考點(diǎn)01 數(shù)列的增減性
1．（2022·全國乙卷·高考真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關(guān)系判斷中各項(xiàng)的大小，即可求解.
【詳解】[方法一]:常規(guī)解法
因?yàn)椋?br>所以，，得到，
同理，可得，
又因?yàn)椋?br>故，；
以此類推，可得，，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
，得，故C錯(cuò)誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設(shè)則
故D正確.
2．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的第2項(xiàng)小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項(xiàng)．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.
【詳解】由題意可知，，，
當(dāng)時(shí)，，可得；
當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因?yàn)椋獾?，①對?br>假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設(shè)對任意的，，則，
所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).
3．（2021·全國甲卷·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】B
【分析】當(dāng)時(shí)，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．
4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（ ）．
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
【答案】B
【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).
【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，
則其通項(xiàng)公式為：，
注意到，
且由可知，
由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，
由于，
故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.
故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題.
考點(diǎn)02 遞推數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式
1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.
法2：構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求得的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進(jìn)而取推得不恒成立.
【詳解】法1：因?yàn)?，故?br>對于A ，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
則，故成立，
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，
，，故，故，
故為減數(shù)列，注意
故，結(jié)合，
所以，故，故，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，故恒成立僅對部分成立，
故A不成立.
對于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
則，故成立即
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，
，，故，故，故為增數(shù)列，
若，則恒成立，故B正確.
對于C，當(dāng)時(shí)， 可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
則，故成立即
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，故，故為減數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若，若存在常數(shù)，使得恒成立，
則恒成立，故，的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.
對于D，當(dāng)時(shí)， 可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，
證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等關(guān)系成立；
設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
則，故成立
由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.
而，故，故為增數(shù)列，
又，結(jié)合可得：，所以，
若存在常數(shù)，使得恒成立，則，
故，故，這與n的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
法2：因?yàn)椋?br>令，則，
令，得或；
令，得；
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
令，則，即，解得或或，
注意到，，
所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，
對于A，因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，，則，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
綜上：，即，
因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，
因?yàn)椋?br>令，則，
因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，故，
所以在上單調(diào)遞增，故，
故，即，
假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，
取，其中，且，
因?yàn)?，所以?br>上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，
所以，
又當(dāng)時(shí)，，即，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，
所以，
綜上：，
因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，
此時(shí)，取，滿足題意，故B正確；
對于C，因?yàn)?，則，
注意到當(dāng)時(shí)，，，
猜想當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)與時(shí)，與滿足，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，所以，
綜上：，
易知，則，故，
所以，
因?yàn)樵谏?，所以，則為遞減數(shù)列，
假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，
記，取，其中，
則，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C錯(cuò)誤；
對于D，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，則，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
綜上：，
因?yàn)樵谏?，所以，所以為遞增數(shù)列，
因?yàn)椋?br>令，則，
因?yàn)殚_口向上，對稱軸為，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，
故，即，
假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，
取，其中，且，
因?yàn)?，所以?br>上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.
2．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①的第2項(xiàng)小于3； ②為等比數(shù)列；
③為遞減數(shù)列； ④中存在小于的項(xiàng)．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
【答案】①③④
【分析】推導(dǎo)出，求出、的值，可判斷①；利用反證法可判斷②④；利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷③.
【詳解】由題意可知，，，
當(dāng)時(shí)，，可得；
當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因?yàn)?，解得，①對?br>假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；
假設(shè)對任意的，，則，
所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.
故答案為：①③④.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在推斷②④的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來進(jìn)行推導(dǎo).
3．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．
【詳解】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.
4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
，
由累乘法可得，且，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
由裂項(xiàng)求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．
5．（2020·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列 的前3項(xiàng)和是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的前三項(xiàng)，即可求出．
【詳解】因?yàn)椋裕?br>即．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題．
6．（2020·全國·高考真題）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則 .
【答案】
【分析】對為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，求解即可得出結(jié)論.
【詳解】，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
，
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.
7．（2019·浙江·高考真題）設(shè)，數(shù)列中，， ,則
A．當(dāng)B．當(dāng)
C．當(dāng)D．當(dāng)
【答案】A
【解析】若數(shù)列為常數(shù)列，，則只需使，選項(xiàng)的結(jié)論就會不成立.將每個(gè)選項(xiàng)的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項(xiàng)B、C、D均有小于10的解，故選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤.而選項(xiàng)A對應(yīng)的方程沒有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及基本不等式，可證得A選項(xiàng)正確.
