一、選擇題：本題共10小題．
1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式的定義．解題的關(guān)鍵是掌握形如的式子叫做二次根式．根據(jù)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可得．
【詳解】解：A． 當(dāng)時(shí)，是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．為負(fù)數(shù)，則無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
D． 當(dāng)時(shí)，是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
2. 下列命題為假命題的是（ ）
A. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形B. 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
C. 對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形D. 一個(gè)角是直角的四邊形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到答案．
【詳解】解：A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；原說(shuō)法正確，不符合題意；
B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；原說(shuō)法正確，不符合題意；
C．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，原說(shuō)法正確，不符合題意；
D．一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定；熟練掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
3. 如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AB=AC，則∠ADB度數(shù)是（）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=BC,由AB=AC,進(jìn)一步可得三角形ABC為等邊三角形,即∠ADC=∠ABC=60°,進(jìn)而得到∠ADB=30°.
【詳解】解:∵菱形ABCD中
∴AB=BC
又∵AB=AC
∴得三角形ABC為等邊三角形
∴∠ADC=∠ABC=60°
∴∠ADB=30°
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，判定三角形ABC為等邊三角形以及菱形對(duì)角線平分對(duì)角是解答本題的關(guān)鍵．
4. 如圖，在ABCD中，DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的平分線，添加一個(gè)條件，仍無(wú)法判斷四邊形BFDE為菱形的是（ ）
A. ∠A=60?B. DE=DFC. EF⊥BDD. BD 是∠EDF的平分線
【答案】A
【解析】
【分析】先證明四邊形BFDE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可．
【詳解】由題意知：四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，ABCD
又∵DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的平分線，
∴∠ADE=∠FBC，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF，DE=BF
又∵AB=CD，ABCD ，AE=CF
∴DF=BE，DFBE、
∴四邊形BFDE是平行四邊形．
A、∵AB//CD，
∴∠AED=∠EDC，
又∵∠ADE=∠EDC，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
又∵∠A=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE=DE，
無(wú)法判斷平行四邊形BFDE菱形，符合題意．
B、∵DE=DF，
∴平行四邊形BFDE是菱形，不符合題意．
C、∵EF⊥BD，
∴平行四邊形BFDE是菱形，不符合題意．
D、∵BD 是∠EDF的平分線，
∴∠EDB=∠FDB，
又∵DF//BE，
∴∠FDB=∠EBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB，
∴平行四邊形BFDE是菱形，不符合題意．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，正確掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
5. 已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)，及二次根式性質(zhì)原式化簡(jiǎn)得到答案．
【詳解】解：∵，
∴同號(hào)，
∵，且，
∴，
∴，
∴．
故選：D
6. 若代數(shù)式有意義，則必須滿足條件（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依題意，依據(jù)分式有意義分母不為零、根式大于等于零，即可；
【詳解】由題知，代數(shù)式有意義，∴ 且；∴且；
∴ ；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查分式、二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵在二者結(jié)合進(jìn)行解決問(wèn)題；
7. 如果，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】解：可知：，
所以，
解得，
故選：B．
8. 如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，則∠BDE的度數(shù)為（ ）
A. 36°B. 30°C. 27°D. 18°
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件可得以及的度數(shù)，然后求出各角的度數(shù)便可求出．
【詳解】解：在矩形ABCD中，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用各個(gè)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9. 用※定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m和n，規(guī)定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．則（－2）※結(jié)果為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)新定義列出式子，進(jìn)而進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可．
【詳解】解：∵m※n＝m2n－mn－3n，
∴（－2）※
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，二次根式的加減運(yùn)算，理解新定義并列出式子是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別為邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線，，且，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接，若，下列結(jié)論：①；②四邊形是矩形；③；④，正確的有（ ）
A. ①②③④B. ①②C. ①③D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及三角形的面積公式．熟練掌握平行四邊形和矩形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
①證明四邊形是平行四邊形即可；②根據(jù)且可證四邊形是平行四邊形，結(jié)合可證四邊形是矩形；③連接，若，可證，顯然不一定成立；④先證明，然后結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
，
∵、分別為邊、的中點(diǎn)，
，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，故①正確；
∵且，
∴四邊形是平行四邊形，
，
∴四邊形是矩形，故②正確；
連接，
∵四邊形是矩形，
∴過(guò)點(diǎn)．
若，則，顯然與不相等，故③不正確；
∵四邊形是平行四邊形，
又∵為邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，故④正確．
綜上可知，正確的有①②④，
故選：D．
二、填空題：本題共8小題．
11. 在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有________________（填寫(xiě)序號(hào)）．
【答案】①③④⑥
【解析】
【分析】形如這樣的式子稱為二次根式，根據(jù)這個(gè)定義去判斷即可．
【詳解】解：中被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式；
故答案為：①③④⑥．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的識(shí)別，掌握二次根式的概念、立方根的概念是解題的關(guān)鍵．
12. 化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)_________
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：由題意可知,
∴．
故答案為：．
13. 若最簡(jiǎn)根式與是同類(lèi)二次根式，則_____．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)同類(lèi)根式及最簡(jiǎn)二次根式的定義列方程求解．
