考點(diǎn)一 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程
核心提煉
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(00)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，以線段F1A為直徑的圓交線段F1B的延長線于點(diǎn)P，若F2B∥AP且線段AP的長為2＋eq \r(2)，則該橢圓方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 D
解析 設(shè)橢圓的半焦距為c，因?yàn)辄c(diǎn)P在以線段F1A為直徑的圓上，所以AP⊥PF1.
又因?yàn)镕2B∥AP，所以F2B⊥BF1.
又因?yàn)閨F2B|＝|BF1|，
所以△F1F2B是等腰直角三角形，于是△F1AP也是等腰直角三角形，
因?yàn)閨AP|＝2＋eq \r(2)，
所以|F1A|＝eq \r(2)(2＋eq \r(2))，
得a＋c＝eq \r(2)(2＋eq \r(2))，
又b＝c，所以a＝eq \r(2)c，
解得a＝2eq \r(2)，c＝2，
得b2＝a2－c2＝4，
所以橢圓方程為eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)(2022·荊州模擬)已知雙曲線C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是C右支上的一點(diǎn)(不是頂點(diǎn))，過F2作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足是M，O是原點(diǎn)，則|MO|＝________.
答案 4
解析 延長F2M交PF1于點(diǎn)Q，
由于PM是∠F1PF2的角平分線，F(xiàn)2M⊥PM，
所以△QPF2是等腰三角形，
所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中點(diǎn)．
根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|－|PF2|＝2a，
即|QF1|＝2a，
由于O是F1F2的中點(diǎn)，所以MO是△QF1F2的中位線，
所以|MO|＝eq \f(1,2)|QF1|＝a＝4.
易錯(cuò)提醒 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)的常見錯(cuò)誤
雙曲線的定義中忽略“絕對(duì)值”致錯(cuò)；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；圓錐曲線方程確定時(shí)還要注意焦點(diǎn)位置．
跟蹤演練1 (1)已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(2),2)x，實(shí)軸長為4，則該雙曲線的方程為( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1
B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
答案 D
解析 設(shè)雙曲線方程為eq \f(x2,2m)－eq \f(y2,m)＝1(m≠0)，
∵2a＝4，∴a2＝4，
當(dāng)m>0時(shí)，2m＝4，m＝2；
當(dāng)m0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
考向1 橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)
例2 (2022·河南五市聯(lián)考)設(shè)雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F2為圓心的圓恰好與雙曲線C的兩條漸近線相切，且該圓恰好經(jīng)過線段OF2的中點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±eq \f(2\r(3),3)x D．y＝±2x
答案 B
解析 由題意知，漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，
焦點(diǎn)F2(c，0)，c2＝a2＋b2，
因?yàn)橐訤2為圓心的圓恰好與雙曲線C的兩漸近線相切，則圓的半徑r等于圓心到切線的距離，
即r＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(±\f(b,a)·c)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(b,a)))2))＝b，
又該圓過線段OF2的中點(diǎn)，故eq \f(c,2)＝r＝b，
所以eq \f(b,a)＝eq \r(\f(b2,a2))＝eq \r(\f(b2,c2－b2))＝eq \f(\r(3),3).
所以漸近線方程為y＝±eq \f(\r(3),3)x.
考向2 離心率問題
例3 (2022·全國乙卷改編)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且cs∠F1NF2＝eq \f(3,5)，則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(3,2)
C.eq \f(\r(13),2)或eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(17),2)或eq \f(3,2)
答案 C
解析 不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．
當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)M，N在雙曲線兩支上時(shí)，如圖1所示，
圖1
設(shè)過F1的直線與圓D相切于點(diǎn)P，連接OP，
由題意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，
所以|F1P|＝b.
過點(diǎn)F2作F2Q⊥F1N，交F1N于點(diǎn)Q.
由中位線的性質(zhì)，
可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
因?yàn)閏s∠F1NF2＝eq \f(3,5)，
所以sin∠F1NF2＝eq \f(4,5)，
故|NF2|＝eq \f(5,2)a，|QN|＝eq \f(3,2)a，
所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝2b＋eq \f(3,2)a.
