1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{1，2，4，8}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{1，2，4，8}
2．（5分）已知函數(shù)，則f（﹣2022）+f（2022）的值是（ ）
A．﹣2022B．0C．1D．2022
3．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．.（1，+∞）B．.[1，+∞）
C．.（1，）D．
4．（5分）設(shè)x∈R，則“x＜3”是“x（x﹣2）＜0”的（ ）
A．充分不必要條件
B．充要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
5．（5分）函數(shù)+2在[0，1]上的最小值為（ ）
A．2B．C．2D．3
6．（5分）設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)∈[0，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，則，f（π），f（﹣3）的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如表：
若某戶居民本月繳納的水費(fèi)為108.1元，則此戶居民本月的用水量為（ ）
A．27m3B．28m3C．29m3D．30m3
8．（5分）函數(shù)，若對任意x1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．[﹣4，﹣1]B．[﹣4，﹣2]C．（﹣5，﹣1]D．[﹣5，﹣4]
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
（多選）9．（5分）已知a＞b，則下列不等式中正確的是（ ）
A．a(chǎn)2＞abB．b2＞ab
C．＞bD．a(chǎn)2（a﹣b）＞b2（b﹣a）
（多選）10．（5分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x），則下列函數(shù)必為偶函數(shù)的有（ ）
A．y＝f（|x|）B．y＝f（x2）
C．y＝﹣f（﹣x）D．y＝f（x）+f（﹣x）
（多選）11．（5分）若函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞），則a的可能取值為（ ）
A．B．C．D．0
（多選）12．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對任意實(shí)數(shù)x，y滿足：f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）+1，且f（1）＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜1．則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．f（0）＝1B．f（2）＝﹣2
C．f（x）﹣1為奇函數(shù)D．f（x）為R上的減函數(shù)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）命題“?x∈R，x2+1≥0”的否定是 ．
14．（5分）已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，﹣27），則＝ ．
15．（5分）若“1﹣m＜x+m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ．
16．（5分）已知k≥0，函數(shù)f（x）＝有最大值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
17．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．
（1）若A＝{1}，求a，b的值；
（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．
18．（12分）（1）比較A＝a2+b2+c2+14和B＝2a+4b+6c的大小；
（2）請判斷“a＞b，c＞d”是“a﹣d＞b﹣c”的什么條件？（“充分不必要條件”或“必要不充分條件”或“充要條件”或“既不充分也不必要條件”）
19．（12分）已知函數(shù)，x∈（﹣2，2）．
（1）用定義法證明：函數(shù)f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；
（2）求不等式f（t）+f（1﹣2t）＞0的解集．
20．（12分）（1）若關(guān)于x的不等式x2﹣mx+n＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式nx2+mx+1＞0的解集；
（2）已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，并且x+2y≥a2﹣2a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
21．（12分）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上的最小值為﹣2？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
22．（12分）對于定義在D上的函數(shù)f（x），若存在實(shí)數(shù)m，n且m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的最大值為，最小值為，則稱[m，n]為f（x）的一個(gè)“保值區(qū)間”．
已知函數(shù)g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞））時(shí)，g（x）＝﹣x+3．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）在（0，+∞）內(nèi)的“保值區(qū)間”；
（3）若以函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)所有“保值區(qū)間”上的圖象作為函數(shù)y＝h（x）的圖象，求函數(shù)y＝h（x）的值域．
2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市五校聯(lián)考高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．【分析】利用集合的交集運(yùn)算，即可得到本題的答案．
【解答】解：由已知集合A及集合B僅有公共元素1，2，
所以A∩B＝{1，2}．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算及其應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．
2．【分析】根據(jù)解析式求得定義域，判斷奇偶性，進(jìn)而求得結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)，定義域?yàn)閧x|x≠0}，
且 f（﹣x）+f（x）＝﹣x﹣+x＝0，
故f（﹣2022）+f（2022）＝0．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0，聯(lián)立不等式組求解．
【解答】解：由題意可得，
解得x≥1且，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≥1且}，
用區(qū)間表示為，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．
4．【分析】根據(jù)題意解不等式x（x﹣2）＜0，得到0＜x＜2，根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案．
【解答】解：不等式x（x﹣2）＜0，即0＜x＜2，由x（x﹣2）＜0可推出x＜3，
反之，可能x＝2，則x（x﹣2）＝0，所以x＜3不可以推出x（x﹣2）＜0，
