新高考數(shù)學一輪復習考點過關(guān)練習 求雙曲線的方程（含解析）

這是一份新高考數(shù)學一輪復習考點過關(guān)練習 求雙曲線的方程（含解析），共32頁。
雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)
【題型歸納】
題型一： 判斷方程是否表示雙曲線
1．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則“方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線”的必要不充分條件為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
題型二： 根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)的范圍
4．若方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．已知方程 SKIPIF 1 < 0 ，則E表示的曲線形狀是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，則E表示橢圓
B．若E表示雙曲線，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C．若E表示雙曲線，則焦距是定值
D．若E的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
6．已知曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或5
題型三： 求雙曲線的標準方程
7． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的兩個焦點，拋物線 SKIPIF 1 < 0 的準線 SKIPIF 1 < 0 過雙曲線的焦點 SKIPIF 1 < 0 ，準線與漸近線交于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且與橢圓 SKIPIF 1 < 0 有公共焦點，則雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知拋物線 SKIPIF 1 < 0 分別是雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點 SKIPIF 1 < 0 ，與雙曲線的漸近線交于點A，若 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【雙基達標】
10．已知雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的實軸長為8，一條漸近線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．若雙曲線 SKIPIF 1 < 0 離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 ，則該雙曲線的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，O為坐標原點，直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線交于A，B兩點. 若△OAB是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線C的方程為 ( )
A. eq \f(x2,3)－y2＝1 B. x2－eq \f(y2,3)＝1
C. eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 D. eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
13．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一個焦點關(guān)于其中一條漸近線的對稱點為 SKIPIF 1 < 0 ，若點P恰在C上，則C的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，下列條件，能使得（m，n）的軌跡存在實軸和虛軸相等的雙曲線的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列B． SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列
C． SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列D． SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列
15．已知方程 SKIPIF 1 < 0 的圖像是雙曲線，那么 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
16．景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷花瓶，它的頸部(圖2)外形上下對稱，基本可看作是離心率為 SKIPIF 1 < 0 的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形的曲面，若該頸部中最細處直徑為16厘米，頸部高為20厘米，則瓶口直徑為（ ）
A．20B．30C．40D．50
17．已知 SKIPIF 1 < 0 ，則“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線”的（ ）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
18．為了更好地研究雙曲線，某校高二年級的一位數(shù)學老師制作了一個如圖所示的雙曲線模型.已知該模型左?右兩側(cè)的兩段曲線（曲線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 ）為某雙曲線（離心率為2）的一部分，曲線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 中間最窄處間的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 與點 SKIPIF 1 < 0 均關(guān)于該雙曲線的對稱中心對稱，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
19．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
20．如圖，某建筑物是數(shù)學與建筑的完美結(jié)合.該建筑物外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的一部分，且此雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的下焦點到漸近線的距離為3，離心率為2，則該雙曲線的標準方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
21．如圖1，北京2022年冬奧會比賽場地之一首鋼滑雪大跳臺與電力廠的冷卻塔交相輝映，實現(xiàn)了它與老工業(yè)遺址的有效融合.如圖2，冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面.它的最小半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，上口半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，下口半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，高為 SKIPIF 1 < 0 .在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3所示的平面直角坐標系，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的方程近似為（ ）
（參考數(shù)據(jù)： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
22．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的中心為原點， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的焦點，過 SKIPIF 1 < 0 的直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩點，且 SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
23．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 與拋物線 SKIPIF 1 < 0 的一個交點為M．若拋物線的焦點為F，且 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的焦點到漸近線的距離為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
24．過雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右頂點作 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線與 SKIPIF 1 < 0 的一條漸近線相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，若以 SKIPIF 1 < 0 的右焦點為圓心，以 SKIPIF 1 < 0 為半徑的圓經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 兩點( SKIPIF 1 < 0 為坐標原點)，則雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
25．已知雙曲線的下、上焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是雙曲線上一點且 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【高分突破】
單選題
26．已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．（﹣1，1）B．（0，+∞）
