河南省南陽市鎮(zhèn)平縣2023-2024學(xué)年下學(xué)期九年級開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份河南省南陽市鎮(zhèn)平縣2023-2024學(xué)年下學(xué)期九年級開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版），共22頁。試卷主要包含了選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查最簡二次根式，同類二次根式．將各個二次根式化簡，再看被開方數(shù)即可得出答案．
【詳解】解：因?yàn)椋?，，?br>所以與是同類二次根式，
故選：B．
2. 不透明的口袋中裝有10個黃球和若干個白球，它們除顏色外完全相同，通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6附近，估計(jì)口袋中白球大約有（ ）
A. 12個B. 15個C. 18個D. 20個
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率．設(shè)口袋中白球大約有x個，根據(jù)概率公式列出算式，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)口袋中白球大約有x個，
∵摸到白色球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
∴估計(jì)口袋中白球大約有15個．
故選：B
3. 關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個實(shí)數(shù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根
【答案】A
【解析】
【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，整理方程得到一般形式，計(jì)算根的判別式即可得到答案．
【詳解】解：整理得，
∵，
∴原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A
4. 將一副三角尺按如圖方式疊放在一起，邊與相交于點(diǎn)，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．由直角三角形的性質(zhì)可得，，，，可證，由相似三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：，，，
，，，，
，
，
故選：C．
5. 圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色．一個不透明的盒子中裝有1個黑色棋子和2個白色棋子，每個棋子除顏色外都相同，從中隨機(jī)摸出一個棋子，記下顏色后放回攪勻，再從中隨機(jī)摸出一個棋子，則兩次摸到相同顏色的棋子的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法．列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸到相同顏色的棋子的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】解：列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到相同顏色的棋子的結(jié)果有5種，
兩次摸到相同顏色的棋子的概率為．
故選：D．
6. 如圖，四邊形內(nèi)接于，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”求出，再根據(jù)圓周角定理求出．
【詳解】解：四邊形內(nèi)接于，
，
，
，
由圓周角定理得：，
故選：D．
7. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，無論x為何值時，的條件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系即可解決問題．
【詳解】解：由題知，
因?yàn)閽佄锞€開口向上，
所以．
又因?yàn)閽佄锞€與軸沒有交點(diǎn)，
所以．
故選：C．
8. 如圖，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為1，扇形的圓心角等于90°，則扇形的半徑是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了求弧長，圓錐的側(cè)面展開圖；設(shè)扇形的半徑為r，利用圓錐底面周長等于圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長，即可求解．
【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，
由題意得：，
解得：；
故選：B．
9. 如圖，在中，，，．是邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，當(dāng)平分時，的長度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，含30度角的直角三角形，平行線的性質(zhì)，角平分線定義．由平行線的性質(zhì)推出，由角平分線定義得到，因此，得到，令，得到，判定，推出，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，求出，得到，求出，得到，由平行線分線段成比例定理推出，即可求出．
【詳解】解：，
，
平分時，
，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
令，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選：A．
10. 拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，若，則直線一定經(jīng)過（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D(zhuǎn). 第一、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)已知條件可得出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可．
【詳解】解：拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，
，
，
，
，
當(dāng)，時，直線經(jīng)過第一、二、三象限，
當(dāng)，時，直線經(jīng)過第二、三、四象限，
綜上，直線一定經(jīng)過二、三象限．
故選：B．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 寫出一個開口向下且過的拋物線的表達(dá)式______．
【答案】答案不唯一，例如：
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由拋物線開口向下可知，且過點(diǎn)，然后問題可求解．
【詳解】解：由拋物線開口向下可知，且與y軸交于點(diǎn)，因此符合條件的拋物線表達(dá)式可以為；
故答案為（答案不唯一）．
12. 《水滸傳》是中學(xué)生必讀名著之一．王林將水滸人物宋江和李逵的畫像及其綽號制成4張無差別卡片（除圖案和文字不同外，其他完全相同）．將卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則抽取的卡片人物畫像與綽號完全對應(yīng)的概率是________．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了用列舉法求簡單事件的概率．根據(jù)畫樹狀圖法即可求解．
【詳解】解：將四張卡片從左到右依次記作，根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

