1．的倒數(shù)是（ ）
A．-4B．4C．D．
2．截止2024年1月31日，理想汽車累計交付量達到約664500輛，其中664500可用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．66.45×104B．0.6645×106C．6.645×105D．6.645×104
3．計算（-3xy3）2的結果是（ ）
A．6x2y6B．9x2y5C．-9 x2y6D．9 x2y6
4．如圖是由5個完全相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的主視圖是（）
A．B．C．D．
5．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根
6．當x＝2時，代數(shù)式ax3+bx+1的值為6，那么當x＝﹣2時，這個代數(shù)式的值是（ ）
A．1B．﹣4C．6D．﹣5
7．如圖，A、B、C、D、E、F為⊙O的六等分點，甲同學從中任取三點畫一個三角形，乙同學用剩下的點畫一個三角形，則甲乙兩位同學所畫的三角形全等的概率為（ ）
A．B．1C．D．
8．小麗從常州開車去南京，開了一段時間后，發(fā)現(xiàn)油所剩不多了，于是開到服務區(qū)加油，加滿油后又開始勻速行駛，下面哪一幅圖可以近似的刻畫該汽車在這段時間內的速度變化情況（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
9．4的算術平方根是．
10．使有意義的x的取值范圍是．
11．分解因式：x2y-4y=．
12．點關于直線對稱的點的坐標是．
13．已知反比例函數(shù)，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是．
14．已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個扇形的面積．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝．
16．如圖，是的直徑，是的切線，交于點，連結，若，則的大小為．
17．如圖，正方形的邊長為，，，，則線段的長為．
18．如圖，正方形的邊長為6，為正方形對角線的中點，點在邊上，且，點是邊上的動點，連接，點為的中點，連接，當時，線段的長為．
三、解答題（共84分，其中19至26題每題8分，27、28題每題10分）
19．計算
（1）（2）
20．解方程和不等式
（1）解方程：（2）解不等式組：
21．為增進學生對數(shù)學知識的了解，某校開展了兩次知識問答活動，從中隨機抽取了30名學生兩次活動的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行整理、描述和分析．如圖1是將這30名學生的第一次活動成績作為橫坐標，第二次活動成績作為縱坐標繪制而成．
（1）學生甲第一次成績是分，則該生第二次成績是 分．
（2）兩次成績均達到或高于分的學生有 個．
（3）為了解每位學生兩次活動平均成績的情況，如圖2是這30位學生兩次活動平均成績的頻數(shù)分布直方圖（數(shù)據(jù)分成8組：，，，，，，，），在的成績分別是77、77、78、78、78、79、79，則這30位學生平均成績的中位數(shù)是 ．
（4）假設全校有1200名學生參加此次活動，請估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數(shù)．
22．2024年春晚，魔術師表演了一個與紙牌相關的魔術，讓人大開眼界，這個魔術中隱含了一個數(shù)學問題——約瑟夫問題，春晚結束后，小華和小麗玩起了抽撲克牌游戲，他們從同一副撲克牌中選出四張牌，牌面數(shù)字分別為3，6，7，9．將這四張牌背面朝上，洗勻．
（1）小麗從中隨機抽出一張牌，則抽到這張牌是奇數(shù)的概率是______；
（2）小麗從中隨機抽取一張，記下牌面上的數(shù)字后放回，背面朝上，洗勻，接著小華再從中隨機抽取一張，記下牌面上的數(shù)字，請求出他們抽到的兩張撲克牌牌面數(shù)字之和恰好是3的倍數(shù)的概率．
23．如圖，在菱形中，對角線，相交于點，過點作，過點作，與相交于點．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求四邊形的周長．
24．《九章算術》中記載了這樣一個問題：“假設頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：
（1）求每頭牛、羊各值多少兩銀子？
（2）若某商人準備用兩銀子買牛和羊共只，要求羊的數(shù)目不超過牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩有剩余，請問商人有幾種購買方法？列出所有可能的購買方案．
25．如圖，，，反比例函數(shù)的圖像過點，反比例函數(shù)經過點．
（1）求和的值．
（2）過點作軸，與雙曲線交于點，求的面積．
26．定義：若實數(shù)滿足（為常數(shù)，），則在平面直角坐標系中，稱點為的“值友好點”．例如，點是點的“1值友好點”．
（1）在，，，四點中，點______是點的“值友好點”．
（2）設點是點的“值友好點”．
①當時，求的值．
②若點坐標為，當時，請直接寫出點的坐標以及的值．
27．如圖，拋物線，拋物線交軸于點（點在點的右側），交軸于點，拋物線與拋物線關于原點成中心對稱．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式和直線對應的函數(shù)表達式．
（2）點是第一象限內拋物線上的一個動點，連接與相交于點．
①作軸，垂足為，當時，求點的橫坐標．
②請求出的最大值．
28．如圖1，小明借助幾何軟件進行數(shù)學探究：中，，，是邊的中點，是線段上的動點（不與點、點重合），邊關于對稱的線段為，連接．
