1．（3分）第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2月20日在中國北京市和張家口市聯(lián)合舉辦．以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3﹣a2＝aB．（a2）3＝a5C．a(chǎn)6÷a2＝a3D．a(chǎn)2?a3＝a5
3．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mbB．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3D．
4．（3分）如果（2x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，那么m的值為（ ）
A．﹣6B．﹣3C．0D．1
5．（3分）如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是（ ）
A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
6．（3分）要使16x2﹣bx+1成為完全平方式，那么常數(shù)b的值是（ ）
A．4B．﹣8C．±4D．±8
7．（3分）如圖，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，連接BE，則∠BEC的大小為（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
8．（3分）如圖，AD是等邊△ABC的一條中線，若在邊AC上取一點E，使得AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
9．（3分）平面直角坐標系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐標軸上取C點，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（ ）
A．4B．6C．7D．8
10．（3分）如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．無數(shù)個
二、填空題（每題2分，共16分）
11．（2分）當 x≠4時，（x﹣4）0等于 ．
12．（2分）若等腰三角形中有一個角等于40°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為 ．
13．（2分）已知xm＝6，xn＝3，則x2m﹣n的值為 ．
14．（2分）若a2+b2＝19，ab＝5，則a﹣b＝ ．
15．（2分）如圖，從邊長為a的大正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個長方形，這個操作過程能驗證的等式是 ．
16．（2分）如圖，點P為∠AOB內(nèi)任一點，E，F(xiàn)分別為點P關(guān)于OA，OB的對稱點．若∠AOB＝30°，則∠E+∠F＝ °．
17．（2分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠ABC＝∠C．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 °．
18．（2分）如圖，在等邊△ABC中，D為AC邊的中點，E為BC邊的延長線上一點，CE＝CD，DM⊥BC于點M．下列結(jié)論正確的有 ．（把所有正確的序號寫在橫線上）
①
②BM＝EM
③2CD＝3DM
④BM＝3CM
三、解答題（共54分）
19．（6分）因式分解；
（1）ax2+2a2x+a3；
（2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）．
20．（4分）計解：．
21．（4分）計算：[7m?m4﹣（﹣3m2）2]÷2m2．
22．（5分）已知4a2+2b2﹣1＝0，求代數(shù)式（2a+b）2﹣b（4a﹣b）+2的值．
23．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l是第一、三象限的角平分線．已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（3，0），B（5，3），C（6，1）．
（1）若△ABC與△A'B'C'關(guān)于y軸對稱，畫出△A'B'C'；
（2）若直線l上存在點P，使AP+BP最小，則點P的坐標為 ，AP+BP的最小值為 ．
24．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）畫圖：
①作AB的垂直平分線，分別與AB交于點D，與BC交于點E；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
②連接AE；
③過點B作BF垂直AE，垂足為F．
（2）求證：AC＝BF．
25．（6分）如圖，AE是△ACD的角平分線，B在DA延長線上，AE∥BC，F(xiàn)為BC中點，判斷AE與AF的位置關(guān)系并證明．
26．（6分）老師在黑板上寫出了一道思考題：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）愛思考的小明同學想到了一種方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ +b2；
再進行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ ）2+ ；
根據(jù)完全平方式的非負性，就得到了a2+b2的最小值是 ．
（2）請你根據(jù)小明的方法，當x+y＝10時，求x2+y2的最小值．
27．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點D在線段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．
（1）當C，D兩點重合時（如圖1）
直接寫出∠EBF＝ °；
直接寫出線段BE與FD之間的數(shù)量關(guān)系 ；
（2）當C，D不重合時（如圖2），寫出線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
28．（7分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點M（0，m），且平行于x軸的直線記作直線y＝m．我們給出如下定義：點P（x，y）先關(guān)于x軸對稱得到點P1，再將點P1關(guān)于直線y＝m對稱得到點P'，則稱點P'稱為點P關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點．
（1）點A（5，3）關(guān)于x軸和直線y＝1的二次反射點A'的坐標是 ；
（2）點B（2，﹣1）關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點B'的坐標是（2，﹣5），m＝ ；
（3）若點C的坐標是（0，m），其中m＞0，點C關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點是C'，求線段CC'的長（用含m的式子表示）；
（4）如圖，正方形的四個頂點坐標分別為（0，0）、（2，0）、（2，2）、（0，2），若點P（1，4），Q（1，5）關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點分別為P'，Q'，且線段P'Q'與正方形的邊沒有公共點，直接寫出m的取值范圍．
