1.平面的性質(zhì)及推論
三個推論:推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面(圖1).推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面(圖2).推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面(圖3).
2.基本事實4與等角定理(1)基本事實4(平行的傳遞性):
(2)等角定理:如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.
3.空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系①平行(在一個平面內(nèi),且沒有公共點);②相交(在一個平面內(nèi),有一個公共點);③異面(不在任意一個平面內(nèi),沒有公共點).直線與直線平行和相交的情況統(tǒng)稱為共面.(2)空間中直線與平面的位置關(guān)系①直線在平面內(nèi)(有無數(shù)個公共點);②直線和平面相交(有且僅有一個公共點);③直線和平面平行(沒有公共點).直線和平面相交和平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外.(3)空間中平面和平面的位置關(guān)系①兩個平面平行(沒有公共點);②兩個平面相交(有一條公共直線).
4.直線和平面平行的判定與性質(zhì)(1)線面平行的判定定理
(2)線面平行的性質(zhì)定理
5.平面與平面平行的判定與性質(zhì)(1)面面平行的判定定理
(2)面面平行的性質(zhì)定理
平面基本性質(zhì)及應(yīng)用例1(1)(2020年1月浙江學考)已知直線l和平面α,若l∥α,P∈α,則過點P且平行于l的直線(　　)A.只有一條,不在平面α內(nèi)B.只有一條,且在平面α內(nèi)C.有無數(shù)條,一定在平面α內(nèi)D.有無數(shù)條,一定不在平面α內(nèi)(2)(2016年10月浙江學考)在空間中,下列命題正確的是(　　)A.經(jīng)過三個點有且只有一個平面B.經(jīng)過一個點和一條直線有且只有一個平面C.經(jīng)過一個點且與一條直線平行的平面有且只有一個D.經(jīng)過一個點且與一條直線垂直的平面有且只有一個
答案 (1)B　(2)D　解析 (1)假設(shè)過點P且平行于l的直線有兩條m與n,∴m∥l且n∥l,由基本事實4得m∥n,這與兩條直線m與n相交于點P相矛盾,故只有一條.過點P和直線l的平面設(shè)為β,由基本事實1可知β與α有交線,設(shè)為m,由線面平行的性質(zhì)定理可知,l∥m,m?α.故選B.(2)當三點在一條直線上時,經(jīng)過三個點有無數(shù)個平面,故A不正確;當點在直線上時,經(jīng)過一個點和一條直線的平面有無數(shù)個,故B不正確;當點不在直線上時,經(jīng)過該點且與這條直線平行的面有無數(shù)個,當點在直線上時,經(jīng)過該點與這條直線平行的面不存在,故C不正確;D項說法正確.故選D.
本題主要考查平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用.首先需要熟悉并理解基本事實,在應(yīng)用時可以舉反例或者用反證法考慮,排除錯誤答案,從而得到正確答案.
點、線、面的位置關(guān)系的判斷例2(1)(2019年1月浙江學考)若直線l不平行于平面α,且l?α,則下列結(jié)論成立的是(　　)A.α內(nèi)的所有直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)的直線與l都相交(2)(2015年1月浙江學考)在空間中,α,β表示平面,m表示直線,已知α∩β=l,則下列命題正確的是(　　)A.若m∥l,則m與α,β都平行B.若m與α,β都平行,則m∥lC.若m與l異面,則m與α,β都相交D.若m與α,β都相交,則m與l異面
(3)(2014年7月浙江學考)在空間中,設(shè)m,n是不同的直線,α,β是不同的平面,且m?α,n?β,則下列命題正確的是(　　)A.若m∥n,則α∥βB.若m,n異面,則α,β相交C.若m⊥n,則α⊥βD.若m,n相交,則α,β相交
答案 (1)B　(2)B　(3)D　解析 (1)由已知得,l與α相交,設(shè)l∩α=O,則α內(nèi)過點O的直線與l相交,故A不正確;不過O的直線與l異面,故D不正確;若α內(nèi)存在與l平行的直線,則l∥α或l在α內(nèi),這和l與α相交矛盾,不存在與l平行的直線,所以C不正確,B正確.故選B.(2)對于A,若m?α或m?β時不成立,故A不正確;對于B,由線面平行的性質(zhì)和判定可知,m∥l,故B正確;對于C,m可以與一個面相交,與另一個面平行,故C不正確;對于D,m與l可以異面,也可以相交,故D不正確.故選B.(3)對于A,α與β可以平行,也可以相交,故A不正確;B顯然不正確;對于C,α與β可以平行,故C不正確;對于D,由m,n相交可知α,β有公共點,由基本事實3可知α,β相交,故D正確.故選D.