故“x＜3”是“x（x﹣2）＜0”的必要不充分條件．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的解法、充要條件的判斷及其應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．
5．【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的最值．
【解答】解：因?yàn)?在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝1時(shí)取最小值為f（1）＝．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，得到，f（﹣3）＝f（3），再利用x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)求解．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為偶函數(shù)，
所以，f（﹣3）＝f（3），
因?yàn)楫?dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
又，
所以，即．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．【分析】根據(jù)題意設(shè)此戶居民本月的用水量為xm3，水費(fèi)為y元，分類討論0＜x≤15，15＜x≤22，x＞22，即可得出答案．
【解答】解：設(shè)此戶居民本月的用水量為xm3，水費(fèi)為y元，
當(dāng)0＜x≤15時(shí)，則y＝2.07x≤2.07×15＝31.05＜108.1；
當(dāng)15＜x≤22時(shí)，則y＝15×2.07+4.07（x﹣15）＝4.07x﹣30≤4.07×22﹣30＝59.54＜108.1；
當(dāng)x＞22時(shí)，則y＝2.07×15+4.07×（22﹣15）+6.07（x﹣22）＝6.07x﹣74，
要使某戶居民本月繳納的水費(fèi)為108.1元，則x＞22，
即6.07x﹣74＝108.1，解得x＝30，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
8．【分析】確定函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性得到不等式，解得答案．
【解答】解：因?yàn)閷θ我鈞1，x2∈R（x1≠x2），都有成立，
所以f（x）是R上的減函數(shù)，
則，
解得﹣4≤a≤﹣1．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．【分析】直接利用作差法和不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：對于A：當(dāng)a＜0時(shí)，不等式不成立，故A錯(cuò)誤；
對于B：當(dāng)b＜0時(shí)，不等式不成立，故B錯(cuò)誤；
對于C：由于a＞b，所以a+b＞2b，即，故C正確；
對于D：由于a2（a﹣b）﹣b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2+b2）＞0成立，故D正確．
故選：CD．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)，作差法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．【分析】利用函數(shù)奇偶性的概念逐項(xiàng)判定即可．
【解答】解：f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
對于A，令g（x）＝f（|x|），
∵g（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（|x|），
∴g（x）為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；
對于B，令g（x）＝f（x2），
∵g（﹣x）＝f[（﹣x）2]＝f（x2）＝g（x），
∴g（x）＝f（x2） 為偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確；
對于C，令 g（x）＝﹣f（﹣x），
∵g（﹣x）＝﹣f（x），g（x）＝﹣f（﹣x），
∴無法判斷奇偶性，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D，令g（x）＝f（x）+f（﹣x），
∵g（﹣x）＝f（﹣x）+f（x）＝g（x），
∴g（x）＝f（x）+f（﹣x）為偶函數(shù)，D選項(xiàng)正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，屬于中檔題．
11．【分析】由已知結(jié)合一次函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：①a＝0時(shí)，，值域?yàn)閇0，+∞），滿足題意；
②a≠0時(shí)，若 的值域?yàn)閇0，+∞），則，
綜上，．
故選：BCD．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)值域求解中的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12．【分析】取x＝y(tǒng)＝0代入計(jì)算得到A正確，計(jì)算f（2）＝﹣1，B錯(cuò)誤，變換得到f（﹣x）﹣1＝﹣[f（x）﹣1]，C正確，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到D正確，得到答案．
【解答】解：對選項(xiàng)A：取x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝f（0）﹣f（0）+1，故f（0）＝1，正確；
對選項(xiàng)B：f（﹣1）＝f（0）﹣f（1）+1＝2，f（2）＝f（1）﹣f（﹣1）+1＝﹣1，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)C：f（﹣x）＝f（0）﹣f（x）+1＝2﹣f（x），f（﹣x）﹣1＝﹣[f（x）﹣1]，f（x）﹣1為奇函數(shù)，正確；
對選項(xiàng)D：當(dāng)x1＞x2時(shí)，f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）﹣1＜0，f（x）是R上的減函數(shù)，正確，
故選：ACD．
【點(diǎn)評】本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．【分析】存在改任意，將結(jié)論取反，即可求解．
【解答】解：命題“?x∈R，x2+1≥0”的否定是：?∈R，x2+1＜0．
故答案為：：?∈R，x2+1＜0．
【點(diǎn)評】本題主要考查特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．
14．【分析】設(shè)冪函數(shù) f（x）＝xa，則（﹣3）a＝﹣27，解得a＝3，從而 f（x）＝x3，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xa，
所以（﹣3）a＝﹣27，解得a＝3，
所以f（x）＝x3，所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
15．【分析】先解出兩個(gè)不等式，然后根據(jù)已知得出對應(yīng)的集合的包含關(guān)系，由此建立不等式即可求解．
【解答】解：由1﹣m＜x+m＜2m可得：1﹣2m＜x＜m，
由0＜＜1可得：﹣1＜x＜1，
因?yàn)椤?﹣m＜x+m＜2m”是“0＜＜1”的必要不充分條件，
所以（1﹣2m，m）?（﹣1，1），則，解得m＞1，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，+∞），
故答案為：（1，+∞）．
【點(diǎn)評】本題考查了四個(gè)條件的簡單應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．【分析】要使f（x）＝有最大值，只需k＞0且，然后求出k的取值范圍即可．
【解答】解：當(dāng)k＝0時(shí)，無最大值，
要使函數(shù)存在最大值，則k＞0且，
即，所以k?1，
