1．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．b2+b2＝2b2C．xm?x5＝x5mD．x5?x2＝x10
2．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“節(jié)水”這四個標(biāo)志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）計算（ab）2的結(jié)果是（ ）
A．2abB．a(chǎn)2bC．a(chǎn)2b2D．a(chǎn)b2
4．（3分）如圖，圖中的兩個三角形是全等三角形，其中一些角和邊的大小如圖所示，那么x的值是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．85°
5．（3分）下列各式中，相等關(guān)系一定成立的是（ ）
A．（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+y2B．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2
C．（b﹣a）2（a﹣b）3＝（a﹣b）5D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
6．（3分）下列條件能夠判斷△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DB．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EFD．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
7．（3分）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是（ ）
A．3B．4C．6D．5
8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AC，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD＝CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD與CB﹣CD的大小關(guān)系不確定
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）計算：3﹣（）0＝ ．
10．（3分）如圖，已知AB⊥BD，ED∥AB，AB＝ED，要使△ABC≌△EDC，可補(bǔ)充的一個條件是： ．（答案不唯一，寫一個即可）
11．（3分）如果多項式y(tǒng)2﹣4y+m是完全平方式，那么m的值為 ．
12．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依據(jù)是 ．
13．（3分）如圖所示的正方形的方格中，∠1+∠3﹣∠2＝ 度．
14．（3分）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果AE＝3，△ADC的周長為9，那么△ABC的周長是 ．
15．（3分）已知如圖，點(diǎn)D是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，下列說法：
①AD＝CD；
②D到AB、BC的距離相等；
③D到△ABC的三邊所在直線的距離相等；
④點(diǎn)D在∠B的平分線．
其中正確的說法的序號是 ．
16．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠B＝∠C．將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，則∠DEB＝ ∠A，∠ABC的大小為 °．
三、計算題（共20分）
17．（12分）計算題．
（1）a?a5﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2；
（2）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）；
（3）（x﹣1）（x﹣3）﹣8；
（4）5a5b?（﹣3b）2﹣64a8b3÷（﹣2a）．
18．（8分）先化簡，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣a（2a﹣3b），其中a＝﹣，b＝1．
四、解答題（共32分）
19．（5分）已知：如圖，點(diǎn)B在線段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．
求證：∠A＝∠E．
20．（5分）如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求證：DE＝DF．
證明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（ ），
∴∠ ＝∠ （ ），
∴AD是∠BAC的角平分線．
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF（ ）．
21．（5分）作圖題：
（1）已知：如圖，線段a、b、c．
求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求作：∠AOB的平分線OC．（不寫作法，保留作圖痕跡）
22．（5分）已知，如圖∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC．
（1）求證：AM平分∠DAB；
（2）猜想AM與DM的位置關(guān)系如何，并證明你的結(jié)論．
23．（6分）閱讀下面的材料，解決問題．
例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
問題：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范圍．
24．（6分）已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）按要求作出圖形：
①延長BC到點(diǎn)D，使CD＝BC；
②延長CA到點(diǎn)E，使AE＝2CA；
③連接AD，BE．
（2）猜想（1）中線段AD與BE的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：（1）完成作圖
（2）AD與BE的大小關(guān)系是 ．
25．閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，將等式兩邊同時乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
將下式減去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
請你仿照此法計算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數(shù)）．
26．三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它的三個角都是60°．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC所在直線上運(yùn)動，連接AD，在AD所在直線的右側(cè)作∠DAE＝60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分線所在直線于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，請你猜想AD與AE的大小關(guān)系，并給出證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時，依據(jù)題意補(bǔ)全圖形，請問上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
2021-2022學(xué)年北京161中分校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分
1．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．x3+x3＝x6B．b2+b2＝2b2C．xm?x5＝x5mD．x5?x2＝x10
【分析】選項A、B，根據(jù)合并同類項法則，在合并同類項時，系數(shù)相加減，字母及其指數(shù)不變，據(jù)此逐一選項判斷即可；
選項C、D，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，據(jù)此逐一選項判斷即可．
【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故本選項不合題意；
B、b2+b2＝2b2，故本選項符合題意；
C、xm?x5＝xm+5，故本選項不合題意；
D、x5?x2＝x7，故本選項不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了合并同類項以及同底數(shù)冪的乘法，熟記相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
