【名師點睛】易混淆方位角與方向角的概念
(1)方位角是指北方向線按順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線之間的水平夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角.
(2)“方位角”與“方向角”的范圍：方位角大小的范
圍是[0°，360°)，方向角大小的范圍是[0°，90°).
題組一 走出誤區(qū)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)東北方向就是北偏東 45°的方向.(
(2)從 A 處望 B 處的仰角為α，從 B 處望 A 處的俯角為
β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(
(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為
)(4)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點
與目標點之間的位置關(guān)系.(
答案：(1)√　 (2)× 　(3)×　 (4)√
題組二 走進教材2.(教材改編題)如圖 3-8-1 所示，設(shè) A，B 兩點在河的兩岸，一測量者在 A 點所在的同側(cè)河岸邊選定一點 C，測出 AC 的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就
可以計算出 A，B 兩點的距離為(　　)
3.(教材改編題)如圖 3-8-2 所示，D，C，B 三點在地面的同一條直線上，DC＝a，從 C，D 兩點測得 A 點的仰角分別為 60°，30°，則 A 點離地面的高度 AB＝________.圖 3-8-2
4.(2021 年全國甲)2020 年 12 月 8 日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為 8 848.86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.圖 3-8-3 是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有 A，B，C 三點，且 A，B，C 在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點測得A點的仰角為45°，
5.(2021 年全國乙)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高.如圖3-8-4，點 E，H，G 在水平線 AC 上，DE 和 FG 是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC 和 EH 都稱為“表目距”，GC 與 EH
的差稱為“表目距的差”，則海島的高 AB＝(圖 3-8-4
[例 1](2021 年寧德質(zhì)檢)海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞.若要測量如圖3-8-5 所示的海洋藍洞的口徑(即 A，B 兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點 C，D，測得 CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝
∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍洞的口徑為
【題后反思】求距離問題的兩個注意事項
(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.
(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選
(2021 年聊城期末)第十屆中國花卉博覽會于 2021 年 5月 21 日至 7 月 2 日在上海崇明舉辦，主題是“花開中國夢”，其標志建筑世紀館以“蝶戀花”為設(shè)計理念，利用國際前沿的數(shù)字技術(shù)，突破物理空間局限，打造了一個萬花競放的虛擬絢麗空間，擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度達 280 米.圖 3-8-6 為世紀館真實圖，圖 3-8-7 是世紀館的簡化圖.世紀館的簡化圖可近似看成是
解析：如圖 D20 所示，過 B 點作 AA′的垂線，垂足為 H，圖 D20
考點二 測量高度問題[例 2](2021 年運城期末)如圖 3-8-8，一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，到 A 處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北45°的方向上，行駛600 m后到達 B 處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為 60°，則此山的高度CD
(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它們是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它們是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵.
(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化
【變式訓(xùn)練】如圖 3-8-9，測量河對岸的塔高 AB 時可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個測點 C 與 D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點 C 測得塔頂 A 的仰角為
60°，則塔高 AB 等于(　　)
考點三 測量角度問題[例3]如圖 3-8-10，已知島 A 南偏西 38°方向，距島 A 3海里的 B 處有一艘緝私艇.島 A 處的一艘走私船正以 10 海里/時的速度向島 A 北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用 0.5 小時能截住該走私船？
解：如圖 3-8-11，設(shè)緝私艇在 C 處截住走私船，D 為島 A 正南方向上一點，緝私艇的速度為每小時 x 海里，則BC＝0.5x，AC＝5，依題意得，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°，所以 BC2＝49，所以 BC＝0.5x＝7，解得 x＝14.
又∠BAD＝38°，所以 BC∥AD，故緝私艇以每小時 14 海里的速度向正北方向行駛，恰好用 0.5 小時截住該走私船.
(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.
(2)方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角
時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角.
【變式訓(xùn)練】如圖 3-8-12，兩座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分別為 20 m,50 m，BD 為水平面，則從建筑物 AB 的頂端
A 看建筑物 CD 的張角∠CAD 等于(圖 3-8-12
⊙解三角形中的綜合問題
(1)解三角形中的綜合問題，除靈活運用正、余弦定理及三角形的有關(guān)知識外，一般還要用到三角函數(shù)，三角恒等變換，平面向量等知識，因此掌握正、余弦定理，三角函數(shù)的公式及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
(2)三角形問題中，涉及變量取值范圍或最值問題要注
2.四邊形 ABCD 的內(nèi)角 A 與 C 互補，AB＝1，BC＝3，
(1)求角 C 和 BD；
(2)求四邊形 ABCD 的面積.

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