考點01 切線方程及其應(yīng)用
1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
2．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求圖象上點處的切線方程；
3．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．
5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
6．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線斜率；
7．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
8．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．
(1)若，求a；
9．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
10．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
11．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
12．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
13．（2021·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．
14．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
15．（2020·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
16．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).
（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；
17．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)=[]．
（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；
18．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；
19．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
20．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)，，其中a>1.
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）若曲線在點處的切線與曲線在點 處的切線平行，證明：；
（III）證明：當(dāng)時，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.
21．（2017·天津·高考真題）設(shè)，.已知函數(shù)，.
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，
（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.
22．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù).
(I)當(dāng)a=2時,求曲線在點處的切線方程；
23．（2017·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
24．（2016·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
25．（2016·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，
（1）求，的值；
26．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).
（I）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
27．（2015·重慶·高考真題）設(shè)函數(shù)
（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；
28．（2015·全國·高考真題）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線；
29．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為,求證：對于任意的正實數(shù)，都有；
30．（2015·山東·高考真題）設(shè)函數(shù). 已知曲線 在點處的切線與直線平行.
（Ⅰ）求的值；
31．（2015·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
考點02 具體函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.
2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
3．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
5．（2021·全國甲卷·高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
6．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
7．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
考點03 含參函數(shù)的單調(diào)性
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
2．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
3．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
4．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
6．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
7．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
8．（2021·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（1）討論的單調(diào)性；
9．（2021·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
10．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
11．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；
（2）設(shè)a>0時，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．
12．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.
（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；
13．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)，，其中a>1.
（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
14．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
15．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
16．（2017·天津·高考真題）設(shè)，.已知函數(shù)，.
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
17．（2017·天津·高考真題）設(shè)，已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，為的導(dǎo)函數(shù).
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
18．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
19．（2017·全國·高考真題）設(shè)函數(shù).
（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；
20．（2016·山東·高考真題）設(shè)f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；
21．（2016·四川·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）討論f(x)的單調(diào)性；
22．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
23．（2016·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，
（1）求，的值；
（2）求的單調(diào)區(qū)間.
24．（2016·山東·高考真題）已知．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
25．（2016·四川·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）討論f(x) 的單調(diào)性；
26．（2016·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
27．（2015·江蘇·高考真題）已知函數(shù).
（1）試討論的單調(diào)性；
28．（2015·重慶·高考真題）設(shè)函數(shù)
（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；
（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍．
29．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)，其中.
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
30．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.
（Ⅰ）設(shè)g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；
31．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)，其中.
（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；
32．（2015·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)， ．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
考點04 極值最值及其應(yīng)用
1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．
3．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
6．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
8．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
9．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
10．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
11．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．
12．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：
（1）存在唯一的極值點；
（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).
13．（2019·江蘇·高考真題）設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；
（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．
14．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)=[]．
（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；
（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．
15．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；
（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.
16．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；
（2）若是的極大值點，求．
17．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時，．
18．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù).
(I)當(dāng)a=2時,求曲線在點處的切線方程；
(II)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.
19．（2017·江蘇·高考真題）已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點．（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）
（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（2）證明：b2>3a;
（3）若， 這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍．
20．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求a的值；
（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．
21．（2017·山東·高考真題）已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）令，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.
22．（2017·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．
23．（2016·山東·高考真題）設(shè)f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數(shù)a的取值范圍.
24．（2016·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)x∈R，其中a,b∈R.
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）= f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；
（Ⅲ）設(shè)a＞0,函數(shù)g（x）= |f（x）|,求證：g（x）在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于.
25．（2016·全國·高考真題）(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明當(dāng) >0時，
(2)證明：當(dāng) 時，函數(shù) 有最小值.設(shè)g（x）的最小值為，求函數(shù) 的值域.
26．（2015·重慶·高考真題）已知函數(shù)在處取得極值．
確定a的值；
若，討論的單調(diào)性．
27．（2015·重慶·高考真題）設(shè)函數(shù)
（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時曲線在點處的切線方程；
（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍．
28．（2015·山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.
29．（2015·湖南·高考真題）已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點，證明：
（1）數(shù)列是等比數(shù)列
（2）若，則對一切，恒成立.
30．（2015·安徽·高考真題）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值；
（Ⅱ）記，求函數(shù)在上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取，求滿足時的最大值.
31．（2015·山東·高考真題）設(shè)函數(shù). 已知曲線 在點處的切線與直線平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)（表示，中的較小值），求的最大值.
32．（2015·全國·高考真題）已知.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時，求的取值范圍.