【詳解】若數(shù)列為常數(shù)列，則，由，
可設(shè)方程
選項(xiàng)A：時(shí)，，，
，
故此時(shí)不為常數(shù)列，
，
且，
，則，
故選項(xiàng)A正確；
選項(xiàng)B：時(shí)，，，
則該方程的解為，
即當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，，
則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：時(shí)，，
該方程的解為或，
即當(dāng)或時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，或，
同樣不滿足，則選項(xiàng)C也錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：時(shí)，，
該方程的解為，
同理可知，此時(shí)的常數(shù)列也不能使，
則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：A.
【點(diǎn)睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.
8．（2017·上海·高考真題）已知數(shù)列和，其中，，的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，若對于任意，的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，則
【答案】2
【詳解】由，若對于任意的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，
則，則
所以，
所以.
考點(diǎn)03 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
一、單選題
1．（2024·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.
【詳解】由，則，
則等差數(shù)列的公差，故.
故選：B.
2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
3．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．
【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
4．（2023·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
5．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
6．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，
由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；
若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，
假設(shè)，令可得，且，
當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.
所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.
故選：C.
7．（2020·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，，而，即可表示出題中，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立．
【詳解】對于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；
對于B，由題意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；
對于C，，
當(dāng)時(shí)，，C正確；
對于D，，，
．
當(dāng)時(shí)，，∴即；
當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2019·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．本題還可用排除，對B，，，排除B，對C，，排除C．對D，，排除D，故選A．
【詳解】由題知，，解得，∴，故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，在適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷．
9．（2018·全國·高考真題）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得正確結(jié)果.
詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，
根據(jù)題中的條件可得，
整理解得，所以，故選B.
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.
10．（2017·全國·高考真題）（2017新課標(biāo)全國I理科）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為
A．1B．2
C．4D．8
【答案】C
【詳解】設(shè)公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.
11．（2016·浙江·高考真題）如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，.（）
若

A．是等差數(shù)列
B．是等差數(shù)列
C．是等差數(shù)列
D．是等差數(shù)列
【答案】A
【詳解】表示點(diǎn)到對面直線的距離（設(shè)為）乘以長度的一半，
即，由題目中條件可知的長度為定值，
那么我們需要知道的關(guān)系式，
由于和兩個(gè)垂足構(gòu)成了直角梯形，
那么，
其中為兩條線的夾角，即為定值，
那么，
，
作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．
12．（2015·重慶·高考真題）在等差數(shù)列中，若=4，=2，則=
A．-1B．0C．1D．6
【答案】B
【詳解】在等差數(shù)列中，若，則，解得，故選B.
13．（2015·全國·高考真題）已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】試題分析：由得，解得.
考點(diǎn)：等差數(shù)列.
14．（2015·全國·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】，，選A.
二、填空題
15．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 .
【答案】95
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
16．（2022·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
【答案】2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡得，
即，解得.
故答案為：2.
17．（2020·山東·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為 ．
【答案】
【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項(xiàng)和為，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.
18．（2020·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則 ．
【答案】
【分析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.
【詳解】是等差數(shù)列，且，
設(shè)等差數(shù)列的公差
根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：
可得：
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
19．（2019·江蘇·高考真題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是 .
【答案】16.
【分析】由題意首先求得首項(xiàng)和公差，然后求解前8項(xiàng)和即可.
【詳解】由題意可得：，
解得：，則.
【點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組.
20．（2019·北京·高考真題）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5= ，Sn的最小值為 ．
【答案】 0. -10.
【分析】首先確定公差,然后由通項(xiàng)公式可得的值，進(jìn)一步研究數(shù)列中正項(xiàng)?負(fù)項(xiàng)的變化規(guī)律,得到和的最小值.
【詳解】等差數(shù)列中,,得,公差,,
由等差數(shù)列的性質(zhì)得時(shí),,時(shí),大于0,所以的最小值為或,即為.
【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?求和公式?等差數(shù)列的性質(zhì),難度不大,注重重要知識?基礎(chǔ)知識?基本運(yùn)算能力的考查.
21．（2019·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 .
【答案】100
【分析】根據(jù)題意可求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】得
【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為等差數(shù)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵．
22．（2019·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則 .
【答案】4.
【分析】根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.
【詳解】因，所以，即，
所以．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．
23．（2018·北京·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【分析】先根據(jù)條件列關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
【點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量，將多元問題簡化為首項(xiàng)與公差（公比）問題，雖有一定量的運(yùn)算，但思路簡潔，目標(biāo)明確：二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.
24．（2016·北京·高考真題）已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，，則 .
【答案】6
【詳解】試題分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，又，所以，
所以．故答案為6．
【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本性質(zhì)
【名師點(diǎn)睛】在等差數(shù)列五個(gè)基本量，，，，中，已知其中三個(gè)量，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個(gè)量，計(jì)算時(shí)須注意整體代換思想及方程思想的應(yīng)用.