判斷空間點、線、面位置關(guān)系時,首先要理清線與線,線與面,面與面的位置關(guān)系,判斷時,可以舉反例排除,或者用基本事實和定理證明.
直線與平面的平行關(guān)系◆角度1.線面平行的判斷例3(1)(2018年11月浙江學考)下列說法不正確的是(　　)A.垂直于同一直線的兩個平面平行B.垂直于同一平面的兩條直線平行C.平行于同一直線的兩條直線平行D.平行于同一平面的兩條直線平行(2)(2019年6月浙江學考)平面α與平面β平行的條件可以是(　　)A.α內(nèi)有無窮多條直線都與β平行B.直線a∥α,a∥βC.直線a?α,直線b?β,且a∥β,b∥αD.α內(nèi)的任何直線都與β平行
(3)(2019學年寧波九校高二上期末)設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列正確的是(　　)A.若l⊥m,m?α,則l⊥αB.若l⊥α,m⊥α,則l∥mC.若l∥m,m?α,則l∥αD.若l∥α,m∥α,則l∥m
答案 (1)D　(2)D　(3)B　解析 (1)A正確;B正確;C正確;對于D,平行于同一平面的兩條直線可能平行或相交或異面,故D不正確.故選D.(2)對于A,若α與β相交,在α內(nèi)存在無窮多條直線均平行于α與β的交線,故A不正確;B不正確;C不正確;對選項D,由α內(nèi)的任意直線都與β平行,可知對α內(nèi)某兩條相交直線m,n,也應(yīng)有m∥β,n∥β,由面面平行的判定定理可知,α∥β,故D正確.故選D.(3)對于A,根據(jù)線面垂直的判定定理可知,要使直線l⊥α,則必須有l(wèi)垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線,故A不正確;B正確;對于C,若l∥m,m?α,則l有可能在平面α內(nèi),從而C不正確;對于D,若l∥α,m∥α,則l,m也有可能是異面或相交,從而D不正確.故選B.
在判斷空間中平行關(guān)系時,可用基本事實4和定理去說明,舉反例時,有時在正方體內(nèi)舉反例說明更加方便.
◆角度2.平行的證明例4如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,且2AB=CD,AB∥CD,E為PC中點,求證:BE∥平面PAD.
證明 方法一:取PD中點F,連接EF,AF,∵E為PC中點,∴EF∥CD,且EF= CD,∵底面ABCD為梯形,且2AB=CD,AB∥CD.∴EF∥AB,且EF=AB,∴四邊形ABEF是平行四邊形,∴BE∥AF,∵BE?平面PAD,且AF?平面PAD,∴BE∥平面PAD.
方法二:延長CB,DA交于點Q,連接PQ,∵底面ABCD為梯形,且2AB=CD,AB∥CD.∴B為QC中點,∵E為PC中點,∴BE∥PQ,∵BE?平面PDQ,且PQ?平面PDQ,∴BE∥平面PDQ,即BE∥平面PAD.
方法三:取CD中點M,連接ME,MB,∵E為PC中點,∴EM∥PD,∵EM?平面PAD,且PD?平面PAD,∴EM∥平面PAD,∵底面ABCD為梯形,且2AB=CD,AB∥CD,∴BM∥AD,同理可證:BM∥平面PAD,∵EM?平面BEM,BM?平面BEM,且EM∩BM=M,∴平面BEM∥平面PAD,∵BE?平面BEM,∴BE∥平面PAD.

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