由樹狀圖，可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的卡片人物畫像與綽號完全對應(yīng)的結(jié)果有4種，故（抽取的卡片人物畫像與綽號完全對應(yīng)）．
故答案為：．
13. 如圖，中，弦，垂足為點(diǎn)，連接，若，，則的值為_____．

【答案】##0.8
【解析】
【分析】本題考查的是垂徑定理“平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”．先根據(jù)垂徑定理得出的長，再根據(jù)勾股定理得到，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】解：弦，，，
，
，
．
故答案為：．
14. 如圖，是拋物線在第四象限的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別向軸和軸作垂線，垂足分別為、，則四邊形周長的最大值為______.
【答案】16
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．依據(jù)題意，設(shè)根據(jù)矩形的周長公式得到，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值即可．
【詳解】解：設(shè)，
四邊形周長．
當(dāng)時，四邊形周長有最大值，最大值為16．
故答案為16．
15. 如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)．則在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。
連接，根據(jù)將繞頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，，
由為的中點(diǎn)，知，求出，當(dāng)，，不能構(gòu)成三角形，且在上時，取最小值，此時．
【詳解】解：連接，如圖：

將繞頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
為的中點(diǎn)，
，
，為中點(diǎn)，
，
在中，，
當(dāng)，，不能構(gòu)成三角形，且在上時，取最小值，此時，如圖：

的最小值為．
故答案：．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16. （1）計(jì)算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）0；（2），．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、完全平方公式、二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和解一元二次方程，熟練掌握因式分解法、特殊角的三角函數(shù)值、完全平方公式、二次根式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（1）
；
（2）
解：，
解得：，．
17. 如圖，在中，，以為直徑的與交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）若與相切，求的度數(shù)；
（3）用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧的中點(diǎn)E．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）由圓周角定理得出，再由等腰三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）由切線的性質(zhì)得出，由，得出是等腰直角三角形，即可求出；
（3）利用尺規(guī)作圖，作的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即是劣弧的中點(diǎn)．
【小問1詳解】
證明：是直徑，
，
．
，
；
【小問2詳解】
解：與相切，為直徑，
，
又，
是等腰直角三角形，
；
【小問3詳解】
解：如圖所示：
作的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即是劣弧的中點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
18. 已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在圖中作出該函數(shù)的圖象并結(jié)合圖象回答：
①該拋物線的對稱軸為直線_______；
②該拋物線的最大值為_______．
（3）①若，則______；
②當(dāng)時，x取值范圍是______；
③方程的根是_____．
【答案】（1）
（2）圖形見解析，①，②4
（3）①0或2；②；③，
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程根的關(guān)系，圖象法解一元二次不等式，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）將，，代入，可得三元一次方程組，解方程組，即可得出函數(shù)表達(dá)式；
（2）經(jīng)過，，，，畫出函數(shù)圖象，即得所求圖象；再根據(jù)圖象，即可得到①，②答案；
（3）①若，則，求解方程即得答案；
②根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與一元二次不等式的關(guān)系，即得答案；
③將方程變形為，再根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，即可求得答案．
【小問1詳解】
將，，代入，
得，
解得，
拋物線的解析式為；
【小問2詳解】
解：，
拋物線的頂點(diǎn)為，
令，則，
，
經(jīng)過，，，，畫出函數(shù)圖象如圖所示：
由圖可知，①該拋物線的對稱軸為直線；
故答案為：．
②該拋物線的最大值為4；
故答案為：4．
【小問3詳解】
①若，則，
解得，；
故答案為：0或2．
②拋物線與x軸的交點(diǎn)為，，
方程的根為，，
，
拋物線開口向下，
當(dāng)時，x的取值范圍是；
故答案為：．
③，
，
整理得，
由題意，拋物線與x軸的交點(diǎn)為，，
方程的根為，，
即方程的根是，．
故答案為：，．
19. 如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知米，米，測點(diǎn)D到地面的距離米，到旗桿的水平距離米，求旗桿的高度．
【答案】旗桿的高度為14米．
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例．求出，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出，再求出，然后根據(jù)旗桿的高度代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．
【詳解】解：，，
，
，
即，
解得，
，，，
，
四邊形是矩形，
，
（米）．
答：旗桿的高度為14米．
20. 小穎家附近廣場中央計(jì)劃新建造個圓形的噴水池．在水池中央垂直于地面處安裝個柱子，在柱子頂端A處安裝一個噴頭向外噴水．水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，如圖所示．已知柱子在水面以上部分的高度為，要求設(shè)計(jì)水流在距離柱子處達(dá)到距離水平面最高，且最高為．