25．（2016·江蘇·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a22=3，S5=10，則a9的值是 .
【答案】
【詳解】由得，因此
考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)
26．（2015·廣東·高考真題）在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8= .
【答案】10
【詳解】試題分析：據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項(xiàng)數(shù)之和相等的兩項(xiàng)之和相等，化簡已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后，將a5的值代入即可求出值．
解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，
得到a5=5，
則a2+a8=2a5=10．
故答案為10．
考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)．
27．（2015·陜西·高考真題）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為 2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為 ．
【答案】5.
【詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，則，所以，故該數(shù)列的首項(xiàng)為，所以答案應(yīng)填：．
【考點(diǎn)定位】等差中項(xiàng)．
28．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列中，，（），則數(shù)列的前9項(xiàng)和等于 .
【答案】27
【詳解】試題分析：，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，故填：27.
考點(diǎn)：等差數(shù)列
29．（2015·全國·高考真題）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則 ．
【答案】
【詳解】原式為，整理為： ，即，即數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差的數(shù)列，所以 ，即 .
【點(diǎn)睛】這類型題使用的公式是 ，一般條件是 ，若是消 ，就需當(dāng) 時(shí)構(gòu)造 ，兩式相減 ，再變形求解；若是消 ，就需在原式將 變形為： ，再利用遞推求解通項(xiàng)公式.
考點(diǎn)04 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
一、單選題
1．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.
【詳解】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
2．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．16B．32C．54D．162
【答案】C
【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
則.
故選：C.
3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；
方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．
【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋?，所以，否則，
從而，成等比數(shù)列，
所以有，，解得：或，
當(dāng)時(shí)，，即為，
易知，，即；
當(dāng)時(shí)，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算．
4．（2022·全國乙卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.
【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
5．（2021·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.
【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，
∴，，成等比數(shù)列
∴，
∴，
∴.
故選：A.
6．（2020·全國·高考真題）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．12B．24C．30D．32
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
，
因此，.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2020·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由可得：，
所以，
因此.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
8．（2020·全國·高考真題）數(shù)列中，，對任意 ，若，則 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.
【詳解】在等式中，令，可得，，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
9．（2015·浙江·高考真題）已知是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，則
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】∵等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，∴，
∴，∴，，故選B.
考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；2.等比數(shù)列的概念
10．（2015·全國·高考真題）已知等比數(shù)列滿足，，則
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=，選B.
二、填空題
11．（2023·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為 ．
【答案】
【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡即可求出公比.
【詳解】若，
則由得，則，不合題意.
所以.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以，
即，即，即，
解得.
故答案為：
12．（2023·全國乙卷·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.
【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，
則，即，則，因?yàn)?，則，
則，則，則，
故答案為：.
13．（2019·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若，則S4= ．
【答案】.
【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查．
【詳解】詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知
，即
解得，
所以．
【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．
一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用已知計(jì)算，避免繁分式計(jì)算．
14．（2019·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5= ．
【答案】.
【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查．
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，
所以所以．
【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤．
15．（2017·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，則a4 = ．
【答案】-8
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：
，由可得：，代入①可得，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.
【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程.
16．（2017·北京·高考真題）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則 .
【答案】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進(jìn)而求出和的值，由此可得出的值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，
求得，，那么，故答案為.
【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列
【點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）問題，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.
17．（2017·江蘇·高考真題）等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)為，已知= ，=，則= ．
【答案】32
【詳解】由題意可得，所以兩式相除得代入得，填32．
18．（2016·浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝ ，S5＝ ．
【答案】 1 121
【詳解】試題分析：，
再由，又，
所以
【考點(diǎn)】等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的前項(xiàng)和．
【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過程中，一定要檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.
19．（2016·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2 …an的最大值為 ．
【答案】
【詳解】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當(dāng)或時(shí)，取得最大值.
考點(diǎn)：等比數(shù)列及其應(yīng)用
20．（2015·全國·高考真題）數(shù)列中為的前n項(xiàng)和，若，則 .
【答案】6
【詳解】試題分析：由題意得，因?yàn)?，即，所以?shù)列構(gòu)成首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，解得．
考點(diǎn)：等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列求和．
21．（2015·湖南·高考真題）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則 .
【答案】.
【詳解】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，
又∵等比數(shù)列，∴.
考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列
基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.
22．（2015·廣東·高考真題）若三個(gè)正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，，則 ．
【答案】
【詳解】試題分析：由題意得，三個(gè)正數(shù)，，成等比數(shù)列，所以，解得．
考點(diǎn)：等比中項(xiàng)．
23．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于 .
