長(zhǎng)沙市雅禮洋湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

總分：150分時(shí)量：120分鐘
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求）
1. 設(shè)集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求出集合，利用交集的定義得到結(jié)果.
【詳解】∵，，
∴.
故選：D.
2. 如圖，在平行四邊形中，E是的中點(diǎn)，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】.
故選：C
3. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果.
【詳解】由已知可得，因此，.
故選：C.
4. 命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，利用參數(shù)分離的方法求出使命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的的取值范圍，的取值范圍構(gòu)成的集合應(yīng)為正確選項(xiàng)的真子集，從而推出正確結(jié)果．
【詳解】命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題
根據(jù)選項(xiàng)滿(mǎn)足是的必要不充分條件只有，故答案選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的不等式恒成立問(wèn)題以及求一個(gè)命題的必要不充分條件．
5. 已知函數(shù)的圖像大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，排除C、D選項(xiàng)，根據(jù)時(shí)，，可排除B項(xiàng)，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，可得定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
可得，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以排除C、D選項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，，可排除B.
故選：A.
6. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)數(shù)指數(shù)混合類(lèi)型的比大小常見(jiàn)方法是找中間量，例如本題可以找到中間量，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>故選：B.
7. 已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，底面為等邊三角形，且其所在圓的面積為.若三棱錐的體積的最大值為，則球的半徑為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先計(jì)算出，再確定當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)體積最大，最大時(shí)的高是，而.則根據(jù)體積公式即可求出.
【詳解】如圖，所在圓即為的外接圓.
設(shè)圓的半徑為，則，解得.
因?yàn)闉榈冗吶切?，所?
由正弦定理可得，解得.
所以.
如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，三棱錐的體積最大，最大值為，此時(shí)平面，三棱錐的高最大，且有，解得.
在中，，解得.
故選:C.
8. 分別拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“至少有2枚正面朝上”，則與事件M相互獨(dú)立的是（）
A. 3枚硬幣都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的
C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上
【答案】B
【解析】
【分析】由已知運(yùn)用列舉法列出樣本空間，事件M、選項(xiàng)A、B、C、D的事件，再利用古典概率公式和檢驗(yàn)事件獨(dú)立性的概率公式逐一檢驗(yàn)可得選項(xiàng).
【詳解】解：樣本空間為{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，
而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，設(shè)“有正面朝上的，也有反面朝上的”，
對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè)事件{（正，正，正）}．
∴，，，
∴，事件A與M不相互獨(dú)立，故A不正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：設(shè)事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正）}．
∴，，，
∴，事件B與M相互獨(dú)立，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}．
∴，，，
∴，事件C與M不相互獨(dú)立，故C不正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}．
∴，，，
∴，事件D與M不相互獨(dú)立，故D不正確；
故選：B.
二、選擇題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 若a?b?c為實(shí)數(shù)，則下列命題不正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合各項(xiàng)的條件判斷各不等式的正誤即可.
【詳解】A：若，則，故不成立；
B：，在中兩邊同時(shí)乘以，得，若兩邊同時(shí)乘以b，得，故，成立；
C：在兩邊同時(shí)除以，可得，不成立；
D：令，，則有，，，不成立.
故選：ACD.
10. 已知平面向量，，則正確的有（）
A. 若，則
B. 若，則在方向上的投影向量是
C. 若與的夾角為銳角，則的取值范圍為
D. 若，的夾角為，則
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；
對(duì)于B：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得；
對(duì)于C：依題意可得且與不同向，即可得到不等式組，解得即可；
對(duì)于D：根據(jù)夾角公式得到方程，代入檢驗(yàn)即可；
【詳解】解：因?yàn)?，?br>對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；
對(duì)于B：若，則，解得，所以，
所以，所以，，所以在方向上的投影向量是，故B正確；
對(duì)于C：，若與的夾角為銳角，則且與不同向，
即且，解得且，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，的夾角為，則，（）
整理得，顯然當(dāng)時(shí)，上式不成立，故D錯(cuò)誤；
故選：AB
11. 從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從兩袋各摸出一個(gè)球，下列結(jié)論正確的是（）
A. 個(gè)球都是紅球的概率為B. 個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為
C. 至少有個(gè)紅球的概率為D. 個(gè)球不都是紅球的概率為
【答案】AB
【解析】
【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算出每個(gè)選項(xiàng)中事件的概率，由此可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，個(gè)球都是紅球的概率為，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，個(gè)球中恰有個(gè)紅球的概率為，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，至少有個(gè)紅球的概率為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，個(gè)球不都是紅球概率為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB.
12. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對(duì)角線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使平面
C. 線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使平面平面
D. 設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用等體積法判斷；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解
【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．
對(duì)于B, 如圖所示, 以為坐標(biāo)原點(diǎn), 為軸, 為軸, 為軸, 建立空間直角坐標(biāo)系, 則，, ，，，
所以，，，
設(shè)（），則
所以，
平面即
解之得
當(dāng)為線(xiàn)段上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，平面.故B正確
對(duì)于C，設(shè)平面的法向量
則，取
得
設(shè)平面的法向量 ,
則
取 , 得 ,
平面平面
設(shè) , 即 ,
解得，，不合題意
線(xiàn)段上不存在點(diǎn), 使平面//平面，故C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，平面的法向量為
則
因?yàn)?br>所以
所以的最大值為．故D正確．
故選：ABD