2．（3分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“節(jié)水”這四個標(biāo)志中，屬于軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，故選項正確；
C、不是軸對稱圖形，故選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故選項錯誤．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
3．（3分）計算（ab）2的結(jié)果是（ ）
A．2abB．a(chǎn)2bC．a(chǎn)2b2D．a(chǎn)b2
【分析】根據(jù)積的乘方法則：積的乘方，等于各因式乘方的積，進(jìn)行計算即可．
【解答】解：原式＝a2b2．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題考查了冪的乘方及積的乘方，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握積的乘方法則：積的乘方，等于各因式乘方的積．
4．（3分）如圖，圖中的兩個三角形是全等三角形，其中一些角和邊的大小如圖所示，那么x的值是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．85°
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，可以求得x的值．
【解答】解：∵圖中的兩個三角形是全等三角形，
∴第二個三角形中x是邊長為3對應(yīng)的角的度數(shù)，
∵180°﹣85°﹣45°＝50°，
∴第一個三角形中邊長為3對應(yīng)的角的度數(shù)是50°，
∴x＝50°，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的性質(zhì)\三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的性質(zhì)解答．
5．（3分）下列各式中，相等關(guān)系一定成立的是（ ）
A．（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+y2B．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2
C．（b﹣a）2（a﹣b）3＝（a﹣b）5D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計算判斷A和B，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計算判斷C，根據(jù)積的乘方與冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計算判斷D．
【解答】解：A、原式＝x2﹣4xy+4y2，故此選項不符合題意；
B、原式＝x2﹣9y2，故此選項不符合題意；
C、原式＝（a﹣b）2（a﹣b）3＝（a﹣b）5，故此選項符合題意；
D、原式＝（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此選項不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握冪的乘方（am）n＝amn，積的乘方（ab）n＝anbn運(yùn)算法則，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．
6．（3分）下列條件能夠判斷△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DB．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EFD．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
【分析】主要是驗證各選項提供的已知條件能否符合三角形全等判定方法的要求，符合的是可選的，反之，是錯誤的．本題中選項B符合SSS，是本題的答案．
【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，屬于SSA形式，錯；
B、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF是正確的．根據(jù)是SSS；
C、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF，雖然是兩角相等和一邊相等，但這邊不是其中一邊的對邊，所以錯；
D、∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，屬于AAA形式，也錯．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形全等的判定方法；普通三角形全等判定定理SAS定理強(qiáng)調(diào)的是夾角，AAS定理強(qiáng)調(diào)的是一角的對邊，而SSA、AAA形式的命題是不能作為三角形全等的判定定理的．
7．（3分）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】過D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DF＝DE＝2，根據(jù)S△ADB+S△ADC＝7和三角形面積公式求出即可．
【解答】解：如圖，過D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝7，
∴S△ADB+S△ADC＝7，
∴×AB×DE+×AC×DF＝7，
∴×4×2+×AC×2＝7，
解得：AC＝3．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了角的平分線性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AC，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD＝CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD與CB﹣CD的大小關(guān)系不確定
【分析】取AE＝AD，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CD＝CE，然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答．
【解答】解：如圖，取AE＝AD，
∵對角線AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ACD和△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴CD＝CE，
∵BE＞CB﹣CE，
∴AB﹣AD＞CB﹣CD．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）計算：3﹣（）0＝ 2 ．
【分析】非0實數(shù)的0次冪為1，再利用實數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：3﹣
＝3﹣1
＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題主要考查實數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，解答的關(guān)鍵是熟記非0實數(shù)的0次冪為1．
10．（3分）如圖，已知AB⊥BD，ED∥AB，AB＝ED，要使△ABC≌△EDC，可補(bǔ)充的一個條件是： ∠A＝∠E或∠ACB＝∠ECD或BC＝DC或AC＝AE ．（答案不唯一，寫一個即可）
【分析】依據(jù)AB⊥BD，ED∥AB，可得∠B＝∠D＝90°，再根據(jù)AB＝ED，即可得到可補(bǔ)充的一個條件，使得△ABC≌△EDC．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED∥AB，
∴∠B＝∠D＝90°，
又∵AB＝ED，
∴當(dāng)∠A＝∠E時，△ABC≌△EDC（ASA）；
當(dāng)∠ACB＝∠ECD時，△ABC≌△EDC（AAS）；
當(dāng)BC＝DC時，△ABC≌△EDC（SAS）；
當(dāng)AC＝EC時，Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；
故答案為：∠A＝∠E或∠ACB＝∠ECD或BC＝DC或AC＝AE．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）如果多項式y(tǒng)2﹣4y+m是完全平方式，那么m的值為 4 ．
【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．
【解答】解：∵多項式y(tǒng)2﹣4y+m是完全平方式，
∴m＝4，
解得：m＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
12．（3分）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依據(jù)是 全等三角形的對應(yīng)角相等 ．