2021-2022學年北京二中教育集團八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（以下每題只有一個正確的選項，每小題3分，共30分）
1．（3分）第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月4日至2月20日在中國北京市和張家口市聯(lián)合舉辦．以下是參選的冬奧會會徽設計的部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：選項A、C、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
選項B能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，
故選：B．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)3﹣a2＝aB．（a2）3＝a5C．a(chǎn)6÷a2＝a3D．a(chǎn)2?a3＝a5
【分析】根據(jù)整式的運算法則即可求出答案．
【解答】解：（A）a3與a2不是同類項，不能合并，故A錯誤．
（B）原式＝a6，故B錯誤．
（C）原式＝a4，故C錯誤．
故選：D．
【點評】本題考查整式運算，解題的關(guān)鍵是熟練整式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
3．（3分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A．m（a+b）＝ma+mbB．x2+3x+2＝（x+1）（x+2）
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3D．
【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．
【解答】解：A．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
B．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項符合題意；
C．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
D．等式的右邊是一個整式和一個分式的積，即從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．
4．（3分）如果（2x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，那么m的值為（ ）
A．﹣6B．﹣3C．0D．1
【分析】先根據(jù)多項式乘多項式進行計算，再合并同類項，根據(jù)乘積不含x的一次項得出6+m＝0，再求出m即可．
【解答】解：（2x+m）（x+3）
＝2x2+6x+mx+3m
＝2x2+（6+m）x+3m，
∵（2x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，
∴6+m＝0，
解得：m＝﹣6，
故選：A．
【點評】本題考查了多項式乘多項式，能正確根據(jù)多項式乘多項式法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，點P是直線MN上的點，下列判斷錯誤的是（ ）
A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
【分析】根據(jù)直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，得到點A與點B對應，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵直線MN是四邊形AMBN的對稱軸，
∴點A與點B對應，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵點P時直線MN上的點，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，C，D正確，B錯誤，
故選：B．
【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）要使16x2﹣bx+1成為完全平方式，那么常數(shù)b的值是（ ）
A．4B．﹣8C．±4D．±8
【分析】先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定b的值．
【解答】解：16x2﹣bx+1＝（4x）2﹣bx+1，
∴bx＝±2×4x×1，
解得b＝±8．
故選：D．
【點評】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．
7．（3分）如圖，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，連接BE，則∠BEC的大小為（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBA＝∠A＝40°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故選：C．
【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，AD是等邊△ABC的一條中線，若在邊AC上取一點E，使得AE＝AD，則∠EDC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．20°C．25°D．15°
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，∠CAD＝30°，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解∠ADE的度數(shù)，進而可求解．
【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等邊△ABC的一條中線，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故選：D．
【點評】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，求解∠ADE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）平面直角坐標系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐標軸上取C點，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)是（ ）
A．4B．6C．7D．8
【分析】分為AB＝AC、BC＝BA，CB＝CA三種情況畫圖判斷即可．
【解答】解：如圖所示：
當AB＝AC時，符合條件的點有3個；
當BA＝BC時，符合條件的點有3個；
當點C在AB的垂直平分線上時，符合條件的點有一個．
故符合條件的點C共有7個．
故選：C．
【點評】本題主要考查的是等腰三角形的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2．若點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．無數(shù)個