C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
27．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左頂點與拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
28．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 （m≠0）的一個焦點為F（3，0），則其漸近線方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
29．焦距為10，且 SKIPIF 1 < 0 的雙曲線的標準方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
30．過點 SKIPIF 1 < 0 且與橢圓 SKIPIF 1 < 0 有相同焦點的雙曲線方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
31．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，且與橢圓 SKIPIF 1 < 0 有公共焦點，則 SKIPIF 1 < 0 的方程為
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
32．若直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一個焦點，且與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 有且僅有一個公共點，則雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
33．已知離心率為2的雙曲線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 有公共焦點，則雙曲線的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
34．若方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的雙曲線，則角 SKIPIF 1 < 0 所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
35．已知 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 不可能表示（ ）
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．兩條直線
36．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的虛軸長為 SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，則其方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
37．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 以正方形ABCD的兩個頂點為焦點，且經(jīng)過該正方形的另兩個頂點，若正方形ABCD的邊長為2，則E的實軸長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多選題
38．以下關(guān)于圓錐曲線的說法，不正確的是（ ）
A．設(shè) SKIPIF 1 < 0 為兩個定點， SKIPIF 1 < 0 為非零常數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ，則動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為雙曲線
B．過定圓 SKIPIF 1 < 0 上一定點 SKIPIF 1 < 0 作圓的動弦 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點，若 SKIPIF 1 < 0 ，則動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為橢圓
C．若曲線 SKIPIF 1 < 0 為雙曲線，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
D．過點 SKIPIF 1 < 0 作直線，使它與拋物線 SKIPIF 1 < 0 有且僅有一個公共點，這樣的直線有2條
39．若雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的實軸長為6，焦距為10，右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的漸近線上的點到 SKIPIF 1 < 0 距離的最小值為4B． SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 上的點到 SKIPIF 1 < 0 距離的最小值為2D．過 SKIPIF 1 < 0 的最短的弦長為 SKIPIF 1 < 0
40．（多選）已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示曲線 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A．當 SKIPIF 1 < 0 時，曲線 SKIPIF 1 < 0 一定是橢圓
B．當 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時，曲線 SKIPIF 1 < 0 一定是雙曲線
C．若曲線 SKIPIF 1 < 0 是焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的橢圓，則 SKIPIF 1 < 0
D．若曲線 SKIPIF 1 < 0 是焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的雙曲線，則 SKIPIF 1 < 0
41．在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中，已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的焦點在圓 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上，圓 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線在第一、二象限分別交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點，若點 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 為坐標原點)，下列說法正確的有（ ）
A．雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的虛軸長為 SKIPIF 1 < 0
B．雙曲線的離心率為 SKIPIF 1 < 0
C．雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一條漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0
D．三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0
42．已知雙曲線C： SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，且其右頂點為 SKIPIF 1 < 0 ，左，右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點P在雙曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．雙曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0
B．點A到雙曲線C的漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的外接圓半徑為 SKIPIF 1 < 0
43．若方程 SKIPIF 1 < 0 所表示的曲線為 SKIPIF 1 < 0 ,則下面四個命題中錯誤的是
A．若 SKIPIF 1 < 0 為橢圓,則 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 為雙曲線,則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C．曲線 SKIPIF 1 < 0 可能是圓D．若 SKIPIF 1 < 0 為橢圓，且長軸在 SKIPIF 1 < 0 軸上，則 SKIPIF 1 < 0
三、填空題
44．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一條漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為該雙曲線上一點， SKIPIF 1 < 0 為其左、右焦點，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則該雙曲線的方程為_____．
45．與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 有公共焦點，且過點 SKIPIF 1 < 0 的雙曲線的標準方程為______．
46．若雙曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則k的取值范圍是___________.
47．若雙曲線經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ，其漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的方程是___________.
48．已知焦點 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ，雙曲線上的一點P到 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 的距離差的絕對值等于6，雙曲線的標準方程為___________.
49．若方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___________.