【詳解】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類(lèi)二次根式，
∴，
解得，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】此題考查的是同類(lèi)二次根式與最簡(jiǎn)二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．
14. 如圖，邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)為6，菱形的面積為_(kāi)_____．
【答案】24
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直且互相平分可得出對(duì)角線BD的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)對(duì)角線乘積的一半可得出菱形的面積．
【詳解】解：在菱形ABCD中，
由題意得：B0==4，
∴BD=8，
故可得菱形ABCD的面積為×8×6=24．
故答案為24．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形面積的計(jì)算，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了菱形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)．
15. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)B在y軸上，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，菱形的性質(zhì)，勾股定理．連接交于點(diǎn)D，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，可證明是等邊三角形，可得，再由勾股定理可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)D，
∵菱形的邊長(zhǎng)為2，
∴，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)By軸上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
故答案為：．
16. 如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為_(kāi)__．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)為O，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，計(jì)算AO=3，OB=4，根據(jù)菱形的面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半計(jì)算即可．
【詳解】如圖，設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)為O，
∵菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，OB=BD==4，
∴BD=8，
根據(jù)菱形的面積公式，得 AB×DE=AC×BD，
∴5×DE=×6×8，
∴DE=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積，熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)，面積公式，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
17. 已知，化簡(jiǎn)：_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)直接計(jì)算即可．
【詳解】；
因?yàn)?，所以?br>即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是牢記公式．
18. 如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長(zhǎng)是_____．
【答案】
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長(zhǎng)線于E，先判斷出四邊形DPBE是矩形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角邊”證明△ADP和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DP，然后判斷出四邊形DPBE是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式解答即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長(zhǎng)線于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四邊形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
∠ADP=∠CDE，∠APD=∠E，AD=CD，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四邊形ABCD的面積=四邊形DPBE的面積=18，
∴矩形DPBE正方形，
∴DP=．
故答案為3．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和正方形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：本題共4小題．
19. （1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)乘法公式計(jì)算，再算加減；
（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，并把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法法則計(jì)算；
（3）根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可；
（4）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值、零指數(shù)冪、乘方的意義化簡(jiǎn)，再算加減．
【詳解】解：（1）
（2）
．
（3）
（4）
20. 先化簡(jiǎn)，再求值：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣），其中a＝．
【答案】，．
【解析】
【分析】先利用乘法公式展開(kāi)，再合并得到原式=a-3，然后把a(bǔ)的值代入二次根式的混合運(yùn)算即可．
【詳解】解：（a﹣）（a+）﹣a（a﹣）
，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．
21. 如圖所示，點(diǎn)O是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，連接，交于F．
（1）求證：四邊形為矩形；
（2）如果，求菱形的面積．
【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）菱形ABCD的面積為16
【解析】
【分析】（1）由題意易得AC⊥BD，四邊形OBEC是平行四邊形，進(jìn)而問(wèn)題可求證；
（2）由（1）及題意可得，設(shè)，然后根據(jù)勾股定理可列出方程求得OC=2，OB=4，則有AC=4，BD=8，進(jìn)而問(wèn)題可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形菱形，
∴AC⊥BD，即∠COB=90°，
∵，，
∴四邊形OBEC是平行四邊形，
∴四邊形OBEC是矩形；
（2）解：由（1）可得四邊形OBEC是矩形，
∵，
∴，
設(shè)，則在Rt△COB中，由勾股定理可得：
，
解得：（負(fù)根舍去），
∴OC=2，OB=4，
∵四邊形是菱形，
∴AC=4，BD=8，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
22. 把二次根式與分別化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同．
（1）如果a是正整數(shù)，那么符合條件的a的值有哪些？
（2）如果a是整數(shù)，那么符合條件的a的值有多少個(gè)？最大值為多少？有沒(méi)有最小值？
【答案】（1）符合條件的正整數(shù)的值為5，15，21
（2）如果是整數(shù)，那么符合條件的有無(wú)數(shù)個(gè)．其中的最大值為21，沒(méi)有最小值．
【解析】
【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的意義及同類(lèi)二次根式的意義，根據(jù)本題的特點(diǎn)，當(dāng)a為正整數(shù)時(shí)，a的取值是有限的，當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，a的取值是無(wú)限的，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
（1）由于a是正整數(shù)，所以可得此時(shí)的情況有，，三種；
（2）當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，除了（1）中的三種情況，還可以列出無(wú)數(shù)種，所以此時(shí)a值有無(wú)數(shù)個(gè)，沒(méi)有最小值，最大值是21．
【小問(wèn)1詳解】
，且與的被開(kāi)方數(shù)相同，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）．
符合條件的正整數(shù)的值為5，15，21．
【小問(wèn)2詳解】
由（1），得當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
……
如果是整數(shù)，那么符合條件的有無(wú)數(shù)個(gè)．
其中的最大值為21，沒(méi)有最小值．

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