【分析】根據(jù)作圖過程可以證明△OCD≌△O′C′D′，進(jìn)而可得結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)作圖過程可知：
OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形對應(yīng)角相等）．
故答案為：全等三角形的對應(yīng)角相等．
【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
13．（3分）如圖所示的正方形的方格中，∠1+∠3﹣∠2＝ 45 度．
【分析】標(biāo)注字母，然后根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)可得∠1與∠3所在的三角形全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可以推出∠1+∠3＝90°，再根據(jù)∠2所在的三角形是等腰直角三角形可得∠2＝45°，然后進(jìn)行計算即可得解．
【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)可知，
在△ABC與△ADE中，
，
∴△ABC≌△EDA（SSS），
∴∠1＝∠DAE，
∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°，
又∵AD＝DF，AD⊥DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠3﹣∠2＝90°﹣45°＝45°．
故答案為：45．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等圖形，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)找出全等三角形以及等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，如果AE＝3，△ADC的周長為9，那么△ABC的周長是 15 ．
【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BD＝AD，AB＝2AE，再由，△ADC的周長為9可得出BC+AC＝9，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，AE＝3，
∴BD＝AD，AB＝2AE＝6，
∵△ADC的周長為9，
∴BC+AC＝9，
∴△ABC的周長＝BC+AC+AB＝9+6＝15．
故答案為：15．
【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．
15．（3分）已知如圖，點(diǎn)D是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，下列說法：
①AD＝CD；
②D到AB、BC的距離相等；
③D到△ABC的三邊所在直線的距離相等；
④點(diǎn)D在∠B的平分線．
其中正確的說法的序號是 ②③④ ．
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，作DG⊥AC于G，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝DF＝DG，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上解答．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，作DG⊥AC于G，
∵點(diǎn)D是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，
∴DE＝DG，DF＝DG，
∴DE＝DF＝DG，
∴點(diǎn)D在∠B的平分線上，故②③④正確，
只有點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)時，AD＝CD，故①錯誤，
綜上所述，說法正確的是②③④．
故答案為：②③④．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠B＝∠C．將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，則∠DEB＝ 2 ∠A，∠ABC的大小為 72 °．
【分析】設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【解答】解：設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°．
故答案為：2，72．
【點(diǎn)評】本題考查翻折變換、三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
三、計算題（共20分）
17．（12分）計算題．
（1）a?a5﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2；
（2）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）；
（3）（x﹣1）（x﹣3）﹣8；
（4）5a5b?（﹣3b）2﹣64a8b3÷（﹣2a）．
【分析】（1）先算乘方，然后算乘法，最后算加減；
（2）利用多項式除以單項式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算；
（3）先利用多項式乘多項式的運(yùn)算法則計算乘法，然后再算加減；
（4）先算乘方，然后算乘除，最后算加減．
【解答】解：（1）原式＝a6﹣a6﹣4a6
＝﹣4a6；
（2）原式＝﹣6x4÷2x2+8x3÷2x2
＝﹣3x2+4x；
（3）原式＝x2﹣3x﹣x+3﹣8
＝x2﹣4x﹣5；
（4）原式＝5a5b?9b2﹣64a8b3÷（﹣2a）．
＝45a5b3+32a7b3．
【點(diǎn)評】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握冪的乘方（am）n＝amn，積的乘方（ab）n＝anbn運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18．（8分）先化簡，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣a（2a﹣3b），其中a＝﹣，b＝1．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把a(bǔ)與b的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+3ab＝ab，
當(dāng)a＝﹣，b＝1時，原式＝﹣．
【點(diǎn)評】此題考查了整式的混合運(yùn)算﹣化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
四、解答題（共32分）
19．（5分）已知：如圖，點(diǎn)B在線段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．
求證：∠A＝∠E．
【分析】易證∠ABC＝∠D，即可求證△CAB≌△BED，即可解題．
【解答】證明：∵BC∥DE
∴∠ABC＝∠D
在△CAB和△BED中，
，
∴△CAB≌△BED（SAS），
∴∠A＝∠E．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形判定，考查了全等三角形對應(yīng)角想等的性質(zhì)，本題中求證△CAB≌△BED是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求證：DE＝DF．
證明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（ SSS ），
∴∠ DAB ＝∠ DAC （ （全等三角形的對應(yīng)角相等 ），
∴AD是∠BAC的角平分線．
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF（ 角平分線的性質(zhì) ）．
【分析】由△ABD≌△ACD（SSS），可得∠DAB＝∠DAC，再利用角平分線的性質(zhì)定理即可證明．
【解答】證明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠DAB＝∠DAC（全等三角形的對應(yīng)角相等），
又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF（角平分線的性質(zhì)）．
故答案為：SSS；DAB，DAC；全等三角形的對應(yīng)角相等；角平分線的性質(zhì)．
【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
21．（5分）作圖題：
（1）已知：如圖，線段a、b、c．
求作：△ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求作：∠AOB的平分線OC．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【分析】（1）如圖，作射線BM，在射線BM上截取BA＝c，分別以B，A為圓心，a，b為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接BC，AC，△ABC即為所求．