（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求水流拋物線在第一象限內(nèi)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（2）若不計(jì)其他因素，則水池的半徑至少為多少米時，才能使噴出的水流不至于落到池外？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：
（1）根據(jù)已知得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用頂點(diǎn)式得出二次函數(shù)解析式；
（2）令，求出x的值即可得到答案．
【小問1詳解】
解：由題意可知拋物線頂點(diǎn)為，
可設(shè)解析式為，過點(diǎn)，即，
解得．
拋物線的解析式為：．
【小問2詳解】
解：由（1）可知：，
令，
．
解得或（舍去）．
花壇半徑至少為．
21. 如圖，在中，，，的三條角平分線交于點(diǎn)，過作的垂線分別交、于點(diǎn)、．
（1）直接寫出的度數(shù)為_______；
（2）寫出圖中的一對相似三角形并進(jìn)行證明（全等三角形除外）；
（3）若，，請直接寫出的長為______．
【答案】（1）
（2）∽，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平分，平分推出，，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和推出，代換即可得到，根據(jù)的度數(shù)即可求出；
（2）根據(jù)得到，根據(jù)平分求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)，推出，根據(jù)平分推出，即可判定；
（3）根據(jù)得到，根據(jù)，和比例的基本性質(zhì)即可求出的長．
【小問1詳解】
解：平分，平分，
，，
，
，
又，
，
，
．
故答案為：；
【小問2詳解】
解：（答案不唯一）．
證明：，
，
平分，
，
，
由（1）知，
，
平分，
，
；
【小問3詳解】
解：，
，
又，，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是三角形相似綜合題，主要考查三角形角平分線定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)，深入理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
22. 界首市公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，經(jīng)測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元，則月銷售量將減少10個．
①為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元/個?．
②要使銷售該品牌頭盔每月獲得的利潤最大，則該品牌頭盔每個的售價為 元?
【答案】（1）該品牌頭盔銷售量的月增長率為
（2）①該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為50元；②65
【解析】
【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，根據(jù)“從4月份到6月份銷售量的月增長率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）①設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為a元/個，根據(jù)月銷售利潤每個頭盔的利潤月銷售量，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可求出答案．
②設(shè)該品牌頭盔每月獲得的利潤為y元，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，
根據(jù)題意可得，，
解得，（舍去），
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為；
【小問2詳解】
解：①設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為a元，
由題意得，
整理得，
解得，，
∵盡可能讓顧客得到實(shí)惠，
∴，
∴該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為50元．
②設(shè)該品牌頭盔每月獲得的利潤為y元，則
，
，拋物線開口向下，
∴當(dāng)時，y有最大值，最大值為12250．
∴該品牌頭盔每個的售價為65元．
故答案為：65
【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程解決增長率問題和利潤問題，以及根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值問題．找出等量關(guān)系且熟練掌握解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
23. 【特例感知】
（1）如圖1，已知和是等邊三角形，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系是______；
【類比遷移】
（2）如圖2，和都是等腰直角三角形，，請寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【方法運(yùn)用】
（3）如圖3，若，點(diǎn)是線段外一動點(diǎn)，，連接．若將線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，直接寫出線段的最大值為______．（提示：可在上方作，并使，連接）
【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由“”可證，可得；
（2）通過證明，可得，即可求解；
（3）通過證明，可得，則點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即可求解．
【詳解】解：（1）和是等邊三角形，
，，，
，
，
，
故答案為：；
（2），理由如下：
和是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
；
（3）如圖，過點(diǎn)作，且，連接，，
，，
等腰直角三角形，
，，
將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
當(dāng)在的延長線上時，的值最大，最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大．黑
白
白
黑
（黑，黑）
（黑，白）
（黑，白）
白
（白，黑）
（白，白）
（白，白）
白
（白，黑）
（白，白）
（白，白）