母題突破1 范圍、最值問(wèn)題
母題 (2022·全國(guó)甲卷改編)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(2,0)，過(guò)F的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)．設(shè)直線MD，ND與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β.當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
思路分析
?點(diǎn)差法求kAB，kMN
↓
?聯(lián)立MN與拋物線方程
↓
?聯(lián)立AM，BN與拋物線方程
↓
?kAB與kMN的關(guān)系
↓
?構(gòu)造tan?α－β?關(guān)于kAB的函數(shù)
解 當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，易得α＝β＝eq \f(π,2)，
此時(shí)α－β＝0.
當(dāng)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)M(x1，y1)，
N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，
則直線MN的方程為
y－y1＝eq \f(y1－y2,x1－x2)(x－x1)，
即y－y1＝eq \f(y1－y2,\f(y\\al(2,1),4)－\f(y\\al(2,2),4))(x－x1)，
即y－y1＝eq \f(4,y1＋y2)(x－x1)，
即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)，
所以直線MN的方程為
y(y1＋y2)－y1y2＝4x，tan α＝eq \f(4,y1＋y2).
同理可得，直線AM的方程為
y(y3＋y1)－y3y1＝4x，
直線BN的方程為
y(y4＋y2)－y4y2＝4x，
直線AB的方程為y(y4＋y3)－y4y3＝4x.
因?yàn)镕(1,0)在MN上，所以y1y2＝－4.
因?yàn)镈(2,0)在AM，BN上，
所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，
所以y3＝－eq \f(8,y1)，y4＝－eq \f(8,y2).
所以y3＋y4＝－eq \f(8,y1)－eq \f(8,y2)＝－eq \f(8?y1＋y2?,y1y2)
＝－eq \f(8?y1＋y2?,－4)＝2(y1＋y2)，
y3y4＝eq \f(64,y1y2)＝eq \f(64,－4)＝－16，
所以直線AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化為(y1＋y2)y＋8＝2x，
所以tan β＝eq \f(2,y2＋y1)，
所以tan(α－β)＝eq \f(\f(2,y2＋y1),1＋\f(8,?y2＋y1?2))
＝eq \f(2?y2＋y1?,?y2＋y1?2＋8)＝2×eq \f(1,?y2＋y1?＋\f(8,y2＋y1)).
當(dāng)y2＋y1

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