三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）
13. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由圖象知，三角函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)圖象及，寫(xiě)出單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】由圖象知：，，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
1、看圖定周期、特殊函數(shù)值：，.
2、結(jié)合圖象，由周期、對(duì)稱(chēng)軸寫(xiě)出增區(qū)間.
14. ，，且恒成立，則的最大值為_(kāi)_．
【答案】4
【解析】
【分析】將不等式變形分離出，不等式恒成立即大于等于右邊的最小值；由于，湊出兩個(gè)正數(shù)的積是常數(shù)，利用基本不等式求最值．
【詳解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案：4．
15. 根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬．將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：
①平均數(shù)；
②平均數(shù)且極差小于或等于3；
③平均數(shù)且標(biāo)準(zhǔn)差；
④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．
則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有________．（填序號(hào)）
【答案】②④
【解析】
【分析】舉反例判斷①③；采用反證法判斷②；利用眾數(shù)、極差的定義判斷④．
【詳解】解：對(duì)于①，舉反例：0，0，0，4，11，其平均數(shù)，但不符合題意，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，假設(shè)有數(shù)據(jù)大于或等于10，由極差小于或等于3，
得到此數(shù)據(jù)中最小值為，此時(shí)數(shù)據(jù)的平均數(shù)必然大于7，
與矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，此組數(shù)據(jù)全部小于10，符合題意，故②正確；
對(duì)于③，舉反例：1，1，1，1，11，平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差，
但不符合入冬指標(biāo)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，眾數(shù)為5，極差小于等于4，故最大數(shù)不超過(guò)9，故④正確．
故答案為：②④
16. 某景區(qū)為拓展旅游業(yè)務(wù)，擬建一個(gè)觀景臺(tái)如圖所示，其中，為兩條公路，，，為公路上的兩個(gè)景點(diǎn)，測(cè)得，，為了獲得最佳觀景效果，要求對(duì)的視角現(xiàn)需要從觀景臺(tái)到，建造兩條觀光路線(xiàn)，，且要求觀光路線(xiàn)最長(zhǎng).若建造觀光路線(xiàn)的寬為米，每平方造價(jià)為元，則該景區(qū)預(yù)算需投入___萬(wàn)元可完成改造
【答案】
【解析】
【分析】先用余弦定理求出MN，設(shè)，用正弦定理表示出,利用三角函數(shù)求出最大值，即可得到預(yù)算投入.
【詳解】在中，由余弦定理得：
，
解得（千米）；
設(shè)，，，
在中，由正弦定理，得，
，
，，
又因?yàn)椋?br>所以
所以，
即觀光線(xiàn)路長(zhǎng)的最大值為，
該景區(qū)預(yù)算需投入元萬(wàn)元．
故答案為：265.
四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知圓柱高為4，母線(xiàn)與側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)成角，求該圓柱的體積.
【答案】
【解析】
【分析】利用母線(xiàn)與側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)成角，求出圓柱的底面半徑，再根據(jù)圓柱的體積公式可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，
依題意，即，
所以該圓柱的體積為：.
18. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求B大小；
（2）若，求的面積．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦函數(shù)公式，化簡(jiǎn)得，求得，即可求解；
（2）由余弦定理可得，結(jié)合，求得，利用三角形的面積公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又，
所以，
因?yàn)?，則，所以，
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)?，?br>由余弦定理可得，整理得，
又，解得，
所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
19. 已知函數(shù).
（1）求最小正周期和最小值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），最小值
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而可求最小值和周期，（2）由二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，
的最小正周期為．
令,則（）時(shí)，有最小值．
【小問(wèn)2詳解】
由得，
所以，
所以．
20. 書(shū)籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書(shū)日．某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
（1）求；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100位年輕人每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）
（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率．
【答案】（1）；（2）74；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用小矩形的面積之和等于即可求解.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，由小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)與小矩形面積乘積之和即可求解.
（3）根據(jù)頻率分布直方圖得出頻率比，從中任選2人列出基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.
【詳解】解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：
（2）根據(jù)頻率分布直方圖得：
，
（3）由于，和的頻率之比為：1∶2∶2，
故抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，
記的1人為，的2人為，，的2人為，
故隨機(jī)抽取2人共有，，，，，，
，，，10種，
其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的包含7種，
故概率．
21. 如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，
因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面
【小問(wèn)2詳解】
解：過(guò)點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，所以?br>又，所以，則，，
所以，所以，，，，
所以，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以；
所以.
設(shè)二面角的大小為，則，
所以，即二面角的正弦值為.

22. 已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)，的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，記 .探究是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）
【解析】
【分析】(1)已知，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，解方程組即可得函數(shù)解析式；（2）由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，利用對(duì)稱(chēng)性可得，然后利用恒成立問(wèn)題解即可.
【詳解】（1），
函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，
，
，.
（2）易知為奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，
函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
即對(duì)任意的，成立.
，
.
兩式相加，得

.
即.
.
，即.
.
，
恒成立.
令，.
則在上單調(diào)遞增.
在上單調(diào)遞增.
.
又已知，.
【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式，考查由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性求值問(wèn)題，考查恒成立問(wèn)題的解法，屬于中檔題.

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