考點05 證明不等式等證明問題
1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，證明：當(dāng)時，恒成立．
2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)
(1)若，且，求的最小值；
(2)證明：曲線是中心對稱圖形；
(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．
3．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線斜率；
(2)求證：當(dāng)時，；
(3)證明：．
4．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
5．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)．證明:．
6．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).
（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；
（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時，求a的值．
7．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；
（2）若是的極大值點，求．
8．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）證明：當(dāng)時，．
9．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)時，．
10．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)且.
（1）求a；
（2）證明：存在唯一的極大值點，且.
11．（2016·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)=，．證明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
12．（2016·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明當(dāng)時，；
（Ⅲ）設(shè)，證明當(dāng)時，.
13．（2015·全國·高考真題）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時.
14．（2015·湖北·高考真題）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求，的解析式，并證明：當(dāng)時，，；
(2)設(shè)，，證明：當(dāng)時，．
15．（2015·福建·高考真題）已知函數(shù)，
（Ⅰ）證明：當(dāng)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，存在,使得對
（Ⅲ）確定k的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有．
16．（2015·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時，；
（Ⅲ）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．
考點06 恒成立與能成立（有解）問題
1．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求圖象上點處的切線方程；
(2)若在時恒成立，求的值；
(3)若，證明．
2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的極值；
(2)當(dāng)時，，求的取值范圍．
3．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
4．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
6．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
7．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
8．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．
9．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.
10．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
11．（2017·天津·高考真題）設(shè)，.已知函數(shù)，.
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，
（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；
（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.
12．（2017·全國·高考真題）設(shè)函數(shù).
（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（II）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.
13．（2016·江蘇·高考真題）已知函數(shù).
（1）設(shè).
①求方程=2的根；
②若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（2）若，函數(shù)有且只有1個零點，求ab的值.
14．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).
（I）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
（Ⅱ）若當(dāng)時，，求的取值范圍.
15．（2016·四川·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）討論f(x) 的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)x＞1時，g(x)＞0；
（3）如果f(x)＞g(x) 在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
16．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)，其中.
（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；
（2）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解.
17．（2015·山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.
18．（2015·湖南·高考真題）函數(shù)，記 為的從小到大的第 個極值點．
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若對一切恒成立，求 的取值范圍．
19．（2015·湖南·高考真題）已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個極值點，證明：
（1）數(shù)列是等比數(shù)列
（2）若，則對一切，恒成立.
20．（2015·福建·高考真題）已知函數(shù)，
（Ⅰ）證明：當(dāng)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，存在,使得對
（Ⅲ）確定k的所以可能取值，使得存在，對任意的恒有．
21．（2015·北京·高考真題）已知函數(shù)．
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時，；
（Ⅲ）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值．
考點07 零點問題
1．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．
3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點
①；
②．
4．（2020·浙江·高考真題）已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；
（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點，證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
5．（2020·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．
（1）求b．
（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．
6．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有三個零點，求的取值范圍．
7．（2020·全國·高考真題）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
8．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcsx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．
（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
9．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：
（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；
（2）有且僅有2個零點．
10．（2018·浙江·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若在處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；
（2）若，證明：對于任意，直線與曲線有唯一公共點．
11．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：只有一個零點．
12．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
13．（2016·江蘇·高考真題）已知函數(shù).
（1）設(shè).
①求方程=2的根；
②若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值；
（2）若，函數(shù)有且只有1個零點，求ab的值.
14．（2016·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點，求c的取值范圍；
（Ⅲ）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.
15．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù).
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若有兩個零點，求的取值范圍.
16．（2015·江蘇·高考真題）已知函數(shù).
（1）試討論的單調(diào)性；
（2）若（實數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是，求c的值.
17．（2015·全國·高考真題）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時.
18．（2015·全國·高考真題）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)為何值時，軸為曲線的切線；
（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)．
19．（2015·陜西·高考真題）設(shè)
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）證明：在內(nèi)有且僅有一個零點（記為），且.
20．（2015·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)， ．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．
考點08 方程的根
1．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（?。┤?，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
2．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
3．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
4．（2021·全國甲卷·高考真題）已知且，函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．
5．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).證明：
（1）存在唯一的極值點；
（2）有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).
6．（2018·江蘇·高考真題）記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．
（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；
（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值；
（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點”，并說明理由．
考點09 雙變量問題
1．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求圖象上點處的切線方程；
(2)若在時恒成立，求的值；
(3)若，證明．
2．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：
（ⅰ）若，則；
（ⅱ）若，則．
（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
3．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對任意的，有．
4．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.
