3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a.
(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
提醒：a∥b與a⊥b所滿足的坐標(biāo)關(guān)系不同.a∥b?x1y2
＝x2y1；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
【名師點(diǎn)睛】(1)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(2)兩個(gè)向量 a，b 的夾角為銳角?a·b＞0 且 a，b 不共線；兩個(gè)向量 a，b 的夾角為鈍角?a·b＜0 且 a，b 不共線.
1.(多選題)下列命題中正確的是(
A.非零向量 a，b 滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則 a 與 a＋b 的夾角為 30°B.若 a·b＞0，則 a，b 的夾角為銳角
3.(教材改編題)已知向量 a＝(2,2)，b＝(－8,6)，則cs〈a，b〉＝________.
4.(2021 年北京)已知 a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
則(a＋b)·c＝________；a·b＝________.
5.(2020 年全國(guó)Ⅰ)設(shè) a，b 為單位向量，且|a＋b|＝1，
則|a－b|＝________.
考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算
[例 1]如圖5-3-1，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，
解析：法一(幾何法)：
法二(坐標(biāo)法)：如圖 5-3-2，建立平面直角坐標(biāo)系 xAy.依題意，可設(shè)點(diǎn) D(m，m)，C(m＋2，
m)，B(n,0)，其中 m>0，n>0，
【題后反思】平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法
(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即
a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.
解析：如圖 D27 所示，設(shè) AC 的中點(diǎn)為 E，AB 的中點(diǎn)為 F，連接 OA，OF，OD，OE，圖 D27
解析：以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB 所在直線為 x 軸，AD 所在直線為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖 D28 所示，則 B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
考點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
考向 1 求向量的模
通性通法： 求解平面向量模的方法
考向 2 求向量的夾角通性通法：求平面向量的夾角的方法
(3)解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中.
[例 3](1)已知非零向量 a，b 滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，
則 a 與 b 的夾角為(
(2)若向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知 2a－3b與 c 的夾角為鈍角，則 k 的取值范圍是________.
考向 3 兩個(gè)向量垂直問題
通性通法：(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為 0 即可.
(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，
[例 4](1)(2020 年全國(guó)Ⅱ)已知單位向量 a，b 的夾角為
60°，則在下列向量中，與 b 垂直的是(
A.a＋2bC.a－2b
B.2a＋bD.2a－b
2.(考向 2)(多選題)(2021 年城廂模擬)已知向量 a＝(λ，
1)，b＝(1，－2)，記向量 a，b 的夾角為θ，則(A.λ＞2 時(shí)，θ為銳角B.λ＜2 時(shí)，θ為鈍角C.λ＝2 時(shí)，θ為直角
∵(c－a)·(c－b)＝－1，
∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以點(diǎn) C 在以(3,1)為圓心，1 為半徑的圓上，|c－a|表示點(diǎn) A，C 的距離，即圓上的點(diǎn)與 A(4,0)的距離，因?yàn)閳A心到 A 的
⊙數(shù)量積運(yùn)算的最值或取值范圍
解析：(法一，幾何法)第一步：畫出圖形，利用向量
(法二，坐標(biāo)法)第一步：建立平面直角坐標(biāo)系.
以 BC 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖 5-3-7 所示的坐標(biāo)系，
【反思感悟】求解平面向量數(shù)量積最值或取值范圍問
題的兩個(gè)策略(1)圖形化策略
所謂圖形化策略，是指解決向量問題時(shí)，利用圖形語言翻譯已知條件和所求結(jié)論，借助圖形思考解決問題.圖形化策略體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)，化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想也深蘊(yùn)其中.
利用圖形化的策略方法，各種數(shù)量關(guān)系在圖形中非常明了，能起到事半功倍的作用.如果沒有圖形的幫助，要用代數(shù)化策略，這樣即使是坐標(biāo)化處理，也可能陷入“僵局”.
所謂代數(shù)化策略，是指解決向量問題時(shí)，利用代數(shù)語言翻譯已知條件和所求結(jié)論，借助代數(shù)運(yùn)算解決所面臨的問題.代數(shù)化策略體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想.通過平面向量基本定理演變而來的代數(shù)運(yùn)算和坐標(biāo)化的代數(shù)運(yùn)算，是解決向量問題的一般方法.
A.[－1,8]C.[0,8]
B.[－1，＋∞)D.[－1,0]
解析：如圖 D29，以 BC 的中點(diǎn) O 為原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為 x 軸、y 軸建立平面直角坐標(biāo)系 xOy，

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