【分析】如圖在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°，只要證明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等邊三角形，由此即可得結(jié)論
【解答】解：如圖在OA、OB上截取OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP＝∠POF＝60°，
∵OP＝OE＝OF，
∴△OPE，△OPF是等邊三角形，
∴EP＝OP，∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，
∴∠EPM＝∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON（ASA）．
∴PM＝PN，∵∠MPN＝60°，
∴△PNM是等邊三角形，
∴只要∠MPN＝60°，△PMN就是等邊三角形，
故這樣的三角形有無數(shù)個．
故選：D．
【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．
二、填空題（每題2分，共16分）
11．（2分）當 x≠4時，（x﹣4）0等于 1 ．
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的定義：a0＝1（a≠0），求解即可．
【解答】解：∵x≠4，
∴x﹣4≠0，
∴（x﹣4）0＝1．
故答案是：1．
【點評】本題考查了零指數(shù)冪，掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2分）若等腰三角形中有一個角等于40°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為 40°或100° ．
【分析】由等腰三角形中有一個角等于40°，可分別從①若40°為頂角與②若40°為底角去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形中有一個角等于40°，
∴①若40°為頂角，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為40°；
②若40°為底角，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為：180°﹣40°×2＝100°．
∴這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為：40°或100°．
故答案為：40°或100°．
【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握等邊對等角的知識，掌握分類討論思想的應用．
13．（2分）已知xm＝6，xn＝3，則x2m﹣n的值為 12 ．
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減，進行運算即可．
【解答】解：x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝36÷3＝12．
故答案為：12．
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法運算及冪的乘方的知識，屬于基礎(chǔ)題，掌握各部分的運算法則是關(guān)鍵．
14．（2分）若a2+b2＝19，ab＝5，則a﹣b＝ ±3 ．
【分析】根據(jù)完全平方公式先求得（a﹣b）2的值，然后根據(jù)平方根的概念進行計算求解．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，且a2+b2＝19，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝19﹣2×5＝19﹣10＝9，
∴a﹣b＝±3，
故答案為：±3．
【點評】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，從邊長為a的大正方形中去掉一個邊長為b的小正方形，然后將剩余部分剪后拼成一個長方形，這個操作過程能驗證的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【分析】首先分別求出甲乙兩圖陰影部分的面積，然后根據(jù)面積相等可直接求得等式．
【解答】解：∵S甲＝（a2﹣b2），S乙＝（a+b）（a﹣b）
又∵S甲＝S乙
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【點評】本題考查的重點是平方差公式的幾何背景，運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平方差公式做出幾何解釋．
16．（2分）如圖，點P為∠AOB內(nèi)任一點，E，F(xiàn)分別為點P關(guān)于OA，OB的對稱點．若∠AOB＝30°，則∠E+∠F＝ 150 °．
【分析】連接OP，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：連接OP，
∵E，F(xiàn)分別為點P關(guān)于OA，OB的對稱點，
∴∠EOA＝∠AOP，∠POB＝∠BOF，
∵∠AOB＝∠AOP+∠POB，
∴∠EOF＝2∠AOB＝60°，
∵E，F(xiàn)分別為點P關(guān)于OA，OB的對稱點，
∴PE⊥OA，PF⊥OB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠EPF＝150°，
∴∠E+∠F＝360°﹣60°﹣150°＝150°，
故答案為：150．
【點評】此題考查軸對稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱中對應角相等．
17．（2分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠ABC＝∠C．將紙片沿過點B的直線折疊，使點C落到AB邊上的E點處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點E的直線折疊，點A恰好與點D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 72 °．
【分析】先設∠ABC＝∠C＝2α，然后用含有α的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，進而得到∠AED，最后利用三角形的外角性質(zhì)列出方程求得α，即可求得∠ABC的大小．
【解答】解：設∠ABC＝∠C＝2α，則∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4α，
由折疊得，∠BED＝∠C＝2α，∠ADE＝∠A＝180°﹣4α，
∵∠BED是△AED的外角，
∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2α＝180°﹣4α+180°﹣4α，
解得：α＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案為：72．
【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會利用折疊的性質(zhì)將其他角的度數(shù)用代數(shù)式表示．
18．（2分）如圖，在等邊△ABC中，D為AC邊的中點，E為BC邊的延長線上一點，CE＝CD，DM⊥BC于點M．下列結(jié)論正確的有 ①②④ ．（把所有正確的序號寫在橫線上）