由雙曲線的定義可知
|NF1|－|NF2|＝2a，
所以2b＋eq \f(3,2)a－eq \f(5,2)a＝2a，所以2b＝3a.
兩邊平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，
整理得4c2＝13a2，所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(13,4)，
故eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),2)，即e＝eq \f(\r(13),2).
當(dāng)兩個(gè)交點(diǎn)M，N都在雙曲線上的左支上時(shí)，如圖2所示，
圖2
同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
因?yàn)閏s∠F1NF2＝eq \f(3,5)，
所以sin∠F1NF2＝eq \f(4,5)，
可得|NF2|＝eq \f(5,2)a，|NQ|＝eq \f(3,2)a，
所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝eq \f(3,2)a－2b，
所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝eq \f(7,2)a－2b，
又|NF2|＝eq \f(5,2)a，所以eq \f(7,2)a－2b＝eq \f(5,2)a，
即a＝2b，故e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(5),2).
綜上，C的離心率為eq \f(\r(13),2)或eq \f(\r(5),2).
規(guī)律方法 (1)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合橢圓(或雙曲線)的定義，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．
(2)求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可將雙曲線方程中等號(hào)右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到．
跟蹤演練2 (1)(2022·全國甲卷)橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為eq \f(1,4)，則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 設(shè)P(m，n)(n≠0)，
則Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝eq \f(n,m＋a)·eq \f(n,－m＋a)＝eq \f(n2,a2－m2)＝eq \f(1,4).(*)
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，
所以eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1，得n2＝eq \f(b2,a2)(a2－m2)，
代入(*)式，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故選A.
(2)(2022·衡水中學(xué)模擬)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào))
①∠AF1B＝∠F1AB；
②雙曲線的離心率e＝eq \f(\r(33),3)；
③雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(6),3)x；
④原點(diǎn)O在以F2為圓心，|AF2|為半徑的圓上．
答案 ①②
解析 設(shè)|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，
則|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m.
由雙曲線的定義知，|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，
即m＝2a，
又|BF1|－|BF2|＝2a，
即|BF1|－2m＝m，
∴|BF1|＝3m＝|AB|，∠AF1B＝∠F1AB，
故①正確；
由余弦定理知，在△ABF1中，
cs∠AF1B＝eq \f(|AF1|2＋|BF1|2－|AB|2,2|AF1|·|BF1|)
＝eq \f(4m2＋9m2－9m2,2·2m·3m)＝eq \f(1,3)，
在△AF1F2中，
cs∠F1AB＝eq \f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2·|AF1|·|AF2|)
＝eq \f(4m2＋m2－4c2,2·2m·m)＝cs∠AF1B＝eq \f(1,3)，
化簡整理得12c2＝11m2＝44a2，
∴離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(44,12))＝eq \f(\r(33),3)，故②正確；
雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(\f(c2－a2,a2))x＝±eq \r(e2－1)x＝±eq \f(2\r(6),3)x，故③錯(cuò)誤；
若原點(diǎn)O在以F2為圓心，|AF2|為半徑的圓上，
則c＝m＝2a，與eq \f(c,a)＝eq \f(\r(33),3)相矛盾，故④錯(cuò)誤．
考點(diǎn)三 拋物線的幾何性質(zhì)
核心提煉
拋物線的焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常見結(jié)論
設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦AB的長最短為2p.
例4 (1)(2022·泰安模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，射線FM與y軸交于點(diǎn)A(0,2)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)N，eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \f(\r(5),5)eq \(MN,\s\up6(→))，則p的值等于( )
A.eq \f(1,8) B．2 C.eq \f(1,4) D．4
答案 B
解析 設(shè)點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離為|MM′|，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)B.
由拋物線的定義知，
|MM′|＝|FM|.
因?yàn)閑q \f(|FM|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，
所以eq \f(|MM′|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，
即cs∠NMM′＝eq \f(|MM′|,|MN|)＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs∠OFA＝cs∠NMM′＝eq \f(\r(5),5)，
而cs∠OFA＝eq \f(|OF|,|AF|)＝eq \f(\f(p,2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))2＋22))＝eq \f(\r(5),5)，
解得p＝2.