四、解答題
50．若直線 SKIPIF 1 < 0 過雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的一個焦點，且與雙曲線的一條漸近線平行.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若過點B(0，b)且與x軸不平行的直線和雙曲線相交于不同的兩點M，N，MN的垂直平分線為m，求直線m與y軸上的截距的取值范圍.
51．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為為2，且過點 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 分別為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右頂點?左焦點，點 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上位于第二象限的動點，是否存在常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？如果存在，請求出 SKIPIF 1 < 0 的值；如果不存在，請說明理由.
52．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的左焦點為 SKIPIF 1 < 0 ，右頂點為 SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 是其漸近線上的一點，且以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為坐標原點.
(1)求雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
(2)當點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上方時，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸的垂線與 SKIPIF 1 < 0 軸相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的兩點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
53．求適合下列條件的雙曲線的標準方程．
（1）焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上， SKIPIF 1 < 0 ，經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點．
54． SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 月 SKIPIF 1 < 0 日，四川汶川發(fā)生里氏 SKIPIF 1 < 0 級地震，為了援救災(zāi)民，某部隊在如圖所示的 SKIPIF 1 < 0 處空降了一批救災(zāi)藥品，要把這批藥品沿道路 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 送到矩形災(zāi)民區(qū) SKIPIF 1 < 0 中去，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，試在災(zāi)民區(qū)中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點沿道路 SKIPIF 1 < 0 送藥較近，而另一側(cè)的點沿道路 SKIPIF 1 < 0 送藥較近，請說明這一界線是一條什么曲線？并求出其方程.
55．已知雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ，滿足______（從下列條件中選擇其中兩個補充在橫線上并作答）．
①離心率為2；②漸近線為 SKIPIF 1 < 0 ；③過點 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)在（1）的條件下，若直線l過點 SKIPIF 1 < 0 ，且與雙曲線右支交于A、B兩點，求直線l的傾斜角的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，是否存在以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O？若存在，請求出此時的直線l，若不存在，請說明理由．
焦點在x軸上
焦點在y軸上
標準方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
圖形
焦點
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c
的關(guān)系
c2＝a2＋b2
簡單幾何性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸為坐標軸，對稱中心為原點
頂點
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
軸長
實軸長|A1A2|＝2a，虛軸長|B1B2|＝2b
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(1，＋∞)
參考答案
1．B
【分析】求出方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線的必要不充分條件 SKIPIF 1 < 0 的范圍可得答案.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)選項，“方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線”的必要不充分條件為B.
故選：B.
2．C
【分析】先求方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線的條件，再根據(jù)兩者相等關(guān)系確定充要關(guān)系.
【詳解】因為方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又當 SKIPIF 1 < 0 時，方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，
因此“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線”的充要條件.
故選：C
3．A
【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可知方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的雙曲線；
反之，若 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線”的充分不必要條件．
故選：A．
4．A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義可知 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 同號，從而可求出m的取值范圍
【詳解】因為方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
5．B
【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，求得m的范圍，判斷A; 根據(jù)曲線表示雙曲線，求得m的范圍，判斷B；由B的分析求雙曲線的焦距，可判斷C;根據(jù)E的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，分類討論求得m的值，判斷D.
【詳解】由題意得，當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，要表示橢圓，需滿足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
故A錯誤；
若E表示雙曲線，則 SKIPIF 1 < 0 不能為0，
故 SKIPIF 1 < 0 化為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
由B的分析知， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，此時c不確定，
故焦距不是定值，C錯誤；
若E的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，則此時曲線表示橢圓，由A的分析知， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯誤，
故選：B
6．C
【分析】根據(jù)題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解之即可得解.
【詳解】解：若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，
則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：C.
7．C
【分析】由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 的值，求出點 SKIPIF 1 < 0 的坐標，分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得出關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程組，解出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出雙曲線的標準方程.
【詳解】拋物線 SKIPIF 1 < 0 的準線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即點 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此，雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
8．A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，列出方程，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求解.