①
②BM＝EM
③2CD＝3DM
④BM＝3CM
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠ABC＝60°，求得∠E＝∠ACB＝30°，連接BD，得到∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DM⊥BC，求得BM＝EM，故B正確；于是得到CM＝CD＝CE，故C正確；故D錯誤，BM＝3CM，故A正確；
【解答】解：∵三角形ABC是等邊△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°，
∴DM＝DE，故①正確，
連接BD，
∵等邊△ABC中，D是AC的中點，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴DB＝DE，
又∵DM⊥BC，
∴BM＝EM，故②正確；
∵＝sin60°，
∴＝，故③錯誤，
∵CM＝CD＝CE，
∴ME＝3CM，
∴BM＝3CM，故④正確；
故答案為：①②④．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共54分）
19．（6分）因式分解；
（1）ax2+2a2x+a3；
（2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）．
【分析】（1）直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式（a﹣b），進而分解因式即可．
【解答】解：（1）ax2+2a2x+a3
＝a（x2+2ax+a2）
＝a（x+a）2；
（2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）
＝（a﹣b）（x﹣y+x+y）
＝2x（a﹣b）．
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
20．（4分）計解：．
【分析】把原式化為（60﹣）×（60+），然后根據(jù)平方差公式計算即可．
【解答】解：原式＝（60﹣）×（60+）
＝602﹣（）2
＝3600﹣
＝3599．
【點評】此題考查的是平方差公式，掌握平方差公式的公式結(jié)構(gòu)是解決此題關(guān)鍵．
21．（4分）計算：[7m?m4﹣（﹣3m2）2]÷2m2．
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方和積的乘方，整式的除法計算即可．
【解答】解：原式＝（7m5﹣9m4）÷2m2
＝7m5÷2m2﹣9m4÷2m2
＝m3﹣m2．
【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方和積的乘方，整式的除法，掌握（ab）n＝anbn是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）已知4a2+2b2﹣1＝0，求代數(shù)式（2a+b）2﹣b（4a﹣b）+2的值．
【分析】先化簡代數(shù)式，再根據(jù)化簡結(jié)果整體代入可得答案．
【解答】解：原式＝4a2+4ab+b2﹣4ab+b2+2＝4a2+2b2+2．
由4a2+2b2﹣1＝0可得4a2+2b2＝1，
∴4a2+2b2+2＝1+2＝3．
【點評】本題考查整式的混合運算，應用整體代入是解題關(guān)鍵．
23．（5分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l是第一、三象限的角平分線．已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（3，0），B（5，3），C（6，1）．
（1）若△ABC與△A'B'C'關(guān)于y軸對稱，畫出△A'B'C'；
（2）若直線l上存在點P，使AP+BP最小，則點P的坐標為 （3，3） ，AP+BP的最小值為 5 ．
【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A′，B′，C′即可；
（2）作點B關(guān)于直線l的對稱點B″，連接AB″交直線l于點P，連接PB，此時PA+PB的值最小，最小值為線段AB″的長．
【解答】解：（1）如圖，△A'B'C'即為所求；
（2）如圖，點P即為所求．P（3，3），最小值為5，
故答案為：（3，3），5．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
24．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．
（1）畫圖：
①作AB的垂直平分線，分別與AB交于點D，與BC交于點E；（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）
②連接AE；
③過點B作BF垂直AE，垂足為F．
（2）求證：AC＝BF．
【分析】（1）利用基本作圖作出AB的垂直平分線，然后連接AE，過B點作AE的垂線即可；
（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，然后證明△ACE≌△BFE，從而得到AC＝BF．
【解答】（1）解：如圖，DE為所作；
如圖，BF為所作；
（2）證明：∵ED垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵BF⊥AE，
∴∠BFE＝90°，
在△ACE和△BFE中，
，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴AC＝BF．
【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．
25．（6分）如圖，AE是△ACD的角平分線，B在DA延長線上，AE∥BC，F(xiàn)為BC中點，判斷AE與AF的位置關(guān)系并證明．
【分析】結(jié)論：AE與AF的位置關(guān)系是垂直．想辦法證明∠CAF+∠CAE＝90°即可．
【解答】解：結(jié)論：AE與AF的位置關(guān)系是垂直．
證明：∵AE是△ACD的角平分線，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
又∵F為BC中點，
∴，
∵∠CAB+∠CAD＝180°，
∴∠CAF+∠CAE＝90°，
∴AE⊥AF．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
26．（6分）老師在黑板上寫出了一道思考題：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）愛思考的小明同學想到了一種方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ （2﹣b）2 +b2；
再進行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ 1 ）2+ 2 ；
根據(jù)完全平方式的非負性，就得到了a2+b2的最小值是 2 ．
（2）請你根據(jù)小明的方法，當x+y＝10時，求x2+y2的最小值．
【分析】（1）根據(jù)小明的思路得到關(guān)于b的代數(shù)式，根據(jù)平方的非負性即可求得最小值；
（2）根據(jù)小明的思路得到關(guān)于x的代數(shù)式，根據(jù)平方的非負性即可求得最小值．
【解答】解：（1）∵a+b＝2，
∴a＝2﹣b；
代入a2+b2得到：
a2+b2