所以k的取值范圍為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
17．【分析】（1）若A＝{1}，則，由此能求出a，b；
（2）由B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，得，由此能求出a，b．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．
若A＝{1}，則，
解得a＝2，b＝1；
（2）B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，
∴，
解得a＝﹣3，b＝2．
【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，考查集合相等、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
18．【分析】（1）作差判斷即可；（2）根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可．
【解答】解：（1）由 A﹣B＝a2+b2+c2+14﹣2a﹣4b﹣6c
＝（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）
＝（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2．
由 （a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，（c﹣3）2≥0，
可得A﹣B≥0，
故A與B的大小關(guān)系為A≥B．
（2）①先判斷充分性：
當(dāng)a＞b，c＞d時(shí)，有﹣d＞﹣c，
則 a﹣d＞b﹣c，故充分性成立．
②再判斷必要性．
取a＝3，d＝1，b＝4，c＝3，
此時(shí)a﹣d＝3﹣1＝2＞b﹣c＝4﹣3＝1，但a＜b，
故必要性不成立．
由①②知，“a＞b，c＞d”是“a﹣d＞b﹣c”的充分不必要條件．
【點(diǎn)評】本題考查了充分必要條件，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．
19．【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
（2）判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，通過函數(shù)f（x）在（﹣2，2）上單調(diào)遞增列出不等式組求解即可．
【解答】（1）證明：任取2＞x1＞x2＞0，則，………………（4分）
因?yàn)?＞x1＞x2＞0，
所以，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，
所以f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；………………（6分）
（2）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，2）．
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，……………………（9分）
又f（0）＝0，所以函數(shù)f（x）在（﹣2，2）上單調(diào)遞增，………………（10分）
原不等式可化為不等式f（t）＞﹣f（1﹣2t）＝f（2t﹣1），
因此解得，
所以原不等式的解集為．……………………（12分）
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．
20．【分析】（1）根據(jù)不等式的解集以及韋達(dá)定理即可求得m，n，再解不等式即可．
（2）利用基本不等式求x+2y的最小值，再解不等式即可．
【解答】解：（1）∵不等式x2﹣mx+n＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
∴x1＝2，x2＝3是方程x2﹣mx+n＝0的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理得：2+3＝m，2×3＝n，
即m＝5，n＝6，
解不等式6x2+5x+1＞0，可得或，
故6x2+5x+1＞0的解集為或．
（2）∵x+2y≥a2﹣2a恒成立，∴，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝y(tǒng)＝3時(shí)等號成立，
所以a2﹣2a≤9，解得，
則實(shí)數(shù)a的范圍是[]．
【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)恒成立問題，考查一元二次不等式的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
21．【分析】（1）由已知結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解；
（2）由已知結(jié)合二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求解即可求解．
【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù) 的對稱軸為 且開口向上，
所以若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則 ，
解得，
所以a的取值范圍是；
（2）記g（x）＝＝（x﹣a）2﹣a2+a≥﹣a2+a，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上的最小值為﹣2，
則﹣a2+a≤﹣2 得 a2﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣1或a≥2．
當(dāng)a≤﹣1時(shí)，g（x）在[﹣1，1]上遞增，g（x）min＝g（﹣1）＝3a+1，所以3a+1＝﹣2，得a＝﹣1，
當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）在[﹣1，1]上遞減，g（x）min＝g（1）＝1﹣a，所以1﹣a＝﹣2，得a＝3，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)a＝﹣1或a＝3，使得函數(shù) 在區(qū)間[﹣1，1]上的最小值為﹣2．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上最值求解，屬于中檔題．
22．【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）由（1）可知g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，于是有，結(jié)合0＜m＜n，求解即可；
（3）由題意可得，進(jìn)而得h（x）＝，即可求得h（x）的值域．
【解答】解：（1）因?yàn)間（x）為R上的奇函數(shù)，則g（0）＝0，
設(shè)x∈（﹣∞，0），則﹣x∈（0，+∞），g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣（x+3）＝﹣x﹣3．
所以g（x）＝；
（2）設(shè)0＜m＜n，由g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
可得，
即m，n是方程的兩個(gè)不等正根．
因?yàn)?＜m＜n，
所以解得，
所以g（x）在（0，+∞）內(nèi)的“保值區(qū)間”為[1，2]；
（3）設(shè)[m，n]為g（x）的一個(gè)“保值區(qū)間”，則，
∴m，n同號，
當(dāng)m＜n＜0時(shí)，同理可求g（x）在（﹣∞，0）內(nèi)的“保值區(qū)間”為[﹣2，﹣1]，
所以h（x）＝，
所以h（x）的值域是：[﹣2，﹣1]∪[1，2]．
【點(diǎn)評】本題屬于新概念題，考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，理解概念是關(guān)鍵，屬于中檔題．每戶每月用水量
水價(jià)
不超過15m3的部分
2.07元/m3
超過15m3但不超過22m3的部分
4.07元/m3
超過22m3的部分
6.07元/m3

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