【詳解】由橢圓的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的焦點與橢圓 SKIPIF 1 < 0 的焦點相同，所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 中，半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，
又因為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A．
9．C
【分析】由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 的值，求出點 SKIPIF 1 < 0 的坐標，分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得出關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.
【詳解】拋物線 SKIPIF 1 < 0 的準線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即點 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此，雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
10．D
【分析】根據(jù)實軸長求得 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合漸近線方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解
【詳解】因為實軸長為8，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D．
11．B
【分析】分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，再將點 SKIPIF 1 < 0 代入雙曲線的方程，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出雙曲線的標準方程.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
將點 SKIPIF 1 < 0 的坐標代入雙曲線的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
12．A
【解析】由圖可知a＝eq \r(3)，且一條漸近線的傾斜角為30°，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3),3)，解得b＝1，所以雙曲線C的方程為eq \f(x2,3)－y2＝1. 故選A.
13．A
【分析】可根據(jù)已知條件，利用P， SKIPIF 1 < 0 關(guān)于漸近線對稱，先求解出 SKIPIF 1 < 0 的值，然后利用雙曲線的定義分別根據(jù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之間的關(guān)系，借助 SKIPIF 1 < 0 ，從而求解出雙曲線方程.
【詳解】
如圖，設(shè)雙曲線C的兩個焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，由已知P， SKIPIF 1 < 0 關(guān)于漸近線對稱，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 到漸近線距離為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 ，由雙曲線定義知： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
14．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程，根據(jù)函數(shù)解析式化簡，再根據(jù)雙曲線的方程特點判斷.
【詳解】對A，若 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，則當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的軌跡為圓， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的軌跡不存在，故A錯誤；
對B，若 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，方程不能表示雙曲線，故B錯誤；
對C，若 SKIPIF 1 < 0 成等差數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時，方程化為 SKIPIF 1 < 0 ，此時表示實軸和虛軸相等的雙曲線，故C正確；
對D，若 SKIPIF 1 < 0 成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
當 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 時，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，此時是實軸和虛軸不相等的雙曲線，故D錯誤.
故選：C.
15．C
【分析】根據(jù)雙曲線標準方程的形式確定 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍
【詳解】因為方程 SKIPIF 1 < 0 的圖像是雙曲線，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C
16．A
【分析】設(shè)雙曲線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)已知條件可得 SKIPIF 1 < 0 的值，由 SKIPIF 1 < 0 可得雙曲線的方程，再將 SKIPIF 1 < 0 代入方程可得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求解.
【詳解】因為雙曲線焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上，設(shè)雙曲線方程為 SKIPIF 1 < 0
由雙曲線的性質(zhì)可知：該頸部中最細處直徑為實軸長，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因為離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
因為頸部高為20厘米，根據(jù)對稱性可知頸部最右點縱坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入雙曲線可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以瓶口直徑為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用待定系數(shù)法求出雙曲線的方程，再由 SKIPIF 1 < 0 的值求得 SKIPIF 1 < 0 的值，瓶口直徑為 SKIPIF 1 < 0 .
17．B
【解析】求出 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線對應(yīng)的 SKIPIF 1 < 0 的范圍，根據(jù)集合包含關(guān)系即可求出.
【詳解】∵若 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線”的充分不必要條件.
故選：B.
18．D
【分析】依題意以雙曲線的對稱中心為坐標原點建系，設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)已知求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 點縱坐標代入計算即可求得橫坐標得出結(jié)果.
【詳解】以雙曲線的對稱中心為坐標原點，建立平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 ，
因為雙曲線的離心率為2，所以可設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
依題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的縱坐標為18.由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
19．B
【分析】根據(jù)雙曲線定義可知，要使方程表示雙曲線 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 異號，進而求得 SKIPIF 1 < 0 的范圍即可判斷是什么條件．
【詳解】解：因為方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線的必要不充分條件，
故選：B
【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)雙曲線的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
20．D
【分析】根據(jù)給定條件，利用點到直線距離公式及離心率公式求出a，b即可作答.