【答案】
【詳解】由題意，，解得或者，
而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，
即，所以，
因而數(shù)列的前項(xiàng)和，故答案為.
考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.
考點(diǎn)05 數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化
1．（2023·北京·高考真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且，則 ；數(shù)列所有項(xiàng)的和為 ．
【答案】 48 384
【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項(xiàng)求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為，后7項(xiàng)公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則，
且，所以；
又因?yàn)?，則；
空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
2．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
3．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折次，那么 .
【答案】 5
【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.
【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設(shè)，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；
（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；
（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.
4．（2020·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列 的前3項(xiàng)和是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的前三項(xiàng)，即可求出．
【詳解】因?yàn)椋裕?br>即．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)并求和，屬于容易題．
5．（2020·全國·高考真題）0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿足的序列是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)新定義，逐一檢驗(yàn)即可
【詳解】由知，序列的周期為m，由已知，，
對于選項(xiàng)A，
，不滿足；
對于選項(xiàng)B，
，不滿足；
對于選項(xiàng)D，
，不滿足；
故選：C
【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.
6．（2020·全國·高考真題）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
【答案】C
【分析】第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，由題意可得，解方程即可得到n，進(jìn)一步得到.
【詳解】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
【點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
7．（2018·北京·高考真題）“十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.
詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，
所以，
又，則
故選D.
點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列. 等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：
（1）定義法，若（）或（）， 數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.
8．（2017·全國·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈
A．1盞B．3盞
C．5盞D．9盞
【答案】B
【詳解】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，
由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故選B．
考點(diǎn)06 數(shù)列求和
1．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
，
由累乘法可得，且，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
由裂項(xiàng)求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．
2．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對于A選項(xiàng)，，，
所以，，A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，取，，，
而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，，
所以，，
，
所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；
對于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
3．（2020·江蘇·高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是 ．
【答案】
【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn)，分別求得的公差和公比，由此求得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.
等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，
等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，
依題意，即，
通過對比系數(shù)可知，故.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.
4．（2017·全國·高考真題）（2017新課標(biāo)全國II理科）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則 ．
【答案】
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意有 ，解得 ，
數(shù)列的前n項(xiàng)和，
裂項(xiàng)可得，
所以．
點(diǎn)睛:等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用得方法．使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正、負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)．
5．（2015·江蘇·高考真題）數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 ．
【答案】
【詳解】試題分析：：∵數(shù)列滿足，且（），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，∴．∴．
∴數(shù)列的前n項(xiàng)的和
∴數(shù)列的前10項(xiàng)的和為
考點(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)公式求和考點(diǎn)
十年考情（2015-2024）
命題趨勢
考點(diǎn)1 數(shù)列的增減性
（10年3考）
2022·全國乙卷、2022·北京卷
2021·全國甲卷、2020·北京卷
1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法，能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡單的問題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，?？疾槔门c關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)及通項(xiàng)公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復(fù)習(xí)
2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題，熟練掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構(gòu)造為等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，需綜合復(fù)習(xí)
3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題，熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。需綜合復(fù)習(xí)
4.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和和錯(cuò)位相減求和，該內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，常考查裂項(xiàng)相消求和、錯(cuò)位相減求和、奇偶并項(xiàng)求和，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)
考點(diǎn)2 遞推數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式
（10年6考）
2023·北京卷、2022·北京卷、2022·浙江卷
2021·浙江卷、2020·浙江卷、2020·全國卷
2019·浙江卷、2017·上海卷
考點(diǎn)3 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
（10年10考）
2024·全國甲卷、2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅰ卷、2022·北京卷、2020·浙江卷、2020·山東卷、2020·全國卷、2019·全國卷
2019·江蘇卷、2019·北京卷、2019·全國卷、2019·全國卷、2018·北京卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2016·浙江卷、2015·重慶卷
2015·全國卷、2015·全國卷、2016·北京卷、2016·江蘇卷、2015·廣東卷、2015·陜西卷、2015·安徽卷、2015·全國卷
考點(diǎn)4 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
（10年10考）
2023·全國甲卷、2023·天津卷、2023·全國新Ⅱ卷
2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2022·全國乙卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷
2017·全國卷、2017·北京卷、2017·江蘇卷、2016·浙江卷、2016·全國卷、2015·浙江卷
2015·全國卷、2015·全國卷、2015·湖南卷
2015·廣東卷、2015·安徽卷
考點(diǎn)5 數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化
（10年6考）
2023·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·浙江卷、2020·全國卷、2020·全國卷
2018·北京卷、2017·全國卷
考點(diǎn)6 數(shù)列求和
（10年10考）
2021·浙江卷、2021·全國新Ⅱ卷
2020·江蘇卷、2017·全國卷、2015·江蘇

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