(2)(2022·新高考全國Ⅱ改編)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p，0)．若|AF|＝|AM|，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào))
①直線AB的斜率為2eq \r(6)；
②|OB|＝|OF|；
③|AB|>4|OF|；
④∠OAM＋∠OBM2p，
即|AB|>4|OF|，故③正確；
對(duì)于④，易知|OA|＝eq \f(\r(33),4)p，|AM|＝eq \f(5,4)p，
|OB|＝eq \f(\r(7),3)p，|BM|＝eq \f(\r(10),3)p，
則cs∠OAM＝eq \f(|OA|2＋|AM|2－|OM|2,2|OA|·|AM|)＝eq \f(\f(33,16)p2＋\f(25,16)p2－p2,2×\f(\r(33),4)p·\f(5,4)p)＝eq \f(21,5\r(33))>0，
cs∠OBM＝eq \f(|OB|2＋|BM|2－|OM|2,2|OB|·|BM|)＝eq \f(\f(7,9)p2＋\f(10,9)p2－p2,2×\f(\r(7),3)p·\f(\r(10),3)p)＝eq \f(4,\r(70))>0，
所以∠OAM0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(3,0)，則其漸近線方程為( )
A．y＝±eq \f(\r(2),4)x B．y＝±2eq \r(2)x
C．y＝±2x D．y＝±eq \f(1,2)x
答案 A
解析 因?yàn)殡p曲線eq \f(x2,m)－y2＝1(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(3,0)，
所以由m＋1＝32，得m＝8，
所以雙曲線方程為eq \f(x2,8)－y2＝1，
所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(\r(2),4)x.
3．(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于( )
A．2 B．2eq \r(2) C．3 D．3eq \r(2)
答案 B
解析 方法一 由題意可知F(1,0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.
設(shè)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，
則由拋物線的定義可知|AF|＝eq \f(y\\al(2,0),4)＋1.
因?yàn)閨BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得eq \f(y\\al(2,0),4)＋1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
不妨取A(1,2)，
則|AB|＝eq \r(?1－3?2＋?2－0?2)＝eq \r(8)＝2eq \r(2)，故選B.
方法二 由題意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因?yàn)閽佄锞€的通徑長為2p＝4，
所以AF的長為通徑長的一半，
所以AF⊥x軸，
所以|AB|＝eq \r(22＋22)＝eq \r(8)＝2eq \r(2).故選B.
4.(2022·濰坊模擬)如圖，某建筑物白色的波浪形屋頂像翅膀一樣漂浮，建筑師通過雙曲線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑以輕盈、極簡和雕塑般的氣質(zhì)，該建筑物外形弧線的一段可以近似看成焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知該雙曲線的上焦點(diǎn)F到下頂點(diǎn)的距離為36，F(xiàn)到漸近線的距離為12，則該雙曲線的離心率為( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(5,4) C.eq \f(4,3) D.eq \f(4,5)
答案 B
解析 點(diǎn)F(0，c)到漸近線y＝±eq \f(a,b)x，
即ax±by＝0的距離d＝eq \f(|±bc|,\r(a2＋b2))＝b＝12，
又由題意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝36，,a2＋122＝c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝16，,c＝20，))
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(20,16)＝eq \f(5,4).
5．(2022·石家莊模擬)已知點(diǎn)P是拋物線C：y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足記為點(diǎn)N，點(diǎn)M(3,4)，則|PM|＋|PN|的最小值是( )
A．2eq \r(5)－1 B.eq \r(5)－1 C.eq \r(5)＋1 D．2eq \r(5)＋1
答案 A
解析 由拋物線C：y2＝4x知，焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，
過點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，如圖，
由拋物線定義知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，
當(dāng)F，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|＋|PN|最小，最小值為|MF|－1＝eq \r(?3－1?2＋?4－0?2)－1＝2eq \r(5)－1.