（1）當為等腰直角三角形時，的大小為______．
（2）圖2，延長，交射線于點．
①請問的大小是否變化？如果不變，請求出的大小；如果變化，請說明理由．
②若，則的面積最大為______，此時______．
參考答案
1．A
【分析】本題考查倒數(shù)的定義，掌握乘積等于1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，即可解題．
【詳解】解：的倒數(shù)是-4，故選：A．
2．C
【分析】本題考查了科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值大于1與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．
【詳解】解：664500=6.645×105，故選：C．
3．D
【分析】本題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．
積的乘方，等于把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，由此計算即可．
【詳解】解：，
故選：D．
4．A
【分析】根據(jù)從正面看得到的視圖是主視圖，觀察即可得答案．
【詳解】從正面看第一層是三個小正方形，第二層左邊一個小正方形，
如圖所示，
故選A．
【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是明確從正面看得到的視圖是主視圖．
5．B
【詳解】解：根據(jù)題意得：△=，
則方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：B
6．B
【分析】根據(jù)題意可得，再將x＝﹣2代入代數(shù)式，即可求解．
【詳解】解：∵當x＝2時，代數(shù)式ax3+bx+1的值為6，
∴，
∴，
當x＝﹣2時，．
故選：B
【點睛】本題主要考查了求代數(shù)的值，利用整體代入思想解答是解題的關鍵．
7．B
【分析】本題主要考查了幾何概率，由對稱性可知甲從六個點中選擇任意的三個點組成的三角形，與剩下的三個點組成的三角形的三條邊分別對應相等，可得甲乙兩人所畫的三角形一定全等，據(jù)此可得答案．
【詳解】解；∵為的六等分點，
∴由對稱性可知甲從六個點中選擇任意的三個點組成的三角形，與剩下的三個點組成的三角形的三條邊分別對應相等，
∴甲乙兩人所畫的三角形一定全等，
∴甲乙兩位同學所畫的三角形全等的概率為1，
故選：B．
8．B
【分析】主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力和函數(shù)與實際問題結合的應用．橫軸表示時間，縱軸表示速度，根據(jù)加速、勻速、減速時，速度的變化情況，進行選擇．
【詳解】解：汽車經歷：加速?勻速?減速到站?加速?勻速，
加速：速度增加，
勻速：速度保持不變，
減速：速度下降，
到站：速度為0.
觀察四個選項的圖象是否符合題干要求，只有B選項符合.
故選B.
9．2
【分析】本題考查了算術平方根的定義，熟練掌握算術平方根的概念是解題的關鍵；
根據(jù)算術平方根的概念即可求出結果．
【詳解】解：，
4的算術平方根是2，
故答案為：2．
10．
【詳解】由條件得：3x﹣1≥0，
解得：x≥，
故答案為x≥．
11．y（x+2）（x-2）
【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．
【詳解】x2y-4y=y（x2-4）=y（x+2）（x-2），
故答案為：y（x+2）（x-2）．
【點睛】提公因式法和應用公式法因式分解．
12．
【分析】本題主要考查了關于垂直坐標軸的直線對稱的點坐標．設點關于直線對稱的點為，根據(jù)題意得出，即可求解．
【詳解】設點關于直線對稱的點為，
∴，
解得，，
∴．
故答案為：．
13．##
【分析】本題主要查了反比例函數(shù)的性質，根據(jù)反比例函數(shù)，當，時，隨增大而減小列不等式求解即可．
【詳解】解：反比例函數(shù)，當時，隨的增大而減小，
，
解得．
故答案為：．
14．
【分析】本題考查了扇形面積的計算，直接根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
【詳解】解：依題意，，
故答案為：．
15．
【分析】根據(jù)已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長，運用三角函數(shù)的定義解答．
【詳解】由sinA＝知，可設a＝4x，則c＝5x，b＝3x，
∴tanA＝=．
故答案為．
【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系．求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關系式求三角函數(shù)值．
16．
【分析】本題考查切線的性質、圓周角定理等知識，三角形內角和定理，利用切線的性質求出，由三角形內角和定理求出，根據(jù)三角形外角的性質即可求出．
【詳解】解：是的直徑，是的切線，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
17．
【分析】本題考查了相似三角形的性質與判定，根據(jù)題意得出，得出，則，可得，進而列出比例式，代入數(shù)據(jù)，即可求解．
【詳解】解：∵正方形的邊長為，，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴
∴
解得：，
故答案為：．
18．
【分析】連接，根據(jù)已知得出四點共圓，則是直徑，進而證明是等腰直角三角形，，得出，則，勾股定理求得，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵點為的中點，