【詳解】雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為： SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)雙曲線下焦點為 SKIPIF 1 < 0 ，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，依題意， SKIPIF 1 < 0 ，離心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以該雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
21．A
【分析】根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ，進而結(jié)合題意得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，再待定系數(shù)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)計算即可.
【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則點 SKIPIF 1 < 0 在雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故雙曲線的方程近似為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
22．C
【分析】求出直線 SKIPIF 1 < 0 的方程，并設(shè)出雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程，再聯(lián)立并借助中點坐標即可計算作答.
【詳解】直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 消去y并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因弦 SKIPIF 1 < 0 的中點為 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C
23．D
【分析】根據(jù)題意求出為M的坐標代入雙曲線求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用點到直線距離公式可求雙曲線的焦點到漸近線的距離.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入到拋物線 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 代入到雙曲線 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)雙曲線的焦點 SKIPIF 1 < 0 ，漸近線為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線的焦點到漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D.
24．B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，不妨設(shè)漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，計算得到答案.
【詳解】連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，不妨設(shè)漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故雙曲線方程為 SKIPIF 1 < 0
故選：B
25．C
【分析】先求出實半軸的長、虛半軸的長，再得到雙曲線的標準方程.
【詳解】因為雙曲線的下、上焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距為 SKIPIF 1 < 0 ；
又因為 SKIPIF 1 < 0 是雙曲線上一點且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
所以雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
26．A
【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程特點可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案.
【詳解】∵方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故選：A．
27．C
【分析】根據(jù)題意，由 SKIPIF 1 < 0 求解.
【詳解】解：由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C
28．A
【分析】根據(jù)雙曲線的焦點求出 SKIPIF 1 < 0 的值，進而可以求出結(jié)果.
【詳解】由雙曲線方程 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
則漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A.
29．D
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意知2c＝10，c＝5，又 SKIPIF 1 < 0 ，c2＝b2＋a2，
∴a2＝9，b2＝16，
∴所求雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
30．D
【分析】設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，再代點解方程 SKIPIF 1 < 0 即得解.
【詳解】解：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以橢圓的焦點為 SKIPIF 1 < 0 .
設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為雙曲線過點 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
31．B
【解析】根據(jù)橢圓的標準方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用雙曲線的離心率建立方程求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出雙曲線的漸近線方程．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 橢圓的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 橢圓中的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 雙曲線的焦點與橢圓 SKIPIF 1 < 0 的焦點相同，
SKIPIF 1 < 0 雙曲線中 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
在雙曲線中 SKIPIF 1 < 0 ，
則雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
故選： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
32．D
【分析】根據(jù)直線 SKIPIF 1 < 0 過雙曲線的一個焦點，令 SKIPIF 1 < 0 求出c，再根據(jù)直線與一條漸近線平行，得到 SKIPIF 1 < 0 求解可得答案.
【詳解】令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸的交點為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的右焦點為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ①，
直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 有且僅有一個公共點，直線 SKIPIF 1 < 0 又過雙曲線的焦點，
所以直線 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線的一條漸近線 SKIPIF 1 < 0 平行，
即 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②得
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0
故選：D.
33．C
【分析】由雙曲線與橢圓共焦點可得雙曲線的 SKIPIF 1 < 0 ，雙曲線離心率 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出雙曲線的方程.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 雙曲線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 有公共焦點
由橢圓 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 雙曲線離心率 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 雙曲線的方程為： SKIPIF 1 < 0
故選：C
【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線焦點以及雙曲線離心率的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.
34．D
【分析】根據(jù)題意得出 SKIPIF 1 < 0 的符號，進而得到 SKIPIF 1 < 0 的象限.
【詳解】由題意， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在第四象限.
故選：D.
35．C
【解析】對 SKIPIF 1 < 0 是否為0和正負情況進行分類討論，判斷方程表示的曲線，即得結(jié)果.