6．(2022·福州質(zhì)檢)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且滿足AF1⊥AB，eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4,3)，則該橢圓的離心率是( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 如圖所示，設(shè)|AF1|＝4x，則|AB|＝3x，
因?yàn)锳F1⊥AB，
則|BF1|＝eq \r(|AB|2＋|AF1|2)＝5x，
由橢圓的定義可得
|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝12x，則x＝eq \f(a,3)，
所以|AF1|＝4x＝eq \f(4a,3)，
則|AF2|＝2a－eq \f(4a,3)＝eq \f(2a,3)，
由勾股定理可得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4a,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2＝4c2，
則c＝eq \f(\r(5),3)a，
因此該橢圓的離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).
7．(2022·臨沂模擬)2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)F(0,2)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G.若過原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A，與下半圓交于點(diǎn)B，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．橢圓的長軸長為4eq \r(2)
B．|AB|的取值范圍是[4,2＋2eq \r(2)]
C．△ABF面積的最小值是4
D．△AFG的周長為4＋4eq \r(2)
答案 C
解析 由題意知，橢圓中的幾何量b＝c＝2，得a＝2eq \r(2)，則2a＝4eq \r(2)，A正確；
|AB|＝|OB|＋|OA|＝2＋|OA|，
由橢圓性質(zhì)可知2≤|OA|≤2eq \r(2)，
所以4≤|AB|≤2＋2eq \r(2)，B正確；
記∠AOF＝θ，
則S△ABF＝S△AOF＋S△OBF＝eq \f(1,2)|OA|·|OF|sin θ＋eq \f(1,2)|OB|·|OF|sin(π－θ)＝|OA|sin θ＋2sin θ＝(|OA|＋2)sin θ，
取θ＝eq \f(π,6)，
則S△ABF＝1＋eq \f(1,2)|OA|0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P是雙曲線C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A．||PA1|－|PA2||＝2a
B．若焦點(diǎn)F2關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在C上，則C的離心率為5
C．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線PA1的斜率與直線PA2的斜率之積為eq \f(1,2)
D．若雙曲線C為等軸雙曲線，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，則∠PA1A2＝eq \f(π,10)
答案 D
解析 對(duì)于A，在△PA1A2中，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，
可知||PA1|－|PA2||0)，
設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，
則xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＝a2，即xeq \\al(2,0)－a2＝y(tǒng)eq \\al(2,0)，
故 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(y0,x0＋a)·eq \f(y0,x0－a)
＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－a2)＝1，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，雙曲線C為等軸雙曲線，
即C：x2－y2＝a2(a>0)，
且∠A1PA2＝3∠PA1A2，
設(shè)∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，
則∠PA2x＝4θ，
根據(jù)選項(xiàng)C的結(jié)論知 SKIPIF 1 < 0 ＝1，
即有tan θ·tan 4θ＝1，
∴eq \f(sin θ,cs θ)·eq \f(sin 4θ,cs 4θ)＝1，
∴cs 5θ＝0，
∵θ＋3θ∈(0，π)，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，5θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5π,4)))，
∴5θ＝eq \f(π,2)，∴∠PA1A2＝θ＝eq \f(π,10)，故D正確．
二、填空題
9．寫出一個(gè)滿足以下三個(gè)條件的橢圓的方程：______________.①中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；②焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；③離心率為eq \f(1,3).
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1(答案不唯一)
解析 只要橢圓方程形如eq \f(x2,9m)＋eq \f(y2,8m)＝1(m>0)或eq \f(y2,9m)＋eq \f(x2,8m)＝1(m>0)即可．
10．(2022·淄博模擬)已知P1，P2，…，P8是拋物線x2＝4y上不同的點(diǎn)，且F(0,1)．若eq \(FP1,\s\up6(—→))＋eq \(FP2,\s\up6(—→))＋…＋eq \(FP8,\s\up6(—→))＝0，則|eq \(FP1,\s\up6(—→))|＋|eq \(FP2,\s\up6(—→))|＋…＋|eq \(FP8,\s\up6(—→))|＝________.