∴
當時，
∴四點共圓，
∵
∴是直徑
∴
∵為正方形對角線的中點，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
在中，
∴
∴
∴
在中，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的性質與判定，證明是解題的關鍵．
19．（1）
（2）
【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，整式的乘法運算；
（1）根據(jù)二次根式的性質化簡，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪進行計算即可求解；
（2）根據(jù)完全平方公式，平方差公式進行計算即可求解．
【詳解】（1）
（2）
20．（1）
（2）
【分析】本題考查了解分式方程，一元一次不等式組；
（1）先去分母，然后化為整式方程，解方程并檢驗，即可求解；
（2）分別解兩個不等式，求公共部分的解集，即可求解．
【詳解】（1）解：
∴
解得：
經檢驗，是原方程的根，
∴原方程的根為
（2）解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式組的解集為：．
21．（1）75
（2）8
（3）79
（4）1200名學生參加此次活動，估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數(shù)為360人．
【分析】（1）找到橫坐標為時，對應的縱坐標的值即可得解；
（2）找到橫縱坐標均大于等于的點的個數(shù)，即可得解；
（3）將數(shù)據(jù)進行排序后，找到第15和第16位數(shù)據(jù)，兩個數(shù)據(jù)的平均值，即為中位數(shù)；
（4）利用總人數(shù)乘以抽樣中兩次活動平均成績不低于90分的占比即可得解．
【詳解】（1）解：由圖1可知，橫坐標為時，對應的縱坐標為，
∴該生第二次成績是75分；
故答案為：75；
（2）由圖1可知：橫縱坐標均大于等于的點的個數(shù)為個，
∴兩次成績均達到或高于分的學生有8個；
故答案為：8；
（3）解：將平均成績按從低到高排序，可知，中位數(shù)為第15個和第16個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
∴中位數(shù)位于這一組數(shù)據(jù)中，第15個和第16個數(shù)據(jù)均為，
∴中位數(shù)為79；
（4）解：由直方圖可知，兩次活動平均成績不低于90分的學生人數(shù)有：人，
∴1200名學生參加此次活動，估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數(shù)為：人；
答：1200名學生參加此次活動，估計兩次活動平均成績不低于90分的學生人數(shù)為360人．
【點睛】本題考查統(tǒng)計圖，頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，以及利用樣本估計總體，解題的關鍵是從統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖中，有效的獲取信息．
22．（1）
（2）
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式；
（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中抽到這張牌是奇數(shù)的結果有3種，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及他們抽到的兩張撲克牌牌面數(shù)字之和恰好是3的倍數(shù)的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結果，其中抽到這張牌是奇數(shù)的結果有：，，，共種，
抽到這張牌是奇數(shù)的概率為．
故答案為：．
（2）列表如下：
共有種等可能的結果，其中他們抽到的兩張撲克牌牌面數(shù)字之和恰好是的倍數(shù)的結果有：，，，，，，，，，共種，
他們抽到的兩張撲克牌牌面數(shù)字之和恰好是的倍數(shù)的概率為
23．（1）證明見解析；
（2）．
【分析】（1）如圖，首先證明四邊形是平行四邊形，然后證明，即可解決問題．
（2）如圖，首先證明，；運用勾股定理求出，即可解決問題．
【詳解】（1）證：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是菱形
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：∵四邊形為菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
由（1）得四邊形是矩形，
∴四邊形的周長．
【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的性質及勾股定理的知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形和矩形的性質并能靈活運用．
24．（1）每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子；
（2）有商人種購買方案，①購買頭牛，只羊；②購買頭牛，只羊；③購買頭牛，只羊．
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，