（2）利用尺規(guī)作出∠AOB的射線OC即可．
【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求．
（2）如圖，射線OC即為所求．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．
22．（5分）已知，如圖∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC．
（1）求證：AM平分∠DAB；
（2）猜想AM與DM的位置關(guān)系如何，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）過M作ME⊥AD于E，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出ME＝MC＝MB，再根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可；
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠BAD+∠ADC＝180°，求出∠MAD+∠MDA＝90°，即可求出答案．
【解答】（1）證明：過M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴MC＝ME，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴BM＝MC＝ME，
∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
證明：∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD＝∠BAD，∠MDA＝∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥DM．
【點(diǎn)評】本題考查了梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，難度適中．
23．（6分）閱讀下面的材料，解決問題．
例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
問題：（1）若2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，求c的取值范圍．
【分析】（1）已知等式左邊變形后，利用完全平方公式化簡，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出所求；
（2）已知等式配方變形后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，再利用三角形三邊關(guān)系求出c的范圍即可．
【解答】解：（1）∵2x2+4x﹣2xy+y2+4＝0，
∴x2 +4x+4+x2﹣2xy+y2＝0，
∴（x+2）2+（x﹣y）2＝0，
∴x＝﹣2，y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2＝；
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝5，b＝4，
∴1＜c＜9．
【點(diǎn)評】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
24．（6分）已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）按要求作出圖形：
①延長BC到點(diǎn)D，使CD＝BC；
②延長CA到點(diǎn)E，使AE＝2CA；
③連接AD，BE．
（2）猜想（1）中線段AD與BE的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
解：（1）完成作圖
（2）AD與BE的大小關(guān)系是 AD＝BE ．
【分析】（1）根據(jù)已知條件畫出圖形即可；
（2）在AE上截取AF＝AC，連接BF，根據(jù)全等三角形的判定定理求出△BAF≌△BAC，求出△BFE≌△DCA，即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖：；
（2）AD＝BE，
理由是：在AE上截取AF＝AC，連接BF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BAC＝∠BAF，
在△ABF與△ABC中
∴△ABF≌△ABC（SAS），
∴BF＝BC，AF＝AC，∠BCA＝∠BFA，
∵∠BFE+∠BFA＝180°，∠BCA+∠DCA＝180°，
∴∠BFE＝∠DCA，
∵BC＝DC，BC＝BF，
∴BF＝DC，
∵AC＝AF，AE＝2AC＝AF+EF，
∴EF＝AC＝AF，
在△BFE和△DCA中
∴△BFE≌△DCA，
∴AD＝BE，
故答案為：AD＝BE．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，有一定的難度．
25．閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，將等式兩邊同時乘2得：
2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014
將下式減去上式得2S﹣S＝22014﹣1
即S＝22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1
請你仿照此法計算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數(shù)）．
【分析】（1）設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+210，兩邊乘以2后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值；
（2）同理即可得到所求式子的值．
【解答】解：（1）設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+210，
將等式兩邊同時乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211，
將下式減去上式得：2S﹣S＝211﹣1，即S＝211﹣1，
則1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；
（2）設(shè)S＝1+3+32+33+34+…+3n①，
兩邊同時乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，
②﹣①得：3S﹣S＝3n+1﹣1，即S＝（3n+1﹣1），
則1+3+32+33+34+…+3n＝（3n+1﹣1）．
【點(diǎn)評】此題考查了同底數(shù)冪的乘法，弄清題中的技巧是解本題的關(guān)鍵．
26．三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它的三個角都是60°．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC所在直線上運(yùn)動，連接AD，在AD所在直線的右側(cè)作∠DAE＝60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分線所在直線于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，請你猜想AD與AE的大小關(guān)系，并給出證明；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時，依據(jù)題意補(bǔ)全圖形，請問上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（ASA），可得結(jié)論；
（2）結(jié)論成立，證明方法類似．
【解答】解：（1）結(jié)論：AD＝AE．
理由：如圖，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACF＝120°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴AD＝DE．
（2）正確．
證明：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠BCF＝120°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠ACE＝∠ABD＝120°，
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴AD＝DE．
【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等的三角形是關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/9/28 17:49:01；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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