＝（2﹣b）2+b2
＝4﹣4b+b2+b2
＝2b2﹣4b+4
＝2（b﹣1）2+2；
根據(jù)完全平方式的非負性，就得到了a2+b2的最小值是2；
故答案為：（2﹣b）2，1，2，2；
（2）∵x+y＝10，
∴y＝10﹣x；
∴x2+y2
＝x2+（10﹣x）2
＝2x2﹣20x+100
＝2（x﹣5）2+50；
根據(jù)完全平方式的非負性，就得到了x2+y2的最小值是50．
根據(jù)小明的方法，當x+y＝10時，x2+y2的最小值是50．
【點評】本題考查了配方法的應用和完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
27．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點D在線段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．
（1）當C，D兩點重合時（如圖1）
直接寫出∠EBF＝ 22.5 °；
直接寫出線段BE與FD之間的數(shù)量關(guān)系 BE＝DF ；
（2）當C，D不重合時（如圖2），寫出線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）作DG∥AC交BE的延長線于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠C＝45°，根據(jù)題意求出∠EDB，計算即可；
（2）如圖2，過點D作DG∥CA，與BE的延長線相交于點G，與AB相交于點H，得到∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝GE＝GB，求得HB＝HD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GB＝FD，于是得到結(jié)論
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠EDB＝∠ACB＝22.5°，
又BE⊥DE，
∴∠EBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠EBF＝67.5°﹣45°＝22.5°，
延長BE，CA交于G，
∵∠EDB＝∠ACB，
∴CE平分∠ACB，
∴∠GCE＝∠BCE，
∵BE⊥DE，
∴∠BEC＝∠CEG＝90°，
在△BCE與△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴BE＝EG＝BG，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，∠BFE＝∠AFC，
∴∠ABG＝∠ACF，
在△ABG與△ACF中，
，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG＝CF，
∴BE＝DF；
故答案為：BE＝DF；
故答案為：22.5，BE＝DF；
（2）結(jié)論：BE＝FD，
證明：如圖2，過點D作DG∥CA，與BE的延長線相交于點G，與AB相交于點H，
則∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，
∵∠EDB＝∠C＝∠GDB＝∠EDG，
又DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°，
∴△DEB≌△DEG（ASA），
∴BE＝GE＝GB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠GDB，
∴HB＝HD，
∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，
∴∠EBF＝∠HDF，
∴△GBH≌△FDH（ASA），
∴GB＝FD，
∴BE＝FD．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
28．（7分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點M（0，m），且平行于x軸的直線記作直線y＝m．我們給出如下定義：點P（x，y）先關(guān)于x軸對稱得到點P1，再將點P1關(guān)于直線y＝m對稱得到點P'，則稱點P'稱為點P關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點．
（1）點A（5，3）關(guān)于x軸和直線y＝1的二次反射點A'的坐標是 （5，5） ；
（2）點B（2，﹣1）關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點B'的坐標是（2，﹣5），m＝ ﹣2 ；
（3）若點C的坐標是（0，m），其中m＞0，點C關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點是C'，求線段CC'的長（用含m的式子表示）；
（4）如圖，正方形的四個頂點坐標分別為（0，0）、（2，0）、（2，2）、（0，2），若點P（1，4），Q（1，5）關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點分別為P'，Q'，且線段P'Q'與正方形的邊沒有公共點，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)二次反射點的定義直接得出答案；
（2）根據(jù)二次反射點的定義得出B′（2，2m﹣1），則2m﹣1＝﹣5，由此可得m的值；
（3）根據(jù)二次反射點的定義得出C′（0，m），則可得出答案；
（4）根據(jù)二次反射點的定義得出P'（1，2m+4），Q'（1，2m+5），由題意分兩種情況列出不等式組，解不等式組可得出答案．
【解答】解：（1）∵點A（5，3），
∴點A關(guān)于x軸對稱得到點A1（5，﹣3），
∴點A1關(guān)于直線y＝m對稱得到點A'（5，5）．
故答案為：（5，5）．
（2）∵點B（2，﹣1），
∴點B關(guān)于x軸對稱得到點B1（2，1），
∴點B1關(guān)于直線y＝m對稱得到點B'（2，2m﹣1），
∴2m﹣1＝﹣5，解得m＝﹣2，
故答案為：﹣2．
（3）∵點C的坐標是（0，m），
∴點C關(guān)于x軸對稱得到點C1（0，﹣m），
∴點C1關(guān)于直線y＝m對稱得到點C'（0，2m+m），即C'（0，m），
∴CC′＝m﹣m＝2m．
（4）由題意可知，點P（1，4），Q（1，5）關(guān)于x軸和直線y＝m的二次反射點分別為P'（1，2m+4），Q'（1，2m+5），
∴P′Q′∥y軸，P′Q′＝1，且2m+5＞2m+4，
∴線段P'Q'與正方形的邊沒有公共點，有三種情況：
①2m+4＞2，解得m＞﹣1；
②，解得﹣2＜m＜﹣；
③2m+5＜0，解得m＜﹣．
綜上，若線段P'Q'與正方形的邊沒有公共點，則m的取值范圍m＞﹣1或﹣2＜m＜﹣或m＜﹣．
【點評】本題考查了平面直角坐標系中坐標與圖形變化，考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，新定義二次反射點的理解和運用；解題關(guān)鍵是對新定義二次反射點的正確理解．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/9/28 17:56:53；用戶：笑涵數(shù)學；郵箱：15699920825；學號：36906111

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