答案 16
解析 設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
P3(x3，y3)，…，P8(x8，y8),
P1，P2，P3，…，P8是拋物線x2＝4y上不同的點(diǎn)，點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線為y＝－1，
則eq \(FPi,\s\up6(—→))＝(xi，yi－1)(i＝1,2，…，8)，
所以eq \(FP1,\s\up6(—→))＋eq \(FP2,\s\up6(—→))＋…＋eq \(FP8,\s\up6(—→))
＝(x1＋x2＋…＋x8，(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1))＝0，
所以(y1－1)＋(y2－1)＋…＋(y8－1)＝0，
即y1＋y2＋y3＋…＋y8＝8，
∴|eq \(FP1,\s\up6(—→))|＋|eq \(FP2,\s\up6(—→))|＋…＋|eq \(FP8,\s\up6(—→))|
＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋…＋(y8＋1)
＝y(tǒng)1＋y2＋…＋y8＋8＝16.
11．(2022·濟(jì)南模擬)已知橢圓C1：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且F2是拋物線C2：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，若P是C1與C2的交點(diǎn)，且|PF1|＝7，則cs∠PF1F2的值為________．
答案 eq \f(5,7)
解析 依題意，由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝12，而|PF1|＝7，則|PF2|＝5，
因?yàn)辄c(diǎn)F2是拋物線C2：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線l過點(diǎn)F1，如圖，
過點(diǎn)P作PQ⊥l于點(diǎn)Q，
由拋物線定義知|PQ|＝|PF2|＝5，
而F1F2∥PQ，
則∠PF1F2＝∠F1PQ，
所以cs∠PF1F2＝cs∠F1PQ＝eq \f(|PQ|,|PF1|)＝eq \f(5,7).
12．(2022·福州質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，過F作C的漸近線的垂線，垂足為M，且與y軸交于點(diǎn)P.若直線AM經(jīng)過OP的中點(diǎn)，則C的離心率是________．
答案 2
解析 由題意可知，F(xiàn)(－c，0)，A(a，0)，
漸近線不妨設(shè)為y＝－eq \f(b,a)x，
則kFM＝eq \f(a,b)，
直線FM的方程為y＝eq \f(a,b)(x＋c)，
令x＝0，可得y＝eq \f(ac,b)，
則Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(ac,b)))，
則OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(ac,2b)))，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(b,a)x，,y＝\f(a,b)?x＋c?，))
解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a2,c)，\f(ab,c)))，
因?yàn)橹本€AM經(jīng)過OP的中點(diǎn)，
所以eq \f(\f(ac,2b)－0,0－a)＝eq \f(\f(ab,c)－0,－\f(a2,c)－a)，
則2b2＝ac＋c2,2(c2－a2)＝ac＋c2，
即c2－ac－2a2＝0，
則e2－e－2＝0，解得e＝－1 (舍)或e＝2.
三、解答題
13．(2022·衡水中學(xué)模擬)雙曲線x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若l的傾斜角為eq \f(π,2)，△F1AB是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
(2)設(shè)b＝eq \r(3)，若l的斜率存在，且(eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，求l的斜率．
解 (1)設(shè)A(xA，yA)．
由題意知，F(xiàn)2(c，0)，c＝eq \r(1＋b2)，
yeq \\al(2,A)＝b2(c2－1)＝b4，
因?yàn)椤鱂1AB是等邊三角形，
所以2c＝eq \r(3)|yA|，
即4(1＋b2)＝3b4，
解得b2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b2＝－\f(2,3)舍去)).
故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \r(2)x.
(2)由已知，F(xiàn)1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直線l：y＝k(x－2)．顯然k≠0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,3)＝1，,y＝k?x－2?，))
得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
因?yàn)閘與雙曲線交于兩點(diǎn)，
所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.
設(shè)AB的中點(diǎn)為M(xM，yM)．
由(eq \(F1A,\s\up6(—→))＋eq \(F1B,\s\up6(—→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
即eq \(F1M,\s\up6(—→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
知F1M⊥AB，故 SKIPIF 1 < 0 ·k＝－1.
而xM＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2k2,k2－3)，
yM＝k(xM－2)＝eq \f(6k,k2－3)， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(3k,2k2－3)，
所以eq \f(3k,2k2－3)·k＝－1，得k2＝eq \f(3,5)，
故l的斜率為±eq \f(\r(15),5).

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