【詳解】若 SKIPIF 1 < 0 時，方程 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，不成立，無軌跡；
若 SKIPIF 1 < 0 有且只有一個為0，則不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 時，方程 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時表示兩條直線， SKIPIF 1 < 0 時方程無解，無軌跡；
若 SKIPIF 1 < 0 均不為0，當 SKIPIF 1 < 0 時，方程表示圓，當 SKIPIF 1 < 0 時，方程表示橢圓，
當 SKIPIF 1 < 0 時，方程表示雙曲線.
綜上可知，ABD正確，C錯誤.
故選：C.
36．C
【分析】根據(jù)題意，得到 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求解.
【詳解】由題意，雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的虛軸長為 SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
所以曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
37．A
【分析】由正方形邊長可得c，將D點坐標代入雙曲線方程，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 求解可得.
【詳解】由圖知， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，代入雙曲線方程得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立求解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
所以 SKIPIF 1 < 0
所以雙曲線E的實軸長為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：A
38．ABD
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，可判定A不正確；根據(jù)圓的定義，可判定B不正確；根據(jù)雙曲線的標準方程的形式，可判定C正確；根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系的判定，可判定D不正確．
【詳解】對于A中，根據(jù)雙曲線的定義，只有 SKIPIF 1 < 0 ，動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡才為雙曲線，故A不正確；
對于B中，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以點 SKIPIF 1 < 0 為弦 SKIPIF 1 < 0 的中點，故 SKIPIF 1 < 0 ，則動點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡為以線段 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓，故B不正確；
對于C中，若曲線 SKIPIF 1 < 0 為雙曲線，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，顯然C正確；
對于D中，過點 SKIPIF 1 < 0 作直線，使它與拋物線 SKIPIF 1 < 0 有且僅有一個公共點，這樣的直線有3條，分別為直線 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正確．
故選：ABD．
【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及標準方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的定義和標準方程的形式，以及掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
39．AC
【解析】根據(jù)題意，求出 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系式求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用雙曲線的幾何性質(zhì)進行逐項分析，判斷即可.
【詳解】由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以右焦點為 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 ，雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
對于選項A：由點 SKIPIF 1 < 0 向雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線作垂線時，垂線段的長度即為 SKIPIF 1 < 0 的漸近線上的點到 SKIPIF 1 < 0 距離的最小值，由點到直線的距離公式可得， SKIPIF 1 < 0 ，
故選項A正確；
對于選項B：因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項B錯誤；
對于選項C：當雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上的點為其右頂點 SKIPIF 1 < 0 時，此時雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上的點到 SKIPIF 1 < 0 的距離最小為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項C正確；
對于選項D：過點 SKIPIF 1 < 0 且斜率為零的直線與雙曲線的交點為 SKIPIF 1 < 0 ，此時為過點 SKIPIF 1 < 0 的最短弦為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項D錯誤.
故選：AC
【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)；考查運算求解能力；熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.
40．BD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的標準方程，一一判斷即可.
【詳解】對于A，當 SKIPIF 1 < 0 時，曲線 SKIPIF 1 < 0 是圓，故A錯誤；
對于B，當 SKIPIF 1 < 0 時，曲線 SKIPIF 1 < 0 是焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的雙曲線，
當 SKIPIF 1 < 0 時，曲線 SKIPIF 1 < 0 是焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的雙曲線，故B正確；
對于C，若曲線 SKIPIF 1 < 0 是焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的橢圓，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯誤；
對于D，若曲線 SKIPIF 1 < 0 是焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的雙曲線，則 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確．
故選BD．
41．BD
【解析】根據(jù)題中條件，得到雙曲線的半焦距為 SKIPIF 1 < 0 ，由雙曲線方程可得，其漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，以及點 SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 上，求出 SKIPIF 1 < 0 的坐標，得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出雙曲線方程，再逐項判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】因為雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的焦點在圓 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 上，
所以雙曲線的半焦距為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得其漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
因為圓 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線在第一、二象限分別交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，又點 SKIPIF 1 < 0 在圓 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又點 SKIPIF 1 < 0 在漸近線 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
所以其虛軸長為 SKIPIF 1 < 0 ，故A錯；
離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
其漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，故C錯；
三角形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.
