要包含了記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，在中，已知，，.，的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知.，已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊， ，設(shè).等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題17 直線與圓小題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用）：

這是一份專題17 直線與圓小題綜合（學(xué)生卷）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國通用），共9頁。試卷主要包含了圓的圓心到直線的距離為1，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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