(注：是自然對數(shù)的底數(shù))
5．（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，
（i）求曲線在點處的切線方程；
（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證：對任意的，且，有．
6．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點，證明：．
7．（2015·湖北·高考真題）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求，的解析式，并證明：當(dāng)時，，；
(2)設(shè)，，證明：當(dāng)時，．
考點10 隱零點問題
1．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
2．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)且.
（1）求a；
（2）證明：存在唯一的極大值點，且.
3．（2016·全國·高考真題）(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明當(dāng) >0時，
(2)證明：當(dāng) 時，函數(shù) 有最小值.設(shè)g（x）的最小值為，求函數(shù) 的值域.
4．（2015·全國·高考真題）設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時.
考點11 極值點偏移問題
1．（2022·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．
(1)若，求a的取值范圍；
(2)證明：若有兩個零點，則．
2．（2019·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，
（i）證明恰有兩個零點
（ii）設(shè)為的極值點，為的零點，且，證明.
3．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù)有兩個零點.
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個零點，證明：.
4．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間;
（Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為,求證:對于任意的正實數(shù),都有;
（Ⅲ）若方程有兩個正實數(shù)根且,求證:.
考點12 導(dǎo)數(shù)與其他知識點聯(lián)動問題
1．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．
(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.
(2)求證：不經(jīng)過點.
(3)當(dāng)時，設(shè)點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？
（參考數(shù)據(jù)：，，）
2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
（1）已知，求；
（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；
（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．
4．（2021·全國乙卷·高考真題）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
考點
十年考情（2015-2024）
命題趨勢
考點1 切線方程及其應(yīng)用
（10年10考）
2024·全國新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷
2023·全國乙卷、2023·全國乙卷、2023·天津卷
2022·天津卷、2022·全國甲卷、2022·全國乙卷
2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷
2021·全國乙卷、2020·北京卷、2020·全國卷
2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷
2018·全國卷、2018·天津卷、2017·天津卷
2017·山東卷、2017·北京卷、2016·北京卷
2016·北京卷、2016·全國卷、2015·重慶卷
2015·全國卷、2015·天津卷、2015·山東卷
2015·北京卷
1.能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會求切線方程，會求參數(shù)
2.理解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間，能夠利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，近年來導(dǎo)數(shù)和其他版塊知識點關(guān)聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。
3.能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值，體會導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)
4.能進行函數(shù)轉(zhuǎn)化證明不等式，會函數(shù)中的恒成立問題與有解問題，會求零點及其應(yīng)用，會隱零點、雙變量、極偏等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，都可能成為高考命題方向
考點2 具體函數(shù)及含參函數(shù)的單調(diào)性
（10年6考）
2024·北京卷、2023·全國甲卷、2023·全國甲卷
2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷
2018·全國卷
考點3 含參函數(shù)的單調(diào)性
（10年10考）
2024·全國甲卷、2023·北京卷、2023·全國新Ⅰ卷
2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷
2021·浙江卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷
2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷
2018·天津卷、2018·全國卷、2017·全國卷
2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全國卷
2017·全國卷、2016·山東卷、2016·四川卷
2016·全國卷、2016·北京卷、2016·山東卷
2016·四川卷、2016·全國卷、2015·江蘇卷
2015·重慶卷、2015·天津卷、2015·四川卷
2015·四川卷、2015·北京卷
考點4 極值最值及其應(yīng)用
（10年10考）
2024·全國新Ⅱ卷、2024·全國甲卷、2023·北京卷
2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷
2022·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷
2021·全國乙卷、2020·北京卷、2019·全國卷
2019·江蘇卷、2018·北京卷、2018·北京卷
2018·全國卷、2018·全國卷、2017·山東卷
2017·江蘇卷、2017·全國卷、2017·山東卷
2017·北京卷、2016·山東卷、2016·天津卷
2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·重慶卷
2015·山東卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷
2015·山東卷、2015·全國卷
考點5 證明不等式
（10年9考）
2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·天津卷
2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國乙卷、2019·北京卷
2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷
2017·全國卷、2016·浙江卷、2016·全國卷
2015·全國卷、2015·湖北卷、2015·福建卷
2015·北京卷
考點6 恒成立與能成立（有解）問題
（10年9考）
2024·天津卷、2024·全國甲卷、2023·全國甲卷
2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國甲卷
2021·天津卷、2020·山東卷、2020·全國卷
2019·全國卷、2017·天津卷、2017·全國卷
2016·江蘇卷、2016·全國卷、2016·四川卷
2015·四川卷、2015·山東卷、2015·湖南卷
2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷
考點7 零點問題
（10年8考）
2022·全國乙卷、2022·全國乙卷、2021·全國新Ⅱ卷
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（10年4考）
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