故選：BD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：
解決本題的關(guān)鍵在于通過題中條件，求出雙曲線的方程；根據(jù)漸近線與圓的交點，以及 SKIPIF 1 < 0 ，求出交點坐標，得出 SKIPIF 1 < 0 之間關(guān)系，進而可求出雙曲線方程，從而可得出結(jié)果.
42．ABD
【分析】由離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，右頂點為 SKIPIF 1 < 0 求出雙曲線方程，再利用點到直線的距離，雙曲線的定義及性質(zhì)依次判斷4個選項即可.
【詳解】由離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，右頂點為 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故雙曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，A正確；
雙曲線的漸近線為 SKIPIF 1 < 0 ，故點A到雙曲線C的漸近線的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，B正確；
由雙曲線的定義 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或10，C錯誤；
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的外接圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，D正確.
故選：ABD.
43．AD
【分析】就 SKIPIF 1 < 0 的不同取值范圍分類討論可得曲線 SKIPIF 1 < 0 表示的可能的類型.
【詳解】若 SKIPIF 1 < 0 ，則方程可變形為 SKIPIF 1 < 0 ，它表示焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的雙曲線；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則方程可變形為 SKIPIF 1 < 0 ，它表示焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的雙曲線；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的橢圓；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，故方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上的橢圓；
若 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 ，它表示圓，
綜上，選AD.
【點睛】一般地，方程 SKIPIF 1 < 0 為雙曲線方程等價于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上；方程 SKIPIF 1 < 0 為橢圓方程等價于 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上，若 SKIPIF 1 < 0 ，則焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上；若 SKIPIF 1 < 0 ，則方程為圓的方程.
44． SKIPIF 1 < 0
【解析】根據(jù)漸近線方程得斜率可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而可得雙曲線的方程．
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則由漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
兩式相減，得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查了雙曲線的定義及性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力與運算能力，屬中檔題．
45． SKIPIF 1 < 0
【分析】由已知雙曲線可得焦點坐標 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)所求雙曲線方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值即可求解.
【詳解】由雙曲線 SKIPIF 1 < 0 可得焦點坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)所求雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以雙曲線的標準方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
46． SKIPIF 1 < 0
【分析】由雙曲線方程的特征列出不等式，求出k的取值范圍.
【詳解】由題意得： SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
47． SKIPIF 1 < 0
【分析】分雙曲線焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸或 SKIPIF 1 < 0 上，分別設(shè)出雙曲線方程，聯(lián)立方程組求解即可.
【詳解】由題意可知，①若雙曲線的焦點在x軸上,則可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立解得 SKIPIF 1 < 0 ,則雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
②若雙曲線的焦點在y軸上，則可設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，此時無解，綜上，雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
48． SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合焦點坐標，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，從而解得其標準方程.
【詳解】因為雙曲線的焦點為 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 ，故可設(shè)其方程為 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)雙曲線的定義，由題可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
則所求所曲線方程為： SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
49． SKIPIF 1 < 0
【分析】利用雙曲線方程的特點，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式，即可求出實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【詳解】因為方程 SKIPIF 1 < 0 表示雙曲線，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
50．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）求得直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸的交點，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由兩直線平行的條件：斜率相等，可得漸近線方程，解方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，進而得到雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，運用韋達定理和判別式大于0，以及中點坐標公式及兩直線垂直的條件：斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線方程，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得直線在 SKIPIF 1 < 0 軸上的截距，由不等式的性質(zhì)可得范圍.