（1）設每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，根據(jù)頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子．列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設購買頭牛，則購買只羊，根據(jù)某商人準備用兩銀子買牛和羊共只，要求羊的數(shù)目不超過牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩有剩余，列出一元一次不等式組，解不等式組，即可解決問題．
【詳解】（1）解：設每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，
由題意得：，
解得：，
答：每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子；
（2）設購買頭牛，則購買只羊，
依題意得：，
解得：，
為整數(shù)，
，，，
有商人種購買方案：
①購買頭牛，只羊；
②購買頭牛，只羊；
③購買頭牛，只羊．
25．（1）
（2）
【分析】本題考查了反比例函數(shù)值的幾何意義，相似三角形的性質與判定，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式
（1）根據(jù)條件可得，利用一線三垂在得到，利用相似比求出點坐標即可解得值；
（2）根據(jù)軸可得點的坐標為，，可得，依據(jù)代入數(shù)據(jù)計算即可．
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象過點，
，即，
，，
如圖所示，作軸，軸，垂足分別為，
，，
，
，
，，
點的坐標為，
將點坐標代入得，
．
（2）軸，，
將代入中，得，
點的坐標為，
所在的直線為，當時，即，
，
26．（1）
（2）①；②時，，時，
【分析】（1）根據(jù)“k值友好點”的定義代入驗證即可；
（2）①先求得，進而根據(jù)得出，根據(jù)點是點的“值友好點”．得出，進而根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解．
②設的中點為，則即 ，作軸，軸，交于點，則，根據(jù)圓周角定理可得，進而根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：若是的“k值友好點”，則，不合題意；
若是的“k值友好點”，則，不合題意；
若是的“k值友好點”，則，不合題意，
若是的“k值友好點”，則，符合題意，
故答案為：；
（2）①∵
∴
∵
∴
∵點是點的“值友好點”．
∴
∴
∴
即
解得：
②∵，
設的中點為，則即
如圖所示，作軸，軸，交于點，則
∴是直角三角形，
∴，且，
以為圓心為半徑作圓，
∴
∴
∵，
∴
解得：（舍去）或
∴
同理可得當以為圓心時，，
綜上所述，時，，時，．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，新定義，勾股定理，圓周角定理，理解新定義是解題的關鍵．
27．（1），；
（2）①P的橫坐標為；②的最大值為：．
【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質可得的表達式，再令，求解，的坐標即可；
（2）①如圖，連接，設，而，求解直線為，可得，，再利用建立方程求解即可；②作于，而，可得，可得，再建立二次函數(shù)的模型解題即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線，拋物線與拋物線關于原點成中心對稱．
∴拋物線為：，
∴，
當，
解得：，，
∴，；
∵，
當時，，
∴，
設為，
∴，
解得：，
∴為；
（2）①如圖，連接，設，
而，
設直線為，
∴，
解得：，
∴直線為，
∴，
解得：，
∴，，

∵，
∴
∴，
解得：，（不符合題意的根舍去），
∴，
∴P的橫坐標為；
②作于，而，
∴，
∴，
∴，

∵，，
∵，，
∴，
∵，，
∴當時，
的最大值為：．
【點睛】本題考查的是中心對稱的性質，求解函數(shù)的解析式以及交點坐標，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的解法，本題的計算量大，難度大，熟練的計算是解本題的關鍵．
28．（1）
（2）①；②，
【分析】（1）求出，由軸對稱的性質得到，再由即可求得答案；
（2）①設的大小為則由等腰三角形的性質即可得出答案；
②由題意可得點在以為弦，所對的圓周角為的圓弧上運動，過點作于，交優(yōu)弧于點，連接，當時，即點位于點時，的面積最大，利用解直角三角形可得面積最大值；過點作于，則，，，，得出，再由，即可求得．
【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，
，
，
，
邊關于對稱的線段為，
，
；
故答案為：；
（2）的大小不變，始終為．
設的大小為則
關于的對稱線段為，
，
＝＝
，
是的外角，
；
②由①知：，
，
點在以為弦，所對的圓周角為的圓弧上運動，如圖，過點作于，交優(yōu)弧于點，連接，
當時，即點位于點時，的面積最大，
弦，
，即垂直平分，
，，
，
，
，
，，
，
面積最大值是；
此時，點的位置如圖所示，過點作于，
則，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，軸對稱的性質，圓的性質，解直角三角形等，正確地作出輔助線是解題的關鍵．

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2022年江蘇省常州市中考數(shù)學試卷（含解析）

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2017年江蘇省常州市中考數(shù)學試卷(含答案)

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