1．空間向量及其有關定理
2.空間向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a，b，則a·b＝eq \x(\s\up1(07))|a||b|·cs〈a，b〉．
3．空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
1．證明空間任意三點共線的方法
對空間三點P，A，B，可通過證明下列結論成立來證明三點共線：
(1)eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；
(2)對空間任一點O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)；
(3)對空間任一點O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．
2．證明空間四點共面的方法
點共面問題可轉化為向量共面問題，要證明P，A，B，C四點共面，只要能證明eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))，或對空間任一點O，有eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．
1．(人教B選擇性必修第一冊1.1.3練習B T5改編)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是( )
A．2，eq \f(1,2) B．－eq \f(1,3)，eq \f(1,2)
C．－3，2 D．2，2
答案 A
解析 ∵a∥b，∴b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))故選A.
2．(人教B選擇性必修第一冊1.1.3練習B T8改編)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，則實數(shù)λ的值為( )
A．－2 B．－eq \f(14,3)
C.eq \f(14,5) D．2
答案 D
解析 由題意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故選D.
3．(人教A選擇性必修第一冊習題1.1 T2(2)改編)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝( )
A.eq \(D1B1,\s\up6(→)) B.eq \(D1B,\s\up6(→))
C.eq \(DB1,\s\up6(→)) D.eq \(BD1,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→)).故選D.
4．(多選)(2023·寧德期末)已知a＝(1，0，1)，b＝(－1，2，－3)，c＝(2，－4，6)，則下列結論正確的是( )
A．a⊥b
B．b∥c
C．〈a，c〉為鈍角
D．向量c在向量a上的投影向量為(4，0，4)
答案 BD
解析 因為1×(－1)＋0×2＋1×(－3)＝－4≠0，所以a，b不垂直，A錯誤；因為c＝－2b，所以b∥c，B正確；因為a·c＝1×2＋0×(－4)＋1×6＝8，所以cs〈a，c〉>0，所以〈a，c〉不是鈍角，C錯誤；向量c在向量a上的投影向量為|c|cs〈a，c〉eq \f(a,|a|)＝eq \f(a·c,|a|2)a＝eq \f(8,2)(1，0，1)＝(4，0，4)，D正確．故選BD.
5．已知O是空間任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，且eq \(OA,\s\up6(→))＝2xeq \(BO,\s\up6(→))＋3yeq \(CO,\s\up6(→))＋4zeq \(DO,\s\up6(→))，則2x＋3y＋4z＝________．
答案 －1
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))＝2xeq \(BO,\s\up6(→))＋3yeq \(CO,\s\up6(→))＋4zeq \(DO,\s\up6(→))，∴eq \(OA,\s\up6(→))＝－2xeq \(OB,\s\up6(→))－3yeq \(OC,\s\up6(→))－4zeq \(OD,\s\up6(→))，∵O是空間任意一點，A，B，C，D四點滿足任意三點均不共線，但四點共面，∴－2x－3y－4z＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.
6．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數(shù)λ＝________．
答案 eq \f(65,7)
解析 由題意可知，存在實數(shù)x，y使得c＝xa＋yb，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7＝2x－y，,5＝－x＋4y，,λ＝3x－2y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))
例1 (1)已知向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)c－2a，則c＝( )
A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)
C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)
答案 B
解析 ∵向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)c－2a，∴c＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．故選B.
(2)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．
①化簡eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
②用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))表示eq \(OC1,\s\up6(→))，則eq \(OC1,\s\up6(→))＝________．
答案 ①eq \(A1A,\s\up6(→)) ②eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
解析 ①eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→)).
②因為eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，所以eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)).
空間向量線性運算中的三個關鍵點
(2023·天津一中期末)如圖，空間四邊形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，則eq \(MN,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
C．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c D.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c
答案 C
解析 由題意知，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.故選C.
例2 如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．
(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))是否與向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面？
(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？
解 (1)因為eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(BC,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(B1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AA1,\s\up6(→))，
所以由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up6(→))與向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
(2)當k＝0時，點M，A重合，點N，B重合，MN在平面ABB1A1內．
當0

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