【詳解】（1）直線 SKIPIF 1 < 0 過x軸上一點 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
雙曲線的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
由兩直線平行的條件可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即有雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）設(shè)直線 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中點為 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上可得， SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 的范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，
可得直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸上的截距的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
【點睛】本題主要考查雙曲線的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．
51．(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）結(jié)合離心率 SKIPIF 1 < 0 和雙曲線關(guān)系式 SKIPIF 1 < 0 ，再將點 SKIPIF 1 < 0 代入雙曲線方程可直接求解；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，先討論直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在時， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 大小，求得 SKIPIF 1 < 0 ，再由一般情況結(jié)合斜率表示出 SKIPIF 1 < 0 ，猜想 SKIPIF 1 < 0 ，化簡即可求證.
（1）
離心率 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以雙曲線的方程 SKIPIF 1 < 0 ，
把點 SKIPIF 1 < 0 代入雙曲線方程得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
①當直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ；
②當直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在時，
由于雙曲線漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
綜上，存在常數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 .
52．(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）求出點 SKIPIF 1 < 0 的坐標，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，進一步可求得雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標準方程；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，將直線 SKIPIF 1 < 0 的方程與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的方程聯(lián)立，求出線段 SKIPIF 1 < 0 的中點 SKIPIF 1 < 0 的坐標，分析可知 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 以及 SKIPIF 1 < 0 可求得實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
（1）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過點 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，不妨取點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，設(shè)點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以，雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 中點 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，依題意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，由韋達定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ②，又 SKIPIF 1 < 0 ③，由①②③得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
53．（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）可設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，將點 SKIPIF 1 < 0 的坐標代入雙曲線的方程，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得出雙曲線的標準方程；
（2）設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，將點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐標代入雙曲線方程，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，即可求得雙曲線的標準方程.
【詳解】（1）因為 SKIPIF 1 < 0 ，且雙曲線的焦點在 SKIPIF 1 < 0 軸上，可設(shè)雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
將點 SKIPIF 1 < 0 的坐標代入雙曲線的方程得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè)雙曲線的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
將點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐標代入雙曲線方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 .
54．以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為焦點的雙曲線的右支的一部分， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ).
【解析】可由雙曲線的定義判斷界線是雙曲線的一部分，建立坐標系即可求出方程.
【詳解】矩形災(zāi)民區(qū) SKIPIF 1 < 0 中的點可分為三類，第一類沿道路 SKIPIF 1 < 0 送藥較近，
第二類沿道路 SKIPIF 1 < 0 送藥較近，第三類沿道路 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 送藥一樣遠近，
依題意，界線是第三類點的軌跡，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 為界線上的任一點，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴界線是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為焦點的雙曲線的右支的一部分，
如圖，以 SKIPIF 1 < 0 所在直線為 SKIPIF 1 < 0 軸，線段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線為 SKIPIF 1 < 0 軸，建立平面直角坐標系，
設(shè)所求雙曲線方程的標準形式為 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故雙曲線的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
注意到點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，此時 SKIPIF 1 < 0 ，
故界線的曲線方程為 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ).
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查雙曲線方程的求解，解題的關(guān)鍵是得出 SKIPIF 1 < 0 ，能根據(jù)雙曲線定義判斷界線是雙曲線的一部分.
55．(1)選①③或②③， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3)不存在，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)所選條件求出雙曲線參數(shù)a、b，即可得雙曲線C的標準方程；
（2）令直線l為 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立雙曲線，根據(jù)交點的個數(shù)及分布有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即可求k的范圍.
（3）由題設(shè)，假設(shè)條件成立則 SKIPIF 1 < 0 ，應(yīng)用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標表示列方程判斷是否存在這樣k使以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.
(1)
選①③： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線為 SKIPIF 1 < 0 ；
選②③： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，則雙曲線為 SKIPIF 1 < 0 ；
選①②：無法確定雙曲線C的方程.
(2)
由題設(shè)，令直線l為 SKIPIF 1 < 0 ，聯(lián)立雙曲線可得： SKIPIF 1 < 0 ，
要使直線與雙曲線右支交于兩點，則 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
(3)
由（2）知： SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 為直徑的圓過原點，則 SKIPIF 1 < 0 ，
顯然 SKIPIF 1 < 0 不成立，故不存在以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.